Ejercicios y problemas de cónicas
Tres estaciones sísmicas del país registran un temblor a la misma hora exacta. Conocemos sus posiciones y nada más. ¿Dónde está el epicentro? Para responder hay que reconocer qué curva dibujan los puntos que están a igual distancia de las tres estaciones. Eso es lo que se practica aquí: ya conoces las cónicas por separado, ahora toca distinguirlas, plantearlas desde un enunciado y resolver problemas completos.
¿Qué cónica es? Mira la ecuación
Si la ecuación está desarrollada, los coeficientes de $x^2$ y de $y^2$ te dicen casi todo.
Cuando la ecuación ya está en forma reducida, se leen los elementos directamente:
| Cónica | Ecuación (centro en el origen) | Elementos |
|---|---|---|
| Elipse | $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, con $a>b$ | $c^2=a^2-b^2$, $e=\frac{c}{a}<1$, focos $(\pm c, 0)$ |
| Hipérbola | $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ | $c^2=a^2+b^2$, $e=\frac{c}{a}>1$, asíntotas $y=\pm\frac{b}{a}x$ |
| Parábola | $y^2=4px$ | foco $(p, 0)$, directriz $x=-p$, vértice $(0, 0)$ |
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Ecuación general: completar cuadrados
Cuando la cónica está trasladada, aparecen términos $Dx$ y $Ey$. Se agrupan las $x$ por un lado y las $y$ por otro, y se completan cuadrados para llegar a la forma ordinaria.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos…
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos y el valor de su excentricidad.
Lugares geométricos: mira el enunciado
Si no hay ecuación, mira qué condición cumple el punto $P(x, y)$:
| La condición dice… | El lugar es… |
|---|---|
| distancia constante a un punto | circunferencia |
| suma de distancias a dos puntos constante | elipse |
| diferencia (en valor absoluto) de distancias a dos puntos constante | hipérbola |
| igual distancia a un punto y a una recta | parábola |
| distancia a un punto $=e\times$ distancia a una recta | elipse si $e<1$, parábola si $e=1$, hipérbola si $e>1$ |
| igual distancia a dos puntos | mediatriz (una recta) |
| igual distancia a dos rectas | bisectrices (rectas) |
| distancia a $A$ $=k\times$ distancia a $B$, con $k\neq1$ | circunferencia |
El método siempre es el mismo: escribes la condición con $P(x, y)$, usas la fórmula de distancia, elevas al cuadrado y simplificas.
Con la bisectriz se usa la distancia de un punto a una recta, $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Se igualan las distancias a las dos rectas y se quitan los valores absolutos con $\pm$, lo que da las dos bisectrices:
$$\frac{|A_1x+B_1y+C_1|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{|A_2x+B_2y+C_2|}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$$Foco, directriz y excentricidad
La parábola tiene un foco y una directriz. La elipse y la hipérbola también tienen directrices: cada foco $(\pm c, 0)$ lleva asociada una directriz vertical.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$.…
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la…
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y…
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical…
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cónica resultante, halla sus semiejes y represéntala gráficamente ilustrando la propiedad de la directriz.
Problemas de contexto con varios pasos
Los problemas reales casi nunca te dan $a$, $b$, $c$ o $p$. Primero hay que traducir el enunciado a esos datos.
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Coloca los ejes de forma cómoda (el centro o el vértice en el origen).
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Escribe qué puntos conoces con sus coordenadas.
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Elige la cónica y su ecuación.
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Sustituye los datos para hallar los parámetros.
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Responde la pregunta con las unidades del enunciado.
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma…
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo a las tres estaciones, halla las coordenadas del epicentro y el radio de la zona afectada (distancia a las estaciones).
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta…
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a…
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$…
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.
Cónicas y rectas: cortes y tangentes
Puntos de corte
Se despeja una variable de la recta y se sustituye en la ecuación de la cónica. Queda una ecuación de segundo grado cuyo discriminante $\Delta$ decide: $\Delta>0$, dos puntos (secante); $\Delta=0$, un punto (tangente); $\Delta<0$, ninguno (exterior).
Tangentes
Hay dos situaciones y dos herramientas:
Tangentes desde un punto exterior
Si el punto no está en la curva, la tangente se escribe con pendiente desconocida $m$: $y-y_0=m(x-x_0)$. Para una circunferencia, se impone que la distancia del centro a la recta sea igual al radio.
Esta misma idea sirve para un parámetro en una recta: el barco es "detectado" si la recta corta al círculo, es decir, si la distancia del centro a la recta es menor o igual que el radio.
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando…
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación…
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación $3x + 4y + k = 0$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el barco es detectado por el radar en algún momento de su trayectoria.
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y…
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto.
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación…
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Halla las ecuaciones de las dos trayectorias rectilíneas tangentes a la órbita desde la estación de control.
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de…
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Un rayo de luz sale de la bombilla, incide en la parábola en un punto de ordenada $y = 6$ y se refleja. Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de incidencia y halla el ángulo que forma el rayo incidente con dicha tangente.
Intersección entre curvas
Dos circunferencias: eje radical
Si restas las ecuaciones generales de dos circunferencias, desaparecen $x^2$ y $y^2$ y queda una recta, el eje radical. Pasa por los puntos de corte, si los hay.
Son secantes cuando $|r1-r2| Se resuelve el sistema por sustitución. Ojo: algunas soluciones de la ecuación resultante pueden no servir. Una hipérbola equilátera ($a=b$) cuyas asíntotas son los ejes coordenados tiene ecuación $xy=k$. Para hallar $k$ basta sustituir un punto. Si $k>0$, las ramas están en los cuadrantes I y III, y el eje focal es la recta $y=x$: vértices $(\sqrt k, \sqrt k)$ y $(-\sqrt k, -\sqrt k)$; $a=b=\sqrt{2k}$ y $c=a\sqrt2=2\sqrt k$; focos $(\sqrt{2k}, \sqrt{2k})$ y $(-\sqrt{2k}, -\sqrt{2k})$. Comprueba: el foco está a distancia $\sqrt{2k+2k}=2\sqrt k=c$ del origen. Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias. Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la ecuación del eje radical, demuestra analíticamente que las circunferencias son secantes y calcula la distancia exacta entre sus puntos de intersección. Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas. Sabiendo que la partícula pasa por el punto $P(4, 2)$, resuelve: Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.Una parábola con una hipérbola
Hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las…
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la…
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas.…