Punto medio de un segmento
Wilkin y Yaritza viven en los extremos de la Autopista Duarte, uno en un punto $A$ y otra en un punto $B$ de un mapa con cuadrícula. Quieren encontrarse justo a mitad de camino, en un colmado que quede a la misma distancia de los dos. ¿Cómo se calculan las coordenadas de ese lugar? Ese punto es el punto medio, la herramienta más sencilla de la geometría analítica y una de las que más se usa escondida dentro de otros problemas: diagonales que se cortan, centros de figuras, simetrías. Casi siempre que un enunciado habla de «centro» o de «simétrico», detrás hay un punto medio.
La fórmula del punto medio
Es lógico: para estar a mitad de camino en horizontal, la coordenada $x$ de $M$ queda en medio de las de $A$ y $B$; lo mismo pasa con la $y$.
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.
Calcula las coordenadas del punto medio del segmento de extremos $A(2, -4)$ y $B(-6, 8)$.
El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.
El punto $M(1, 3)$ es el punto medio del segmento que une los puntos $A(-2, 5)$ y $B$. Determina las coordenadas del extremo $B$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(-k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(-k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
El punto medio en figuras geométricas
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.
Los vértices opuestos de un cuadrado están situados en los puntos $A(1, 1)$ y $C(7, 5)$. Determina las coordenadas del centro del cuadrado.
Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.
Halla el punto medio del segmento que determinan los puntos de corte de la recta $2x + 3y - 12 = 0$ con los ejes de coordenadas.
Diagonales de un paralelogramo
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su…
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$.
Los puntos medios de un cuadrilátero: el paralelogramo de Varignon
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2.4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo…
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2.4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo de Varignon) y calcula su área.
El triángulo, la mediana y el baricentro
En la figura, $M$ es el punto medio del lado $AB$ y $CM$ es la mediana desde $C$.
Para ubicar el baricentro se usa su fórmula: es la media de las tres coordenadas de los vértices.
Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.
Halla la ecuación de la mediana correspondiente al vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(1, -3)$, $B(5, 1)$ y $C(-3, 5)$.
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la…
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la propiedad del baricentro respecto a los puntos medios de los lados.
Ampliación: reconstruir un triángulo desde los puntos medios
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres…
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres vértices del triángulo $A, B$ y $C$.
El punto simétrico respecto a una recta
También sirve para lugares geométricos: si un punto recorre una recta, su punto medio con el origen recorre otra recta (se halla expresando $x$ e $y$ del punto medio y sustituyendo en la ecuación original).
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 8)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto…
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 8)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto medio del segmento $ST$ coincide con el punto de impacto en el espejo.
Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.
Calcula las coordenadas del punto simétrico de $A(1, 5)$ respecto a la recta $r: 2x - y - 3 = 0$.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
Vuelve al principio: el colmado de Wilkin y Yaritza está en el punto medio $M$ de sus dos casas, que se obtiene promediando las coordenadas de $A$ y $B$.