Rectas y puntos notables de un triángulo
Tres antenas de telecomunicaciones están en lugares distintos de una provincia y se quiere poner un transmisor que equidiste de las tres. ¿Dónde va? Cada triángulo tiene puntos especiales: el centro de gravedad, el centro de la circunferencia que pasa por sus vértices y el punto donde se cruzan sus alturas. Todos se calculan con las ecuaciones de la recta que ya conoces.
Medianas y baricentro
La fórmula es el promedio de las coordenadas: el baricentro es el punto de equilibrio si pones el mismo peso en cada vértice.
Una recta también se puede escribir con un punto y un vector director $(a, b)$. Es la ecuación simétrica (en algunos textos se le llama también continua):
$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}$$Para una mediana, el punto es el vértice y el vector director es $\overrightarrow{AM}$ (de $A$ al punto medio $M$). Esta ecuación equivale a $b(x-x_0) = a(y-y_0)$.
Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ y $C(-1, 5)$.
Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo cuyos vértices son $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ y $C(-1, 5)$.
Comprueba analíticamente si el punto $P(1, 2)$ es el baricentro del triángulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ y $C(5, 1)$.
Comprueba analíticamente si el punto $P(1, 2)$ es el baricentro del triángulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ y $C(5, 1)$.
Halla la ecuación explícita de la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ y $C(2, 6)$.
Halla la ecuación explícita de la mediana que parte del vértice $A$ en el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ y $C(2, 6)$.
En un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(a, b)$, se sabe que el baricentro es el punto $G(2, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$ y la ecuación…
En un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ y $C(a, b)$, se sabe que el baricentro es el punto $G(2, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$ y la ecuación continua de la mediana que parte de dicho vértice.
Alturas y ortocentro
Halla las coordenadas del ortocentro del triángulo rectángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(0, 4)$.
Halla las coordenadas del ortocentro del triángulo rectángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(0, 4)$.
Determina la ecuación general de la altura trazada desde el vértice $B$ en el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(1, -5)$.
Determina la ecuación general de la altura trazada desde el vértice $B$ en el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(1, -5)$.
Un edificio tiene una planta triangular con vértices en los puntos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ y $C(2, 5)$. Calcula las coordenadas del ortocentro de dicho triángulo.
Un edificio tiene una planta triangular con vértices en los puntos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ y $C(2, 5)$. Calcula las coordenadas del ortocentro de dicho triángulo.
El ortocentro de un triángulo es el punto $H(2, 2)$. Se conocen dos de sus vértices, que son $A(-1, 3)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$.
El ortocentro de un triángulo es el punto $H(2, 2)$. Se conocen dos de sus vértices, que son $A(-1, 3)$ y $B(4, 1)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$.
Mediatrices y circuncentro
Calcula la ecuación general de la mediatriz del lado $AB$ de un triángulo sabiendo que sus vértices correspondientes son $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.
Calcula la ecuación general de la mediatriz del lado $AB$ de un triángulo sabiendo que sus vértices correspondientes son $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.
Calcula las coordenadas del circuncentro del triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ y $C(0, 6)$.
Calcula las coordenadas del circuncentro del triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ y $C(0, 6)$.
Tres árboles en una plantación agrícola están situados en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(1, 5)$ (coordenadas expresadas en decenas de metros). Se quiere instalar…
Tres árboles en una plantación agrícola están situados en los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ y $C(1, 5)$ (coordenadas expresadas en decenas de metros). Se quiere instalar un aspersor que equidiste de los tres árboles. Calcula las coordenadas del punto donde debe colocarse (circuncentro) y el radio de alcance del agua necesario para regarlos.
Tres refugios de montaña están situados en las coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(-2, -2)$ (expresadas en kilómetros). Un helicóptero de rescate se mantiene en vuelo…
Tres refugios de montaña están situados en las coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(-2, -2)$ (expresadas en kilómetros). Un helicóptero de rescate se mantiene en vuelo estacionario en el circuncentro del triángulo formado por los refugios. Calcula las coordenadas del helicóptero y el radio de la circunferencia que abarca a los tres refugios.
Un triángulo tiene vértices $A(1, 1)$ y $B(5, 1)$. El vértice $C$ se encuentra sobre la recta de ecuación $y = x+2$. Sabiendo que el triángulo es isósceles y que el lado…
Un triángulo tiene vértices $A(1, 1)$ y $B(5, 1)$. El vértice $C$ se encuentra sobre la recta de ecuación $y = x+2$. Sabiendo que el triángulo es isósceles y que el lado desigual es $AB$, halla las coordenadas del vértice $C$ y de su circuncentro.
Vuelve al principio: el transmisor que equidista de las tres antenas se coloca en el circuncentro del triángulo que forman.
Problemas con puntos desconocidos
Cuando faltan vértices, se plantean las condiciones de cada recta notable como ecuaciones y se resuelve el sistema. Veamos los casos más frecuentes.
Vértices a partir de dos medianas
Si $A$ no está en ninguna de las dos medianas dadas, ambas salen de $B$ y de $C$. Se usan dos ideas: las medianas se cortan en $G$, y el punto medio $M$ de $BC$ cumple $\overrightarrow{AM}=\tfrac32\,\overrightarrow{AG}$ (porque $G$ divide a $AM$ en razón $2:1$).
Vértices a partir de mediatrices
La mediatriz de $AB$ es la recta perpendicular a $AB$ por su punto medio. Entonces $B$ es el simétrico (reflexión) de $A$ respecto a esa mediatriz. Para reflejar un punto $P$ respecto a una recta: se traza la perpendicular a la recta por $P$, se halla el pie $M$ (punto medio entre $P$ y su simétrico) y se calcula $P' = 2M - P$.
Lugar geométrico: eliminar un parámetro
Si un punto depende de un parámetro $t$, sus coordenadas son $x = f(t)$, $y = g(t)$. Para hallar la ecuación del lugar que recorre, se despeja $t$ de una y se sustituye en la otra.
Dado un triángulo rectángulo genérico cuyos vértices se sitúan en $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(0,b)$ con $a, b > 0$, demuestra analíticamente que su ortocentro coincide con…
Dado un triángulo rectángulo genérico cuyos vértices se sitúan en $A(0,0)$, $B(a,0)$ y $C(0,b)$ con $a, b > 0$, demuestra analíticamente que su ortocentro coincide con el origen de coordenadas y su circuncentro es exactamente el punto medio de la hipotenusa.
Los vértices de un triángulo son $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ y $C(t, 2t)$, donde $t$ es un parámetro real que determina la posición del vértice $C$ sobre una recta. Encuentra…
Los vértices de un triángulo son $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ y $C(t, 2t)$, donde $t$ es un parámetro real que determina la posición del vértice $C$ sobre una recta. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describe el baricentro del triángulo al variar $t$.
De un triángulo $ABC$ se conoce el vértice $A(1, 3)$ y las ecuaciones de dos de sus medianas: $x-2y+1=0$ y $y-1=0$. Calcula las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
De un triángulo $ABC$ se conoce el vértice $A(1, 3)$ y las ecuaciones de dos de sus medianas: $x-2y+1=0$ y $y-1=0$. Calcula las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
En un triángulo $ABC$, el vértice $A$ tiene coordenadas $(-1, 2)$. Las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ están contenidas en las rectas de ecuaciones…
En un triángulo $ABC$, el vértice $A$ tiene coordenadas $(-1, 2)$. Las alturas trazadas desde los vértices $B$ y $C$ están contenidas en las rectas de ecuaciones $x-y+1=0$ y $2x+y-4=0$ respectivamente. Determina las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
Se conoce el vértice $A(2, 5)$ de un triángulo $ABC$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $AC$ tienen por ecuaciones $x-y+2=0$ y $2x+y-3=0$, respectivamente. Halla las…
Se conoce el vértice $A(2, 5)$ de un triángulo $ABC$. Las mediatrices de los lados $AB$ y $AC$ tienen por ecuaciones $x-y+2=0$ y $2x+y-3=0$, respectivamente. Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$.
Ampliación: bisectrices e incentro
La bisectriz de un ángulo está formada por los puntos que equidistan de los dos lados que lo forman. Las tres bisectrices se cortan en el incentro $I$, centro de la circunferencia inscrita (tangente a los tres lados). Su radio es la distancia de $I$ a cualquier lado.
Se usa la distancia de un punto a una recta: $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
Calcula las ecuaciones de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas que contienen a los lados de un triángulo, cuyas ecuaciones son $3x-4y+1=0$ y…
Calcula las ecuaciones de las dos bisectrices de los ángulos formados por las rectas que contienen a los lados de un triángulo, cuyas ecuaciones son $3x-4y+1=0$ y $4x+3y-5=0$.
Tres carreteras se cruzan formando un triángulo delimitado por las rectas $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$. Calcula las coordenadas del incentro para situar una rotonda…
Tres carreteras se cruzan formando un triángulo delimitado por las rectas $x=0$, $y=0$ y $3x+4y-12=0$. Calcula las coordenadas del incentro para situar una rotonda tangente a las tres vías, y el radio de dicha rotonda.
Ampliación: la recta de Euler
Tres antenas de telecomunicaciones forman un triángulo con vértices en $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 5)$. Calcula la ubicación del centro de gravedad (baricentro) para…
Tres antenas de telecomunicaciones forman un triángulo con vértices en $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 5)$. Calcula la ubicación del centro de gravedad (baricentro) para colocar un transmisor central, y determina la distancia exacta desde dicho transmisor hasta la antena $C$.
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, halla las coordenadas de su baricentro y de su ortocentro. A continuación, obtén la ecuación general de…
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, halla las coordenadas de su baricentro y de su ortocentro. A continuación, obtén la ecuación general de la recta de Euler que pasa por ambos puntos.
Dados los vértices de un triángulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ y $C(1, 5)$, halla las coordenadas del ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$. Demuestra…
Dados los vértices de un triángulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ y $C(1, 5)$, halla las coordenadas del ortocentro $H$, el baricentro $G$ y el circuncentro $O$. Demuestra analíticamente que la distancia entre el ortocentro y el baricentro es el doble de la distancia entre el baricentro y el circuncentro ($HG = 2GO$).
Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ de un triángulo sabiendo que el vértice $A$ es $(-3, 1)$, su circuncentro es el punto $O(5, 2)$ y su baricentro es…
Halla las coordenadas de los vértices $B$ y $C$ de un triángulo sabiendo que el vértice $A$ es $(-3, 1)$, su circuncentro es el punto $O(5, 2)$ y su baricentro es $G(4, 2)$.