Parábola
Una antena parabólica en un techo de Santiago, el faro de una camioneta y el arco de un puente tienen algo en común: su forma es una parábola. En las antenas y los faros, todo rayo paralelo al eje pasa por un mismo punto, el foco. ¿Por qué ocurre? La respuesta sale de cómo se define la parábola como lugar geométrico.
La parábola como lugar geométrico
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la…
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la cónica resultante y detalla sus elementos principales.
Elementos y ecuación reducida
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Parábolas trasladadas y ecuación general
Si el vértice es $V(h,k)$, la parábola se traslada igual que las demás cónicas:
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Eje horizontal: $(y-k)^2=2p(x-h)$, foco $\left(h+\frac{p}{2},k\right)$, directriz $x=h-\frac{p}{2}$.
-
Eje vertical: $(x-h)^2=2p(y-k)$, foco $\left(h,k+\frac{p}{2}\right)$, directriz $y=k-\frac{p}{2}$.
Al desarrollar aparece la ecuación general, con una variable al cuadrado y la otra de grado 1, por ejemplo $y^2-4y-6x+10=0$.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su…
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su vértice, su foco y la ecuación de su directriz.
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$,…
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$, halla la ecuación general de dicha parábola y las coordenadas exactas de su foco.
Parábolas por puntos y problemas del contexto
Una parábola de eje vertical se puede escribir como $y=ax^2+bx+c$. Con tres puntos se plantea un sistema de tres ecuaciones. Si conoces el vértice, es más corto usar $y-k=a(x-h)^2$ y sustituir un solo punto.
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se…
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se encuentra el arco a una distancia horizontal de $8\text{ m}$ del centro de la base.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de…
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de $15\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$. Determina analíticamente si el chorro de agua logrará pasar por encima de un muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distancia horizontal del punto de salida.
Distancia de un punto a una recta, proyección ortogonal y directriz oblicua
Cuando la directriz no es horizontal ni vertical, la distancia de $P(x,y)$ a ella no es tan simple como $|y+2|$. Necesitas la fórmula de la distancia de un punto a una recta.
Con ella, la definición $d(P,F)=d(P,d)$ funciona con cualquier directriz. La ecuación resultante tiene término en $xy$ (el eje de la parábola queda inclinado).
La misma fórmula sirve para buscar el punto de una parábola más cercano a una recta.
Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
Para hallar $H$:
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Calcula la pendiente de $r$ y la de la perpendicular (de $m$ a $-\frac1m$; si $r$ es $Ax+By+C=0$, la perpendicular tiene vector director $(A,B)$).
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Escribe la recta perpendicular que pasa por $P$.
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Resuelve el sistema formado por $r$ y esa perpendicular: la solución es $H$.
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua…
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua $x + y - 1 = 0$.
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha…
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha distancia mínima.
Posición de rectas y tangentes
Para saber cómo se corta una recta con una parábola, sustituye la recta en la ecuación de la parábola y analiza la ecuación de segundo grado resultante:
-
discriminante $>0$: secante (dos puntos);
-
discriminante $=0$: tangente (un punto);
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discriminante $<0$: exterior (ninguno).
Cuando la recta es secante, la cuerda es el segmento entre los dos puntos de corte; su longitud se calcula con la fórmula de distancia entre dos puntos.
Para trazar tangentes desde un punto exterior, plantea la recta $y=mx+n$ que pasa por el punto y exige discriminante cero.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al…
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al intersecar con la parábola.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Una circunferencia que pasa por puntos de la parábola
Algunos problemas combinan la parábola con una circunferencia. Recuerda la ecuación general de la circunferencia (la estudias en el apartado de Circunferencia):
$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$$con centro $\left(-\dfrac D2,-\dfrac E2\right)$. Tiene tres incógnitas ($D$, $E$, $F$): cada punto por el que pasa da una ecuación.
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical…
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical $x = 2$.
La propiedad reflectora
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las…
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las medidas expresadas en centímetros), ¿a qué distancia del vértice debe colocarse la bombilla para que los rayos de luz se reflejen paralelos al eje de simetría?
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0.25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se…
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0.25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se encuentra el foco donde debe situarse el receptor de la señal.
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto…
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto $P(1, 2)$. Demuestra de forma analítica que la recta que contiene al rayo reflejado pasa exactamente por el foco de la parábola.
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes…
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes a la parábola es exactamente la recta tangente en el vértice.
Vuelve al principio: la antena y el faro funcionan porque la tangente en cada punto forma ángulos iguales con el rayo paralelo y con el segmento al foco; así todos los rayos coinciden en $F$.