Te conviene dominar: Teorema de Pitágoras (4° de secundaria (segundo ciclo, modalidad académica))
Wilkin quiere saber qué distancia hay entre dos puntos de la orilla del lago Enriquillo, pero no puede cruzar el agua. Desde donde está parado mide la distancia a cada punto y el ángulo que forman las dos visuales. ¿Cómo calcula la distancia que le falta? La ley de los senos no sirve, porque no tiene ningún lado con su ángulo opuesto. Para eso está la ley de los cosenos: una versión del teorema de Pitágoras que funciona en cualquier triángulo.
Una generalización de Pitágoras
Si el ángulo $C$ es de $90^\circ$, entonces $\cos C=0$ y la fórmula se convierte exactamente en el teorema de Pitágoras. La ley de los cosenos añade un término de corrección cuando el ángulo no es recto.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.
Si conoces dos lados y el ángulo que forman, el tercer lado sale sustituyendo directamente en la fórmula.
Practica★☆☆Sin empezar
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el…
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.
Si conoces los tres lados, despeja el coseno del ángulo que buscas. El signo te dice si el ángulo es agudo (coseno positivo) u obtuso (coseno negativo).
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
La ley de los cosenos sirve cuando dos distancias y el ángulo entre ellas se pueden medir, pero la que buscas no: topografía, navegación o composición de fuerzas.
Practica★★☆Sin empezar
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el…
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor…
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.
Navegación: rumbos y distancia entre dos vehículos
En navegación marítima y aérea la dirección se da con un rumbo: el ángulo que forma la trayectoria con el norte, medido desde el norte en el sentido de las agujas del reloj. Se escribe con tres cifras. Rumbo $090^\circ$ es hacia el este, $180^\circ$ hacia el sur y $270^\circ$ hacia el oeste.
Si dos vehículos salen del mismo punto, el ángulo entre sus trayectorias es la diferencia de sus rumbos. Ese ángulo queda comprendido entre los dos recorridos, así que se puede usar la ley de los cosenos. Primero hay que hallar cada recorrido: distancia = velocidad $\times$ tiempo.
Practica★★☆Sin empezar
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de…
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1.5 horas de vuelo?
La mediana $m_a$ es el segmento que va del vértice $A$ al punto medio $M$ del lado opuesto $a$. No es un lado del triángulo $ABC$, pero sí es lado del triángulo $ABM$, y ahí la ley de los cosenos funciona: conoces $AB=c$, $BM=\frac a2$ y el ángulo $B$, que es el mismo que el del triángulo grande.
Practica★★★Sin empezar
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.
Un cuadrilátero inscrito (o cíclico) tiene sus cuatro vértices sobre una circunferencia. Para estas figuras se cumple una propiedad: los ángulos opuestos son suplementarios, es decir, suman $180^\circ$.
Si $B+D=180^\circ$, entonces $\cos D=-\cos B$. Esto permite escribir la diagonal $AC$ de dos maneras, una por cada triángulo, e igualarlas.
Practica★★★Sin empezar
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos…
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.
Vuelve al principio: Wilkin mide $CA$, $CB$ y el ángulo $ACB$ y aplica $AB^2=CA^2+CB^2-2\cdot CA\cdot CB\cos C$ para obtener la distancia a través del lago.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado