Razones trigonométricas recíprocas e identidades pitagóricas
Un foco en el piso del patio de un liceo ilumina una pared. Si el rayo forma un ángulo $\alpha$ con el suelo y conoces la distancia a la pared, ¿cómo calculas la longitud del rayo sin dividir cada vez? Para eso existen tres razones nuevas, la secante, la cosecante y la cotangente: son solo las fracciones invertidas del coseno, el seno y la tangente, pero ahorran muchos pasos al simplificar, comprobar identidades y resolver ecuaciones.
Tres razones nuevas: secante, cosecante y cotangente
Cada una de las tres razones nuevas es, por definición, el inverso multiplicativo de una de las que ya conoces.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Valores en ángulos notables
Como son inversos directos, los valores de secante, cosecante y cotangente salen de invertir la tabla de seno, coseno y tangente que ya conoces.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Calcula el valor exacto de $\cot \frac{\pi}{6}$ y $\csc \frac{\pi}{4}$.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Evalúa la siguiente expresión dando su valor exacto, sin usar aproximaciones decimales: $\sec(120^\circ) + \csc(210^\circ) - \cot(315^\circ)$.
Identidades pitagóricas
La identidad fundamental $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ tiene dos versiones con recíprocas. Se obtienen dividiendo toda la igualdad entre $\cos^2\alpha$ o entre $\operatorname{sen}^2\alpha$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\cos \theta = \frac{1}{3}$, calcula el valor numérico exacto de la expresión $\sec^2 \theta - 1$.
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
Signo y existencia según el cuadrante
$\sec\alpha$ tiene el mismo signo que $\cos\alpha$; $\csc\alpha$, el de $\operatorname{sen}\alpha$; $\cot\alpha$, el de $\tan\alpha$. La tabla de signos que ya conoces sirve para las recíprocas.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Si $\cot \alpha = 2$ y $\alpha$ pertenece al tercer cuadrante, determina el signo y el valor exacto de $\tan \alpha$ y $\csc \alpha$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Simplificar y comprobar identidades
Para simplificar expresiones con recíprocas, pasa todo a seno y coseno: suele ser el camino más corto para cancelar factores. Comprobar una identidad es transformar un lado hasta que quede igual al otro.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \times \sec x + \sin x \times \csc x$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \times \sec x + \sin x \times \csc x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \times \cot^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica hasta obtener una única razón: $\frac{\sec x}{\csc x} \times \cot^2 x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{1}{\sec x + \tan x} = \sec x - \tan x$.
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad:…
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \times \cos^2 \alpha$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos necesarios:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos necesarios: $\frac{\csc \alpha + \cot \alpha}{\sec \alpha + \tan \alpha} = \frac{\sec \alpha - \tan \alpha}{\csc \alpha - \cot \alpha}$.
Ecuaciones y problemas con recíprocas
Para resolver una ecuación con recíprocas, despeja la razón y pasa a seno, coseno o tangente; después busca los ángulos del intervalo pedido. Si aparecen dos razones distintas, usa una identidad pitagórica para dejar una sola.
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el…
Un foco ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del foco a la base de la pared es de $10$ m. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el foco hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Expresa $L$ usando la razón secante y calcula su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sec^2 x + \tan x = 3$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud $L = h \times \sec \theta_r$, donde $h = 5$ cm es el grosor del bloque y $\theta_r$ es el ángulo de refracción. Si el rayo incide desde el aire con un ángulo $\theta_i = 60^\circ$ y el índice de refracción del cristal es $n = \sqrt{2}$, calcula el valor exacto de la longitud $L$ recorrida por el láser dentro del bloque. (Dato: La ley de Snell establece que $\sin \theta_i = n \times \sin \theta_r$).
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$: $$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases}…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$:
$$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases} $$Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la…
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ m y $b = 3$ m que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la esquina tocando ambas paredes exteriores y la esquina interior. La longitud de la viga en función del ángulo $\theta$ que forma con una de las paredes exteriores se puede modelar como $L(\theta) = a \sec \theta + b \csc \theta$. Calcula el valor exacto de $L(\theta)$ cuando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.
Determina todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Determina todos los valores de $x \in [0, 2\pi)$ que satisfacen la ecuación trigonométrica $\csc x + \cot x = \sqrt{3}$.
Vuelve al principio: el rayo del foco mide $L=10\sec\alpha$: la secante convierte la distancia horizontal en la longitud de la hipotenusa en un solo paso, sin dividir por el coseno cada vez.