Características de las funciones
Yaritza analiza la gráfica de las ganancias de un colmado durante la semana: ¿cuándo hay pérdidas?, ¿cuándo se gana más?, ¿se repite el patrón cada semana? Para responder, siempre hacemos las mismas preguntas a una función: ¿dónde está definida?, ¿dónde corta los ejes?, ¿dónde es positiva o negativa?, ¿qué valores toma?, ¿sube o baja? Al final de la página volveremos a las ganancias del colmado.
Dominio con varias restricciones a la vez
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
El dominio en un contexto
En un problema, además de las condiciones matemáticas, el contexto limita $x$: una longitud, un número de unidades o un tiempo no pueden ser negativos. Por ejemplo, si $x$ es la cantidad de unidades producidas, exigimos $x>0$. Si $A(x)=x(100-2x)$ es el área de un huerto, hace falta $x>0$ y $100-2x>0$, o sea $0
Puntos de corte y estudio del signo
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$ Halla sus puntos de corte con los ejes y…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$
Halla sus puntos de corte con los ejes y estudia su signo en todo su dominio.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.
Recorrido de una función
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Simetría: funciones pares e impares
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Crecimiento, extremos y periodicidad
Y volviendo al colmado de Yaritza: las ganancias suben hasta un máximo, bajan, y si el patrón se repite cada semana, la función es periódica de periodo 7 días.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina…
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en metros que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es…
Un agricultor dispone de $100$ metros de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determina el dominio de la función en el contexto del problema y calcula las dimensiones que maximizan el área.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas…
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas en $x = 1$.
Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa.…
Una noria tiene un radio de $10\text{ m}$, su centro se sitúa a $15\text{ m}$ del suelo y gira a velocidad constante tardando $4\text{ min}$ en dar una vuelta completa. Una cabina se encuentra en su punto más bajo en el instante $t = 0\text{ min}$. Sabiendo que la altura $h(t)$ en metros de la cabina en función del tiempo $t$ en minutos se modela con una función trigonométrica, determina su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.
Asíntotas y análisis completo
Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca cada vez más sin tocarla (o sin llegar a ella en ese extremo). Para hallarlas en una función racional $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$:
Para describir una gráfica sigue siempre este orden: dominio (qué $x$ cubre), recorrido (qué $y$ alcanza), simetría, asíntotas (verticales donde la gráfica se dispara, horizontales a los lados), extremos relativos, y signo (dónde está sobre o bajo el eje $x$). En el costo medio $C_m(x)=\dfrac{18{,}000x+72{,}000}{x}=18{,}000+\dfrac{72{,}000}{x}$ con $x>0$: es positivo siempre y decreciente, porque si $x_2>x_1>0$ entonces $\frac{72{,}000}{x_2}<\frac{72{,}000}{x_1}$. Además tiene asíntota vertical $x=0$ y horizontal $y=18{,}000$.
El costo medio mensual (en pesos) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{18\,000x + 72\,000}{x}$,…
El costo medio mensual (en pesos) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{18\,000x + 72\,000}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determina el dominio en el contexto del problema, estudia su signo y demuestra analíticamente en qué intervalos el costo medio es creciente o decreciente.
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e…
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.