Ejercicios de producto escalar

Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 5)$.

Sabiendo que los módulos de dos vectores son $|\vec{a}| = 4$ y $|\vec{b}| = 6$, y que el ángulo que forman es de $60^\circ$, determina su producto escalar.

Halla el módulo del vector $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determina, justificando tu respuesta mediante una operación matemática, si los vectores $\vec{p} = (4, 6)$ y $\vec{q} = (-3, 2)$ son ortogonales.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que los vectores $\vec{u} = (k, 3)$ y $\vec{v} = (2, -4)$ sean perpendiculares.

Encuentra las coordenadas de un vector que sea perpendicular a $\vec{v} = (-7, 2)$ y que tenga exactamente su mismo módulo.

Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ y $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Para estabilizar el mástil de una antena de telecomunicaciones, se tensan dos cables anclados en el mismo punto del mástil y amarrados al suelo. Los vectores que representan la dirección de los cables desde el anclaje superior hacia el suelo son $\vec{T_1} = (-4, -5)$ y $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calcula el ángulo de separación que forman los dos cables en el punto de amarre superior.

Determina los posibles valores del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{u} = (m, 1)$ y $\vec{v} = (2, m)$ formen un ángulo de $30^\circ$.

En el motor físico de un videojuego, un personaje situado en la coordenada $P(10, 15)$ debe disparar un proyectil en la dirección del vector $\vec{d} = (3, -4)$ a una velocidad constante de $20$ unidades de distancia por fotograma. Determina el vector velocidad $\vec{v}$ exacto del proyectil, sabiendo que debe tener la misma dirección y sentido que $\vec{d}$ pero con módulo $20$.

Encuentra las coordenadas de un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabiendo que su módulo es $\sqrt{13}$ y que su producto escalar con el vector $\vec{v} = (2, 3)$ da como resultado $13$.

Encuentra las coordenadas de todos los vectores $\vec{a} = (x, y)$ que formen un ángulo exacto de $45^\circ$ con el vector $\vec{b} = (2, -2)$ y cuyo módulo sea exactamente la mitad del módulo de $\vec{b}$.

En física, el trabajo $W$ realizado por una fuerza constante $\vec{F}$ al desplazar un objeto a lo largo de un vector de desplazamiento $\vec{d}$ se calcula mediante el producto escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una grúa aplica una fuerza $\vec{F} = (150, -40)$ Newtons para mover un contenedor desde el punto $A(2, 5)$ hasta el punto $B(12, 5)$ (coordenadas expresadas en metros), calcula el trabajo total realizado.

Calcula el vector proyección ortogonal del vector $\vec{u} = (4, -3)$ sobre el vector $\vec{v} = (1, 2)$.

En la instalación de un panel solar, el vector normal (perpendicular a la superficie del panel) viene dado por $\vec{n} = (k, \sqrt{3})$. Los rayos del sol inciden sobre el panel según el vector $\vec{s} = (1, -1)$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$ para que el ángulo de incidencia (el ángulo formado entre el vector normal $\vec{n}$ y el vector opuesto a los rayos del sol $-\vec{s}$) sea de $60^\circ$.

Calcula la distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$ determinando previamente las componentes del vector $\vec{AB}$.

Comprueba, utilizando exclusivamente el producto escalar, si el triángulo definido por los vértices $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ y $C(3, -1)$ es un triángulo rectángulo. En caso afirmativo, indica en qué vértice se encuentra el ángulo recto.

Dados los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$, halla las coordenadas de un punto $C$ situado sobre el eje de abscisas de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el ángulo recto en el vértice $C$. ¿Cuántas soluciones posibles existen para el punto $C$?

Dados los vectores $\vec{a} = (3, -1)$ y $\vec{b} = (1, 3)$, expresa el vector $\vec{c} = (7, 1)$ como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Una vez resuelto, calcula el producto escalar de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ e interpreta geométricamente el resultado.

De los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sabemos que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ y que forman un ángulo de $120^\circ$. Aplicando las propiedades del producto escalar, calcula el valor exacto de la expresión $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.

Demuestra de forma vectorial, utilizando las propiedades del producto escalar, que las diagonales de cualquier rombo se cortan perpendicularmente. Para ello, considera un rombo generado por dos vectores libres $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que parten del mismo vértice y cumplen que $|\vec{u}| = |\vec{v}|$.

Sabiendo que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores unitarios, determina el ángulo que deben formar entre sí para que el vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ tenga un módulo igual a $\sqrt{3}$.

Un brazo robótico industrial se desplaza en un plano bidimensional. Su pinza se encuentra inicialmente en el punto $P(2, 5)$ y debe moverse en línea recta hasta un punto $Q$ situado sobre una cinta transportadora, cuya trayectoria está definida por la recta $x - 2y + 4 = 0$. Si el vector de desplazamiento $\vec{PQ}$ debe ser ortogonal a la dirección de la cinta transportadora, determina las coordenadas exactas del punto $Q$.

Calcula el área exacta del triángulo determinado por los vértices $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(3, 6)$. Para ello, utiliza la proyección ortogonal del vector $\vec{AC}$ sobre el vector $\vec{AB}$ para determinar la altura del triángulo, y el módulo de $\vec{AB}$ como la base.