Distancias en el plano
Un dron que sobrevuela el Malecón de Santo Domingo, un láser que corta una plancha metálica o una antena que debe darle señal a dos pueblos necesitan medir lo mismo: a qué distancia está un punto de otro punto o de una trayectoria recta. En el plano cartesiano las dos preguntas tienen fórmula propia, y ambas salen del teorema de Pitágoras.
Distancia entre dos puntos
Si te mueves de $A$ a $B$, avanzas una cantidad en horizontal y otra en vertical. Esos dos desplazamientos son los catetos de un triángulo rectángulo, y el segmento $AB$ es la hipotenusa.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$.
Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.
Calcula la distancia del punto $P(-4, 7)$ al eje de ordenadas y al eje de abscisas.
Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.
Comprueba si el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ es isósceles calculando la longitud exacta de sus tres lados.
Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.
Dado el segmento de extremos $A(2, 4)$ y $B(6, -2)$, calcula primero las coordenadas de su punto medio $M$ y, a continuación, halla la distancia de $M$ al extremo $A$.
Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en metros. Calcula el perímetro exacto…
Un panel solar tiene forma de cuadrilátero con vértices en las coordenadas $A(-1, -1)$, $B(3, 0)$, $C(4, 4)$ y $D(0, 3)$, medidas en metros. Calcula el perímetro exacto del panel.
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta es la menor de todas las distancias del punto a los puntos de la recta, y se mide siguiendo el segmento perpendicular.
La idea de la fórmula: $Ax_0+By_0+C$ mide qué tan lejos está $P$ de cumplir la ecuación de la recta, y dividir entre $\sqrt{A^2+B^2}$ (el módulo del vector $(A,B)$, perpendicular a $r$) lo convierte en una longitud real.
Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.
Halla la distancia desde el origen de coordenadas a la recta de ecuación $3x - 4y + 10 = 0$.
Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.
Determina la distancia del punto $P(2, 5)$ a la recta $r: 5x + 12y - 4 = 0$.
Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.
Calcula la distancia del punto $Q(-1, 3)$ a la recta dada en forma explícita $y = 2x - 1$.
Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las…
Un cometa atraviesa un sistema estelar siguiendo una trayectoria rectilínea de ecuación $3x + y - 6 = 0$. Un satélite de observación se encuentra estacionario en las coordenadas $S(2, 4)$. Calcula la distancia mínima a la que pasará el cometa del satélite.
Distancia entre rectas paralelas
Como los coeficientes son los mismos, hay un atajo: si $r: Ax+By+C=0$ y $s: Ax+By+C'=0$, entonces
$$d(r,s)=\frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$Rectas paralelas a una distancia dada
Ahora al revés: dada $r: Ax+By+C=0$ y una distancia $d$, ¿qué rectas paralelas a $r$ están a esa distancia? Tienen la forma $Ax+By+C'=0$, y por el atajo anterior se cumple $|C'-C|=d\sqrt{A^2+B^2}$. Eso da dos valores de $C'$: una recta a cada lado de $r$.
Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.
Halla la distancia que separa a las rectas paralelas $r: 3x + 4y - 5 = 0$ y $s: 3x + 4y + 15 = 0$.
Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma…
Dos barcos siguen rutas rectas y paralelas. El primer barco navega por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. El segundo barco pasa por el punto $A(3, 1)$ manteniendo la misma dirección. Calcula la distancia mínima que separa ambas trayectorias.
Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos…
Un láser industrial debe realizar un corte principal en una plancha metálica siguiendo la recta $r: 4x - 3y + 2 = 0$. Además, el sistema debe programarse para hacer dos cortes paralelos de seguridad a una distancia exacta de $10$ mm a cada lado del corte principal. Halla las ecuaciones generales de las rectas de los cortes de seguridad.
Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.
Calcula los posibles valores del parámetro $c$ sabiendo que las rectas paralelas $r: 2x - y + c = 0$ y $s: 4x - 2y + 5 = 0$ distan entre sí $3\sqrt{5}$ unidades.
Áreas de triángulos con base y altura
La altura de un triángulo es la distancia de un vértice a la recta que contiene el lado opuesto. Con eso calculas el área sin otras fórmulas.
Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en…
Un equipo de topografía ha delimitado un terreno triangular cuyas estaciones base se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, -1)$ y $C(4, 6)$, expresadas en kilómetros. Calcula el área exacta del terreno evaluando primero la longitud de la base $AB$ y luego la altura correspondiente desde el vértice $C$.
Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo…
Un triángulo isósceles tiene su lado desigual (la base) sobre la recta $r: x + y - 2 = 0$. El vértice opuesto a la base es $A(4, 4)$ y se sabe que el área del triángulo es de $12$ u$^2$. Calcula la longitud exacta de la base y de los dos lados iguales.
Puntos equidistantes y distancias mínimas
Muchos problemas piden puntos que cumplen una condición de distancia. El método es siempre el mismo: llama $(x, y)$ al punto buscado, escribe la condición con las fórmulas de distancia y resuelve.
Equidistar de dos puntos
Equidistar de dos rectas
Al quitar el valor absoluto hay dos opciones, $+$ y $-$, y salen dos rectas perpendiculares entre sí.
Distancia mínima a una recta
Si un vehículo se desplaza por una recta, el punto más cercano a una base $C$ es el pie de la perpendicular trazada desde $C$ a la recta. Se halla así: se escribe la recta perpendicular que pasa por $C$ y se resuelve el sistema con la recta dada. La distancia mínima es $d(C, r)$.
Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma…
Se quiere instalar una antena de telecomunicaciones sobre una carretera recta que coincide con el eje de abscisas. Esta antena debe estar exactamente a la misma distancia del pueblo $P(-2, 3)$ y del pueblo $Q(4, 1)$. ¿En qué coordenadas exactas debe situarse la antena?
En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor…
En un parque, el centro de una plaza está situado en el punto $P(0, 5)$. Una tubería recta de riego sigue la trayectoria $y = x + 1$. Se quiere instalar un aspersor sobre la tubería que diste exactamente $5$ unidades del centro de la plaza. Halla las coordenadas de las dos posibles ubicaciones del aspersor.
Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de…
Un vehículo de exploración espacial se mueve en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2x$. En el punto $C(5, 0)$ se encuentra una base de recarga inalámbrica de emergencia. Determina en qué punto exacto de su trayectoria el vehículo estará a la mínima distancia de la base y calcula dicha distancia.
Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.
Halla los posibles valores del parámetro $k$ para que la recta $r: kx + 3y - 5 = 0$ diste exactamente $2$ unidades del punto $P(1, -2)$.
Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril bici que equidiste de ambas…
Las rectas $r: x - 2y + 1 = 0$ y $s: 2x + y - 3 = 0$ representan los bordes de dos avenidas que se cruzan. Se quiere construir un carril bici que equidiste de ambas avenidas en todo momento. Halla las ecuaciones de las dos posibles trayectorias del carril bici (las bisectrices) y demuestra analíticamente que son perpendiculares.
Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$,…
Halla las coordenadas de los puntos del plano que cumplen simultáneamente dos condiciones: equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 2 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$, y su distancia al origen de coordenadas es exactamente $5$ unidades.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto…
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ cuya distancia a la recta $r: 3x - 4y = 0$ es exactamente el doble que su distancia al punto fijo $Q(0, 2)$. Simplifica la ecuación resultante.
Diagonales de cuadrados y rombos
Cuando una figura tiene una diagonal sobre una recta conocida y un vértice fuera de ella, las distancias te dan los demás vértices.
Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta…
Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado sabiendo que uno de sus vértices es $A(1, 2)$ y que una de sus diagonales está contenida en la recta $d: x - y - 1 = 0$.
Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 9 = 0$. Si el área del rombo es de…
Un rombo tiene uno de sus vértices en el punto $A(2, 1)$ y la diagonal que no pasa por $A$ se encuentra sobre la recta $r: x + 2y - 9 = 0$. Si el área del rombo es de $20$ u$^2$, halla las coordenadas de los tres vértices restantes.
Vuelve al principio: el dron, el láser y la antena se resuelven con estas mismas fórmulas, la de punto a punto y la de punto a recta.