Razones del ángulo suma de dos ángulos
Un técnico instala un panel solar en el techo de un colegio en Santiago. Primero lo inclina un ángulo $\alpha$ y luego lo sube $15^\circ$ más. ¿Cuál es la tangente de la inclinación total, sin usar la calculadora? Un error muy común es creer que $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta$. No es así. La fórmula correcta es más larga, pero permite hallar razones de ángulos como $75^\circ$ ($=45^\circ+30^\circ$) a partir de ángulos notables.
Las fórmulas de la suma: seno, coseno y tangente
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el…
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el resultado.
Calcular ángulos no notables con dos notables
$75^\circ$, $105^\circ$ o $15^\circ$ no están en la tabla de ángulos notables, pero se escriben como suma de dos que sí lo están.
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si…
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.
Usar las fórmulas al revés
Leídas de derecha a izquierda, las fórmulas convierten una expresión de cuatro factores en una sola razón trigonométrica.
Una aplicación: área con el seno del ángulo
El área de un paralelogramo de lados $a$ y $b$ que forman un ángulo $\theta$ es $A=ab\operatorname{sen}\theta$. Es porque la altura sobre el lado $a$ mide $b\operatorname{sen}\theta$ y el área es base por altura. El triángulo formado por los mismos lados y ese ángulo tiene la mitad: $\frac12ab\operatorname{sen}\theta$.
El ejercicio MEDIO-07 combina esto con la fórmula del seno de la suma: primero reconoce el ángulo total y luego usa $ab\operatorname{sen}\theta$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:…
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:
$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto: $\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto:
$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área…
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área exacta de un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden $8$ cm y $10$ cm, sabiendo que el ángulo que forman es precisamente la suma de $15^\circ$ y $30^\circ$.
Cuando solo conoces las razones, no los ángulos
Muchos problemas dan una razón de cada ángulo, no el ángulo. Primero se calculan las razones que faltan con $\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$, cuidando el signo según el cuadrante, y luego se aplica la fórmula.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante),…
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante), calcula el valor exacto de $\sin(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con…
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcula el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$.
Identidades y demostraciones
Las fórmulas también sirven para comprobar identidades: se desarrolla el lado que contiene $\alpha+\beta$ y se simplifica hasta llegar al otro lado.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:
$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$
Simplifica la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
Simplifica la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
Aplicaciones y ecuaciones
Las fórmulas resuelven situaciones donde dos inclinaciones o giros se combinan: un panel solar, la rampa de un puente, un brazo robótico, o una ecuación cuya incógnita es el ángulo.
Ecuaciones
Para resolver $\operatorname{sen}(x+30^\circ)=2\cos x$ se desarrolla el seno de la suma, se agrupan términos y se divide entre $\cos x$ para obtener una ecuación en $\tan x$. Recuerda dar todas las soluciones del intervalo pedido.
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en…
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en invierno, un mecanismo aumenta la inclinación en un ángulo adicional de $15^\circ$. Calcula el valor exacto de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sin utilizar aproximaciones decimales, sabiendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la…
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de adición.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.