Wilkin mira la rueda de la fortuna del malecón y se pregunta: si una cabina avanza por el borde, ¿cómo saber qué distancia recorre sabiendo solo cuánto giró? Hasta ahora has medido los ángulos en grados, una unidad que divide la vuelta en $360$ partes por pura tradición. Ahora conocerás una segunda unidad, el radián, que nace de la propia circunferencia y hace que las fórmulas de giros sean mucho más simples. Al final de la página volveremos a la rueda.
El radián: cuando el arco mide lo mismo que el radio
Imagina que tomas el radio de una circunferencia y lo doblas sobre el borde, como un hilo. El ángulo central que abarca ese trozo de arco, igual de largo que el radio, es un radián. No importa si la circunferencia es pequeña o enorme: la proporción arco/radio para ese ángulo es siempre la misma.
La circunferencia mide $2\pi r$ y cada radián abarca un arco de longitud $r$, así que en una vuelta completa caben exactamente $2\pi$ radianes. Por eso $2\pi$ rad $=360^\circ$.
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Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Una vuelta son $360^\circ$ y también $2\pi$ rad; media vuelta, $180^\circ=\pi$ rad. Con esa pareja se arma una regla de tres.
Grados, minutos y segundos
Cuando el resultado en grados no es exacto, se puede dar en grados decimales o en grados, minutos y segundos (notación sexagesimal). Cada grado se divide en $60$ minutos y cada minuto en $60$ segundos: $1^\circ=60'$ y $1'=60''$.
Para volver a decimal haces lo contrario: $\text{grados}+\dfrac{\text{minutos}}{60}+\dfrac{\text{segundos}}{3600}$.
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Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Muchos problemas de ángulos usan dos datos de geometría que ya conoces de 4°, y los necesitarás tanto en grados como en radianes.
El ángulo entre las agujas de un reloj
La esfera tiene $12$ horas en $360^\circ$, así que entre dos horas consecutivas hay $30^\circ$. El minutero da una vuelta en $60$ minutos, así que avanza $6^\circ$ por minuto. La aguja horaria avanza $30^\circ$ en $60$ minutos, o sea, $0.5^\circ$ por minuto.
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Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en…
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en radianes (utilizando fracciones de $\pi$).
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 16:20 h.
Vueltas completas, ángulos negativos y el cuadrante
Un ángulo puede pasar de una vuelta o ser negativo (giro en sentido horario). Para saber dónde termina, le sumas o restas vueltas completas ($360^\circ$ o $2\pi$ rad) hasta dejarlo entre $0$ y $360^\circ$ (o entre $0$ y $2\pi$).
Los cuadrantes se numeran en sentido antihorario: I de $0^\circ$ a $90^\circ$, II de $90^\circ$ a $180^\circ$, III de $180^\circ$ a $270^\circ$ y IV de $270^\circ$ a $360^\circ$.
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Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Aquí el radián demuestra su utilidad: como $1$ rad es un arco igual al radio, un ángulo de $\theta$ radianes abarca un arco de $\theta$ radios.
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Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ cm de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros,…
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ metros del centro. Si recorre una distancia de $120$ metros, calcula el ángulo que ha descrito respecto al centro de la pista en radianes. Expresa también este resultado en grados, minutos y segundos.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ metros y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Vuelve al principio: si la rueda de Wilkin tiene radio $r$ y la cabina gira $\theta$ radianes, recorre un arco $s=r\theta$.
Ampliación: velocidad angular
Cuando algo gira (un disco, una rueda, el haz de un faro) interesa saber qué ángulo recorre por unidad de tiempo: es la velocidad angular, que se mide en rad/s.
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Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2.5$ segundos.
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ cm y la polea conducida tiene un radio de $45$ cm. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ cm. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ km/h, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.