Función exponencial
Yaritza publica un video en las redes y lo comparte con 2 amigas. Cada una de ellas lo comparte con otras 2, y así sucesivamente: en cada ronda el número de personas que reciben el video se multiplica por 2, no se le suma una cantidad fija. Con un celular y unas pocas rondas se llega a miles de personas. En esta situación la variable (las rondas) está en el exponente, y eso cambia por completo la forma de crecer. Esta es la función exponencial.
La función exponencial
Toda función $f(x)=a^x$ pasa por $(0,1)$, porque $a^0=1$, y por $(1,a)$, porque $a^1=a$. Mueve el deslizador y comprueba que la gráfica siempre pasa por $(0,1)$.
Entre todas las bases hay una especial: el número $e\approx2.71828\ldots$, un irracional que aparece en procesos de crecimiento continuo (interés continuo, desintegración radiactiva, enfriamiento). Se deja escrito como $e$ salvo que el problema pida un valor aproximado.
Para trabajar con exponentes desconocidos usaremos el logaritmo natural, $\ln$, que cumple $\ln e=1$ y $\ln(a^x)=x\ln a$. En el apartado de la función logarítmica se estudia a fondo; aquí solo lo usamos como herramienta.
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando…
Dada la función exponencial $f(x) = 3^x$, calcula los valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ y $f(\frac{1}{2})$. Expresa los resultados de forma exacta, utilizando raíces o fracciones si fuera necesario.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \times a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Halla la expresión analítica de una función exponencial de la forma $f(x) = k \times a^x$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 12)$.
Determina el dominio de definición de la siguiente función: $f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Determina el dominio de definición de la siguiente función:
$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Crecimiento y decrecimiento
La razón: al pasar de $x$ a $x+1$, el valor se multiplica siempre por $a$, es decir $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=a$. Si ese factor es mayor que $1$, cada paso aumenta el valor; si es menor que $1$, lo reduce.
Reflexión: la función $-a^x$
Si pones un signo menos delante, $f(x)=-a^x$, cada valor cambia de signo: la gráfica de $a^x$ se refleja respecto al eje $x$. Pasa por $(0,-1)$, es siempre negativa, su recorrido es $(-\infty,0)$ y la asíntota sigue siendo $y=0$. Si $a>1$, $-a^x$ es decreciente: baja cada vez más rápido.
Así distingues cuatro gráficas típicas: $2^x$ (creciente, arriba), $3^x$ (creciente, más empinada que $2^x$), $0.5^x$ (decreciente, arriba) y $-2^x$ (negativa, abajo). Fíjate primero en el signo (arriba o abajo del eje $x$) y luego en la base.
Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base: $f(x) = 4^x$…
Clasifica las siguientes funciones exponenciales en crecientes o decrecientes, justificando tu respuesta en función del valor de su base:
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$f(x) = 4^x$
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$g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$
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$h(x) = 0.8^x$
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$i(x) = e^x$
Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$,…
Relaciona cada una de las gráficas etiquetadas con A, B, C y D en la siguiente figura con su función exponencial correspondiente. Las funciones son: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0.5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.
En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$. Determina analíticamente las coordenadas del punto…
En la gráfica adjunta se muestran las funciones $f(x) = e^x$ y $g(x) = e^{-x}$, junto con la recta horizontal $y = e$.
Determina analíticamente las coordenadas del punto de corte entre las funciones $f(x)$ y $g(x)$. A continuación, calcula el área exacta del triángulo cuyos vértices son dicho punto de intersección y los dos puntos donde las curvas cortan a la recta $y = e$.
Asíntota y traslaciones
Al trasladar la gráfica, la asíntota se traslada con ella. En $g(x)=a^{x-p}+q$:
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El exponente $x-p$ desplaza la curva $p$ unidades en horizontal (a la derecha si $p>0$).
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El $+q$ final la desplaza $q$ unidades en vertical.
Si $a>1$, cuando $x\to-\infty$ el término $a^{x-p}\to0$, así que $\lim_{x\to-\infty}\left(a^{x-p}+q\right)=q$. La asíntota horizontal es $y=q$, el dominio sigue siendo $\mathbb{R}$ y el recorrido es $(q,+\infty)$. (Si $0 Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$. Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$. A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de $g(x)$.Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función $f(x) = 2^x - 5$.
Calcula analíticamente las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica detalladamente qué transformaciones geométricas hay que aplicar a su gráfica para obtener la gráfica de la función…
Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente. Hay cuatro técnicas básicas.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad: $5^{2x-1} = 125$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial igualando las bases a ambos lados de la igualdad:
$5^{2x-1} = 125$
Expresa ambos miembros de la ecuación como potencias de base $2$ y resuelve: $8^x = \frac{1}{4}$
Expresa ambos miembros de la ecuación como potencias de base $2$ y resuelve:
$8^x = \frac{1}{4}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado: $9^x - 10 \times 3^x + 9 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial realizando un cambio de variable adecuado:
$9^x - 10 \times 3^x + 9 = 0$
Más ecuaciones y sistemas
Un sistema exponencial se resuelve con un cambio de variable para cada potencia: $u=2^x$, $v=3^y$. Queda un sistema lineal.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos: $4^{x-1} = 15$ Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una…
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando logaritmos:
$4^{x-1} = 15$
Expresa el resultado de forma exacta utilizando logaritmos y proporciona también una aproximación redondeada a dos cifras decimales.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial, extrayendo factor común tras aplicar las propiedades de las potencias: $2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial, extrayendo factor común tras aplicar las propiedades de las potencias:
$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales: $$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales:
$$ \begin{cases} 2^x + 3^y = 17 \\ 2^{x+1} - 3^{y-1} = 13 \end{cases} $$Modelos de crecimiento y decaimiento
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en…
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente en el cultivo hay $150$ bacterias, escribe la función $P(t)$ que modeliza el número de bacterias en función del tiempo $t$ (expresado en horas). ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo al cabo de $4$ horas?
Se invierten $300\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$. Escribe la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al…
Se invierten $300\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $3\%$.
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Escribe la función que determina el capital acumulado $C(t)$ al cabo de $t$ años.
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Calcula el capital total que se habrá acumulado tras $10$ años.
Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad su masa inicial) de $8$ días. Si partimos de una muestra inicial…
Un isótopo radiactivo tiene un periodo de semidesintegración (tiempo que tarda en reducirse a la mitad su masa inicial) de $8$ días. Si partimos de una muestra inicial de $200$ gramos:
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Escribe la función $M(t)$ que proporciona la masa restante del isótopo en función del tiempo $t$ en días.
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¿Qué masa de dicho isótopo quedará tras $24$ días?
Problemas con la base e
Cuando el crecimiento o decaimiento es continuo, el modelo usa $e^{kt}$. Para hallar el tiempo o la constante se despeja con $\ln$.
El valor de mercado de una máquina industrial decrece exponencialmente con el tiempo. Se compró por $2\,400\,000$ pesos y se sabe que cada año pierde un $15\%$ de su…
El valor de mercado de una máquina industrial decrece exponencialmente con el tiempo. Se compró por $2\,400\,000$ pesos y se sabe que cada año pierde un $15\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior.
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Escribe la función $V(t)$ que da el valor de la máquina en función de los años transcurridos.
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¿Cuál será su valor después de $5$ años?
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¿Cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que su valor se reduzca a la mitad?
La propagación de un virus en una población aislada de $10000$ habitantes sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:…
La propagación de un virus en una población aislada de $10000$ habitantes sigue un modelo de crecimiento logístico dado por la función:
$P(t) = \frac{10000}{1 + 99 e^{-0.5t}}$
donde $P(t)$ es el número de personas contagiadas y $t$ es el tiempo transcurrido en días desde el inicio del brote.
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Calcula el número inicial de contagiados en el instante $t = 0$.
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Determina cuántas personas estarán contagiadas transcurridos $10$ días.
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Calcula el tiempo exacto necesario para que la mitad de la población esté contagiada.
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde…
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto en un instante $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, donde $T_a$ es la temperatura ambiente y $T_0$ la temperatura inicial del objeto. Una taza de café a $90^\circ\text{C}$ se deja en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Si tras $10$ minutos la temperatura del café ha descendido a $60^\circ\text{C}$:
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Calcula el valor exacto de la constante de enfriamiento $k$.
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Determina el tiempo total transcurrido desde el inicio para que el café alcance una temperatura de $30^\circ\text{C}$.
Estudio analítico de funciones con exponencial
Para estudiar una función que contiene $e^{(\ldots)}$ se usan tres ideas.
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Como $e^u>0$ siempre, nunca se anula y no cambia el signo de un producto: el signo lo decide el otro factor.
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El dominio sale del exponente (una fracción no puede tener denominador $0$).
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Las asíntotas salen de los límites del exponente: si $u\to c$, entonces $e^u\to e^c$.
Una función definida a trozos es continua si en cada punto de unión coinciden los límites laterales y el valor de la función.
Con dos puntos de unión salen dos ecuaciones y se resuelven juntas (con dos incógnitas). En el ejercicio de continuidad, usa $x=0$ y $x=2$.
Determina analíticamente los intervalos de signo constante (es decir, los intervalos donde la función es estrictamente positiva y donde es estrictamente negativa) de la…
Determina analíticamente los intervalos de signo constante (es decir, los intervalos donde la función es estrictamente positiva y donde es estrictamente negativa) de la función:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$
Dada la función $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realiza un estudio analítico para determinar: Su dominio de definición. Los puntos de corte con los ejes de coordenadas. Las…
Dada la función $f(x) = e^{\frac{2x}{x-1}}$, realiza un estudio analítico para determinar:
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Su dominio de definición.
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Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
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Las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales, si las tuviera.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo $\mathbb{R}$: $$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b &…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo $\mathbb{R}$:
$$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 2^{x-1} + a & \text{si } x > 2 \end{cases} $$Vuelve al principio: si Yaritza comparte el video con 2 amigas y cada ronda se multiplica por $2$, en la ronda $t$ lo reciben $N(t)=2^t$ personas: en la ronda 10 ya son $2^{10}=1{,}024$.