Función valor absoluto
En un taller de Santiago una máquina corta varillas de metal. A la máquina no le importa si una varilla salió más larga o más corta que la medida pedida: solo le importa cuánto se desvía. La función valor absoluto convierte cualquier diferencia con signo en una distancia, que nunca es negativa. ¿Cómo cambia eso la gráfica y cómo se resuelven las ecuaciones con ella? Lo respondemos al final.
De valor absoluto a función a trozos
Para evaluar basta aplicar la definición: $g(x)=|-x^2+4x|$ en $x=5$ da $|-25+20|=|-5|=5$.
De función a trozos a valor absoluto
A veces hay que hacer el camino contrario: te dan la función a trozos y la quieres escribir de forma compacta. Se reconoce la forma $|E(x)|$ así:
-
Las dos ramas deben ser opuestas: una es $E(x)$ y la otra es $-E(x)$.
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La rama que se queda con su signo es la de la zona donde $E(x)\ge 0$.
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El punto donde se cambia de rama es donde $E(x)=0$.
Dos valores absolutos a la vez
Si hay dos valores absolutos, cada uno tiene su propio punto de cambio. Se ordenan esos puntos en la recta, se divide el dominio en intervalos y en cada intervalo se decide el signo de cada expresión interior.
Si el intervalo que te piden ya está dentro de un solo tramo, no hace falta partirlo: basta decidir el signo de cada expresión en ese intervalo. Por ejemplo, para $t\in[1,3]$ la expresión $t^2-4t+3=(t-1)(t-3)$ es $\le0$, y $t-2$ cambia de signo en $t=2$, así que ese intervalo se parte en dos.
Expresa la función $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos, indicando claramente los intervalos correspondientes a cada expresión algebraica.
Expresa la función $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos, indicando claramente los intervalos correspondientes a cada expresión algebraica.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$ Escribe su expresión analítica…
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$
Escribe su expresión analítica de forma compacta utilizando el valor absoluto.
El error de altitud de un dron de inspección durante una maniobra se modeliza mediante la suma de dos valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, donde $t$ es…
El error de altitud de un dron de inspección durante una maniobra se modeliza mediante la suma de dos valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Expresa la función $E(t)$ sin utilizar valores absolutos en el intervalo de tiempo $t \in [1, 3]$.
El vértice: dominio, recorrido y puntos de corte
El dominio de $|x|+5$ son todos los reales, y como $|x| \ge 0$, su recorrido es $[5, \infty)$.
Si te dan la gráfica de $y=|x-a|$, el vértice está sobre el eje $x$ en $(a, 0)$: de ahí lees $a$.
Un valor absoluto dentro de otro
Para $f(x)=\big||x|-c\big|$ se trabaja de adentro hacia afuera. Primero se parte $|x|$ en $x=0$ y después se parte el valor absoluto exterior donde $|x|-c$ se anula, es decir, en $x=\pm c$. La gráfica tiene forma de «W»: vértices en $(\pm c, 0)$ y un pico en $(0, c)$.
$$f(x)=\begin{cases} -x-2 & -4\le x<-2 \\ x+2 & -2\le x<0 \\ 2-x & 0\le x<2 \\ x-2 & 2\le x\le 4 \end{cases}$$Para deducir $c$ desde una gráfica: el pico central está en $(0,c)$ y los cortes con el eje $x$ en $\pm c$.
Determina el dominio y el recorrido de la función $h(x) = |x| + 5$. Justifica tu respuesta basándote en las propiedades del valor absoluto.
Determina el dominio y el recorrido de la función $h(x) = |x| + 5$. Justifica tu respuesta basándote en las propiedades del valor absoluto.
Determina las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = |x - 3| - 5$.
Determina las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = |x - 3| - 5$.
La siguiente gráfica muestra una función con valor absoluto anidado de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observa los vértices y puntos de corte, deduce el valor de $c$ y…
La siguiente gráfica muestra una función con valor absoluto anidado de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observa los vértices y puntos de corte, deduce el valor de $c$ y escribe la expresión de la función a trozos para el intervalo $x \in [-4, 4]$.
Signo negativo y parámetros desconocidos
Si delante del valor absoluto hay un signo menos, la «V» se voltea: $f(x)=-|x-a|+k$ tiene forma de «Λ», con el vértice $(a,k)$ como máximo y las ramas hacia abajo (hacia las $y$ negativas).
Cuando una gráfica o un enunciado te dan puntos singulares, se plantean ecuaciones con los parámetros.
Para $f(x)=|x^2+bx+c|$ con la gráfica dada: las raíces de la parábola son los puntos donde la gráfica toca el eje $x$, y el vértice de la parábola (que está debajo del eje) se refleja y se vuelve el máximo local, con la misma abscisa $x=-b/2$ y altura igual al valor absoluto del valor del vértice.
Determina las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -|2x - 6| + 8$. ¿Las ramas de esta función se abren hacia las ordenadas…
Determina las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -|2x - 6| + 8$. ¿Las ramas de esta función se abren hacia las ordenadas positivas o negativas?
En procesamiento de señales, una onda triangular invertida se puede modelizar con la función $S(t) = A - |B t - C|$. Determina los parámetros $A, B, C > 0$ sabiendo que…
En procesamiento de señales, una onda triangular invertida se puede modelizar con la función $S(t) = A - |B t - C|$. Determina los parámetros $A, B, C > 0$ sabiendo que la señal alcanza su valor máximo de $12\text{ V}$ en el instante $t = 5\text{ s}$, y que cruza el eje de abscisas (valor $0\text{ V}$) en los instantes $t = 2\text{ s}$ y $t = 8\text{ s}$.
La gráfica mostrada corresponde a la función $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir de los puntos singulares observables (raíces y máximo local), plantea un sistema de…
La gráfica mostrada corresponde a la función $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir de los puntos singulares observables (raíces y máximo local), plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores de los parámetros $b$ y $c$.
Funciones cuadráticas y racionales con valor absoluto
Racional con valor absoluto: trozos, dominio y asíntotas
Con una función racional se hace igual: se estudia el signo del cociente (numerador y denominador a la vez) y se cambia el signo donde sea negativo. Para el dominio, se excluyen los valores que anulan el denominador. Las asíntotas se buscan así:
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Vertical: en un valor $x=a$ que anula el denominador (y no el numerador). Al acercarse a $a$, el cociente se hace enorme y, con el valor absoluto, tiende a $+\infty$ por los dos lados.
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Horizontal: se mira qué pasa cuando $x$ es muy grande en positivo o en negativo. Si el cociente se acerca a un número $L$, el valor absoluto se acerca a $|L|$.
Tasa de variación media
Expresa como una función definida a trozos la función cuadrática con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.
Expresa como una función definida a trozos la función cuadrática con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos. Indica en qué intervalo o intervalos la parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha sido…
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos. Indica en qué intervalo o intervalos la parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha sido reflejada respecto al eje de abscisas.
Expresa la función racional con valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como una función definida a trozos. A continuación, determina su dominio y…
Expresa la función racional con valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como una función definida a trozos. A continuación, determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.
Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
Un caso particular: $|E(x)|=0$ solo se cumple si $E(x)=0$. Por ejemplo, $|2x-8|=0$ da $x=4$, que es el vértice: el único punto donde la gráfica toca el eje $x$.
Así se cierra el gancho: la máquina acepta las varillas cuya distancia a $250$ mm es, como mucho, $1.5$ mm.
Dos valores absolutos iguales
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función con valor absoluto $f(x) = |3x - 2|$ y la función constante $g(x) = 7$.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función con valor absoluto $f(x) = |3x - 2|$ y la función constante $g(x) = 7$.
Una máquina corta varillas de metal con una longitud objetivo de $250\text{ mm}$. La función de error de corte se define como $E(x) = |x - 250|$. Si el control de…
Una máquina corta varillas de metal con una longitud objetivo de $250\text{ mm}$. La función de error de corte se define como $E(x) = |x - 250|$. Si el control de calidad exige que $E(x) \le 1.5$, plantea la inecuación correspondiente y determina el intervalo de longitudes válidas para las varillas.
Halla analíticamente los puntos de intersección de las funciones $f(x) = |x + 1|$ y $g(x) = |2x - 5|$. Sugerencia: analiza los diferentes casos según el signo de las…
Halla analíticamente los puntos de intersección de las funciones $f(x) = |x + 1|$ y $g(x) = |2x - 5|$. Sugerencia: analiza los diferentes casos según el signo de las expresiones dentro del valor absoluto.
Raíz doble y raíces cuadradas
Cuándo la gráfica toca el eje $x$ en un solo punto
$|g(x)|=0$ solo ocurre cuando $g(x)=0$. Si $g$ es cuadrática, tiene una única solución cuando el discriminante es cero ($b^2-4ac=0$): es una raíz doble, y la parábola solo toca el eje con su vértice sin cruzarlo.
Dominio con raíz cuadrada
Una raíz cuadrada solo existe si el radicando es $\ge0$. Si el radicando tiene un valor absoluto, queda una inecuación con valor absoluto, que se resuelve con la regla $|E|\le c \iff -c\le E\le c$.
Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la gráfica de la función toca al eje de abscisas en un único punto. Para ese…
Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la gráfica de la función toca al eje de abscisas en un único punto. Para ese valor de $k$, expresa $f(x)$ sin utilizar el valor absoluto.
Halla el dominio de definición de la función irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para ello, plantea y resuelve la inecuación con valor absoluto correspondiente.
Halla el dominio de definición de la función irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para ello, plantea y resuelve la inecuación con valor absoluto correspondiente.