Cálculo de determinantes

Un joven streamer está analizando el crecimiento de su canal. Para comparar el impacto de dos de sus videos, organiza los datos de "Likes" y "Compartidos" en una matriz $A$ de orden $2 \times 2$. Calcula el determinante de la matriz $A$ para obtener un índice de repercusión:

En un programa de diseño gráfico, el área de un triángulo con un vértice en el origen $(0,0)$ y los otros dos en $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ se puede calcular como la mitad del valor absoluto del determinante formado por sus coordenadas. Calcula el área del triángulo formado por los puntos $(0,0)$, $(4, 2)$ y $(1, 5)$.

Una empresa de logística utiliza una matriz triangular superior para organizar sus rutas de entrega de manera eficiente. Calcula el determinante de la matriz $L$ sabiendo que para este tipo de matrices el cálculo se simplifica enormemente:

Dada la matriz $M$, calcula su menor complementario $\alpha_{21}$ y su adjunto $A_{21}$:

Calcula el valor del determinante de la matriz $B$ utilizando la Regla de Sarrus. Esta matriz representa el inventario de componentes (chips, pantallas y baterías) de tres almacenes de una tienda tecnológica:

Sin realizar cálculos complejos, justifica por qué los siguientes determinantes valen $0$ utilizando las propiedades de los determinantes:

1. a) $D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 4 \end{vmatrix}$

1. b) $D_2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 4 \\ 10 & 20 & 30 \end{vmatrix}$

1. c) $D_3 = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix}$

Sabemos que el determinante de una matriz $A$ de orden $2 \times 2$ es $|A| = 5$. Si multiplicamos todos los elementos de la segunda fila por $3$, ¿cuál será el valor del nuevo determinante? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades.

Dada la matriz cuadrada $A$ de orden 3, se sabe que su determinante es $|A| = -2$. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular razonadamente el valor de:

a) $|A^3|$

b) $|3 \times A^t|$

c) $|A^{-1} \times (2A)|$

d) El determinante de la matriz resultante de intercambiar las dos primeras filas de $A$ y multiplicar la tercera fila por $-5$.

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $B$ de orden 3 es:

Calcula, sin desarrollar por Sarrus, el valor del determinante de la matriz $C$:

Sea $C_1, C_2, C_3$ las tres columnas de una matriz cuadrada $M$ de orden 3, tales que su determinante es $|M| = -5$. Calcula, justificando cada paso con la propiedad correspondiente, el valor del determinante de la matriz cuyas columnas son:

Sea la matriz $A = (a_{ij})$ de orden $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = i + j$. Considera también una matriz $B$ tal que su determinante es $|B| = 2$. Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, calcula de forma razonada el valor del determinante de la matriz $M$, siendo:

Argumenta si el resultado obtenido permite afirmar que la matriz $M$ tiene inversa.

Dada la matriz dependiente de un parámetro real $\lambda$:

1. a) Halla los valores de $\lambda$ para los que la matriz $A(\lambda)$ no tiene inversa.
2. b) Para $\lambda = 0$, resuelve la ecuación matricial $A \times X \times A^t = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Calcula $|X|$ de forma indirecta antes de hallar la matriz $X$.

En un videojuego de estrategia, el poder de un ataque mágico se calcula resolviendo una ecuación basada en un determinante. Halla el valor de $x$ para que el siguiente determinante sea igual a $0$:

Determina para qué valores del parámetro real $k$ la matriz $A$ no tiene inversa. Para ello, iguala su determinante a cero y resuelve la ecuación resultante:

Resuelve la siguiente ecuación de tercer grado utilizando las propiedades de los determinantes para factorizar el polinomio resultante:

Indica paso a paso las operaciones elementales realizadas sobre las filas o columnas.

En el desarrollo de un videojuego de estrategia, la posición de tres unidades en el mapa viene dada por las filas de una matriz. El determinante de dicha matriz indica el área de influencia del batallón. Calcula el valor de $a$ para que el área de influencia sea nula (unidades alineadas o linealmente dependientes) en el siguiente sistema:

Nota: Este es un determinante de tipo Vandermonde. Intenta simplificarlo usando propiedades de las columnas antes de calcularlo.

En el diseño de un componente aeronáutico, la estabilidad estructural viene dada por el determinante de una matriz de tensiones $T$. Se sabe que el determinante de la siguiente matriz depende de un parámetro de carga $k$:

1. a) Calcula el valor del determinante en función de $k$ utilizando las propiedades de los determinantes para simplificar el cálculo (evita el desarrollo directo por Sarrus).
2. b) Determina para qué valores de $k$ el componente es inestable ($|T| = 0$).
3. c) Si $k=3$, ¿qué relación existe entre las filas de la matriz?

En una red de telecomunicaciones, la capacidad de flujo se modela mediante el determinante de la matriz de adyacencia $W$. Se define $W$ como:

1. a) Demuestra, sin desarrollar el determinante por la regla de Sarrus, que $W = (b-a)(c-a)(c-b)$.
2. b) Si los nodos $a, b, c$ representan frecuencias de transmisión, ¿qué condición deben cumplir para que el determinante sea distinto de cero? Justifica la importancia de esta condición para la independencia de las señales.

Resuelve la ecuación matricial $|X| = 0$, donde $X = A - \lambda I$, siendo $A$ la matriz dada e $I$ la matriz identidad de orden 3. Halla los valores de $\lambda$ que anulan el determinante (valores propios):

Halla todos los valores reales de $x$ para los que se satisface la siguiente igualdad entre determinantes:

Estudia el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los valores de los parámetros reales $m$ y $n$:

Para el caso en que $m=1$ y $n=2$, calcula el determinante de la matriz adjunta de $A$, es decir, $|Adj(A)|$, sin calcular previamente los elementos de la matriz adjunta. (Pista: utiliza la relación entre una matriz, su adjunta y su determinante).

Calcula el valor del siguiente determinante de orden 4 desarrollando por los elementos de la fila o columna que consideres más adecuada (Método de Laplace):

Un sistema de posicionamiento GPS utiliza cuatro satélites para triangular una posición en el espacio. El volumen del tetraedro formado por los cuatro satélites está relacionado con el valor absoluto del determinante de la matriz de sus coordenadas. Calcula razonadamente el valor del siguiente determinante de orden 4, que representa una configuración específica de estos satélites:

Expresa el resultado como un polinomio en $a$ simplificado al máximo.

Calcula el valor del determinante de la matriz $M$ de orden 4 transformándola previamente en una matriz triangular superior mediante el método de Gauss (haciendo ceros bajo la diagonal principal):