Exercicis: Càlcul de bigues i gelosies

Explica què són els diagrames d'esforços d'una biga i per a què serveixen: què representa el diagrama d'esforç tallant i què el de moment flector, i per què la secció que es dimensiona és aquella on el moment flector és màxim (la «secció perillosa»).

Distingeix entre esforç tallant i moment flector en una secció de biga: què tendeix a fer cadascun (lliscar verticalment una part respecte a l'altra davant de corbar la peça) i en quines unitats es mesura cadascun en el Sistema Internacional.

Explica el criteri de signes habitual del moment flector: positiu quan la biga es corba amb la cara inferior traccionada i negatiu quan es corba al revés. Raona en quina cara d'una biga birecolzada de formigó armat es col·loquen les armadures principals i per què.

Compara una biga birecolzada amb una mènsula en voladís des del punt de vista dels seus esforços: en quina apareix moment positiu al centre de la llum i en quina moment negatiu al costat de l'encastament. Posa un exemple real de cada tipologia (forjat entre biguetes, balcó) i indica en quina cara treballa a tracció el material en cada cas.

Explica què és una càrrega uniformement repartida i com es substitueix per la seva resultant per calcular reaccions (força total $q \cdot L$ aplicada al centre de la zona carregada). Posa dos exemples reals: la neu sobre una coberta plana i el pes propi d'una biga.

Descriu en què consisteix el mètode dels nusos per resoldre una gelosia: quins equilibris es plantegen a cada nus ($\sum F_x = 0$ i $\sum F_y = 0$), per què convé començar per un nus amb només dues barres desconegudes i com es propaga el càlcul a la resta de l'estructura.

Compara el treball a tracció i a compressió d'una barra de gelosia: en quina direcció «estira» o «empeny» cadascuna sobre el nus, i quin fenomen addicional amenaça una barra comprimida i esvelta (quebrament) que no afecta una traccionada. Quina conseqüència té això en dimensionar-la?

Explica la idea del mètode gràfic de Cremona per a gelosies: què es dibuixa nus a nus (polígons de forces a escala), què es mesura sobre el paper per obtenir els esforços i per què aquest mètode era tan valuós abans de les calculadores. Comenta la seva precisió davant del mètode analític.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra una biga birecolzada de $5\ \text{m}$ amb una càrrega puntual de $2\,000\ \text{N}$ aplicada a $2\ \text{m}$ del suport A. a) Calcula les reaccions a A i B. b) Dibuixa a mà el diagrama d'esforç tallant indicant el seu valor a cada tram. c) Indica el valor del moment flector màxim i en quina secció es produeix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una biga birecolzada de $6\ \text{m}$ suporta una càrrega de $3\,000\ \text{N}$ al seu centre. a) Calcula les reaccions. b) Dibuixa el diagrama de moments flectors (un triangle simètric) i calcula el moment màxim amb $M_{max} = \frac{P \cdot L}{4}$. c) Explica per què el diagrama de tallants canvia de signe just a la secció on el moment és màxim.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una biga birecolzada de $4\ \text{m}$ suporta una càrrega uniformement repartida de $500\ \text{N/m}$ en tota la seva longitud. a) Calcula les reaccions. b) Calcula el moment màxim al centre amb $M_{max} = \frac{q \cdot L^2}{8}$. c) Dibuixa la forma dels diagrames de tallants (línia inclinada que creua per zero) i de moments (paràbola), assenyalant els seus valors característics.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un prestatge en voladís de $1{,}5\ \text{m}$, encastat a la paret, suporta $800\ \text{N}$ al seu extrem lliure. a) Calcula la reacció vertical i el moment d'encastament a la paret. b) Dibuixa els diagrames de tallants (constant) i de moments (triangle amb el màxim a la paret). c) Raona per què la mènsula es trencaria per l'encastament i no per l'extrem.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una marquesina en voladís de $2\ \text{m}$ suporta una càrrega repartida de $300\ \text{N/m}$ (pes propi més neu). a) Substitueix la càrrega per la seva resultant i calcula el moment a l'encastament. b) Comprova el resultat amb la fórmula del moment màxim, $M_{max} = \frac{q \cdot L^2}{2}$. c) Dibuixa la forma del diagrama de moments (paràbola creixent cap a la paret) i indica el seu signe.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un nus d'una gelosia concorren una barra horitzontal i una barra inclinada que puja cap a l'esquerra formant $60^\circ$ amb l'horitzontal, i en penja una càrrega de $1\,000\ \text{N}$. a) Planteja $\sum F_y = 0$ al nus i calcula l'esforç de la barra inclinada, raonant si treballa a tracció. b) Planteja $\sum F_x = 0$ i calcula l'esforç de la barra horitzontal, raonant el seu signe (pots utilitzar $\sen 60^\circ = 0{,}866$ i $\cos 60^\circ = 0{,}5$).

El diagrama de tallants d'una biga birecolzada de $4\ \text{m}$ és un rectangle de $+1\,500\ \text{N}$ entre el suport A i el centre de la llum, i un altre de $-1\,500\ \text{N}$ del centre al suport B. a) Dedueix quina càrrega suporta la biga, on està aplicada i quant valen les reaccions. b) Dibuixa el diagrama de moments corresponent i calcula el moment màxim.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Explica què són les barres d'esforç nul en una gelosia i enuncia la regla per detectar-les a simple vista (en un nus sense càrrega amb tres barres, dues d'elles alineades, la tercera és nul·la; en un nus sense càrrega amb només dues barres no alineades, ambdues són nul·les). Dibuixa un exemple de cada cas i raona per què aquestes barres es mantenen encara que no treballin (estabilitat, muntatge, càrregues futures).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la biga i els esquemes de diagrames d'esforços interns que es mostren a la figura:

1. a) Determina les reaccions als suports A i B mitjançant les equacions fonamentals de l'equilibri de l'estàtica i dedueix els valors numèrics exactes que falten al diagrama d'esforços tallants.
2. b) Demostra analíticament el valor del moment flector màxim a la secció sota la càrrega sense emprar fórmules memoritzades, deduint i comprovant la relació existent entre l'àrea del diagrama de tallants i la variació del moment flector.
3. c) Si la biga és d'acer amb un límit elàstic admisible $\sigma_{\text{adm}} = 150\ \text{MPa}$, calcula el mòdul resistent a flexió mínim ($W_z$) necessari per garantir la seguretat enfront de fallada per flexió. Prediu raonadament com variaria el moment flector màxim si la càrrega puntual de $2\,400\ \text{N}$ es desplacés a la secció central de la biga ($x = 3\ \text{m}$), justificant si aquesta nova posició resulta més o menys desfavorable per a la peça.

Una biga biapoiada de $6\ \text{m}$ suporta una càrrega contínua uniforme $q = 200\ \text{N/m}$ deguda al seu pes propi. Per donar servei a una instal·lació industrial, s'ha de col·locar una màquina fixa de $1\,200\ \text{N}$ i es plantegen dues alternatives: la posició central A ($x = 3\ \text{m}$) o la posició lateral B ($x = 1\ \text{m}$ del suport esquerre).

1. a) Aplicant el principi de superposició, obtén i justifica quantitativament el valor del moment flector màxim per a la posició A ($x = 3\ \text{m}$). Determina en quin percentatge s'incrementa el moment flector màxim en el va respecte al cas en què la biga només suportava el seu propi pes.
2. b) Compara les dues alternatives respecte als esforços tallants als suports: prediu i raona en quina de les dues situacions pateix més el suport més carregat i calcula el valor de la seva reacció en l'alternativa B ($x = 1\ \text{m}$).
3. c) Justifica sota quines condicions mecàniques del material i de les deformacions és físicament vàlid aplicar el principi de superposició en l'anàlisi estructural, i indica un exemple concret en el qual aquest principi deixi de ser aplicable.

Una marquesina en voladís de $2{,}5\ \text{m}$ de longitud suporta una càrrega uniforme de $400\ \text{N/m}$ (pes propi més neu). La mènsula es fixa al mur mitjançant una placa vertical d'ancoratge de $30\ \text{cm}$ de cantell, subjectada amb dos cargols passants d'acer situats a la part superior i un suport en compressió contra el mur a la seva vora inferior.

1. a) Dedueix a partir de les equacions d'equilibri estàtic les lleis de tallant i de moment flector a l'encastament. Esbossa ambdós diagrames i justifica físicament per què la llei de moments flectors té curvatura parabòlica i assoleix el seu valor extrem a l'encastament.
2. b) Interpreta l'estat tensional de la secció a l'encastament: justifica per què la fibra superior treballa a tracció i la inferior a compressió. Si la distància vertical (braç de palanca intern) entre la línia dels cargols superiors i el suport inferior comprimit és de $25\ \text{cm}$, calcula la força de tracció que ha de suportar cadascun dels dos cargols per mantenir l'equilibri a flexió.
3. c) Si la càrrega total equivalent ($1\,000\ \text{N}$) es concentrés accidentalment com a càrrega puntual a l'extrem lliure del voladís en lloc de distribuir-se uniformement, prediu quantitativament com afectaria el moment flector a l'encastament i calcula per quin factor es multiplicaria l'esforç de tracció que pateixen els cargols.

A l'encavallada simètrica de coberta de $6\ \text{m}$ de llum i $2\ \text{m}$ d'alçària mostrada a la figura, se suspèn una càrrega de $5\,000\ \text{N}$ al nus inferior D:

1. a) Planteja l'equilibri de nusos per calcular els esforços axials a les barres AB, AD i BD. Identifica amb rigor quines treballen a tracció i quines a compressió.
2. b) La barra diagonal comprimida AB té una longitud de $3{,}61\ \text{m}$. Explica per què en el disseny estructural d'estructures articulades les barres sotmeses a compressió resulten molt més crítiques i limitants que les sotmeses a tracció, anomenant el fenomen físic responsable i justificant quines característiques geomètriques de la seva secció convé maximitzar per prevenir-lo.
3. c) Prediu què li passaria a la distribució d'esforços si la càrrega puntual de $5\,000\ \text{N}$ es traslladés verticalment des del nus inferior D fins al nus superior B, actuant cap avall. Demostra analíticament quin valor prendria l'esforç axial al montant BD i raona si les forces a les barres perimetrals AB, BC, AD i CD augmentarien, disminuïrien o romandrien idèntiques.

Considera el nus $A$ d'una cèrcola simple recolzada, la coberta de la qual suporta càrregues verticals descendents. En aquest nus concorren únicament la reacció del suport, $R_A = 10$ kN vertical i cap amunt, el cordó superior $AB$, inclinat $30^\circ$ respecte a l'horitzontal, i el cordó inferior $AD$, horitzontal (vegeu la figura).

Un alumne intenta resoldre gràficament el nus $A$ mitjançant el polígon de forces (mètode de Cremona / Maxwell), però comet un error en orientar els vectors i conclou que el cordó inferior $AD$ treballa a compressió i el cordó superior $AB$ a tracció.

1. a) Rebat aquesta afirmació: justifica física i geomètricament, a partir de l'equilibri del nus $A$ i de la deformació esperada en la cèrcola en rebre una càrrega descendent, per què és impossible que el cordó inferior estigui comprimit.

1. b) Explica el procediment rigorós per construir el polígon vectorial tancat d'equilibri del nus ($\sum \vec{F} = \vec{0}$) amb les dades de la figura: l'escala triada (per exemple, $1$ cm $= 2$ kN), com s'ha de fer el recorregut seqüencial al voltant del nus i quina és la regla que permet deduir inequívocament si una barra entra al nus o en surt (diferenciant compressió de tracció). Indica també què es mesura al paper per obtenir els esforços.

1. c) Avalua l'ús dels mètodes gràfics en l'enginyeria moderna: quines limitacions insalvables presenta el mètode de Cremona davant del càlcul matricial per ordinador en analitzar estructures tridimensionals o hiperestàtiques, i en quines situacions d'obra continua tenint utilitat pràctica?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per salvar una llum total de $10\ \text{m}$ amb una biga que suporta una càrrega uniforme repartida de $100\ \text{N/m}$, es projecta col·locar dos suports simètrics A i B a una distància $a$ de cada extrem, creant una obertura central amb dos voladissos laterals. En una proposta inicial es fixa $a = 2\ \text{m}$.

1. a) Obtén les reaccions i calcula, aplicant l'equilibri estàtic de seccions, el valor del moment flector als suports i al punt mitjà de l'obertura central per a $a = 2\ \text{m}$.
2. b) Compara el moment flector màxim en valor absolut obtingut en aquesta configuració amb el que patiria la mateixa biga si estigués recolzada únicament als seus extrems ($10\ \text{m}$ d'obertura sense voladissos). Justifica quantitativament l'avantatge estructural que aporten els voladissos.
3. c) Dissenya la posició òptima dels suports: prediu i calcula analíticament quin valor ha de tenir la longitud dels voladissos $a$ perquè el moment negatiu sobre els suports tingui exactament la mateixa magnitud absoluta que el moment positiu al centre de l'obertura ($|M_{\text{suport}}| = M_{\text{centre}}$), aconseguint un disseny amb el mínim cantell i pes de material possible.

Per a tres llums diferents ($4\ \text{m}$, $8\ \text{m}$ i $20\ \text{m}$) amb càrregues similars, tria i justifica la tipologia estructural més raonable entre biga massissa de fusta, biga metàl·lica laminada, biga de gelosia i biga mixta de formigó armat. Argumenta amb el creixement del moment flector amb la llum, el cantell disponible, el pes propi i la facilitat d'execució de cada solució.

Un balcó en voladís presenta fissures a la cara superior al costat de l'encastament. Analitza la fallada amb els conceptes del tema: quin signe té allà el moment flector, quina cara de la llosa treballa a tracció, quin error de col·locació d'armadures es va poder produir durant l'execució, quines altres causes agreujants hi caben (corrosió de les barres, sobrecàrrega per testos i tendals) i quines mesures correctores i preventives proposaries.

Repte del tema. Dissenya i valida l'estructura de suport (encavallada) per instal·lar dos panells solars a la teva terrassa o teulada. Desenvolupa les fases següents amb l'ajuda de LibreOffice Calc i redacta un informe tècnic breu:

1. Presa de dades i càrregues: Mesura l'espai disponible (llum $L \approx 2,0\text{ a }2,5\text{ m}$). Consulta en el Codi Tècnic de l'Edificació (CTE) o AEMET la zona eòlica i de neu de la teva localitat per estimar les sobrecàrregues ($q$ en $\text{kN/m}^2$). Determina el pes propi dels panells i perfils.

2. Estabilitat i equilibri global: Planteja una encavallada triangulada simètrica. Obtén analíticament les reaccions als suports aplicant les equacions de l'estàtica ($\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$).

3. Càlcul de barres: Aplica el mètode dels nusos per calcular l'esforç axil ($N$) en almenys tres barres contigües. Classifica cada barra segons treballi a tracció o a compressió.

4. Proposta raonada: Selecciona un perfil comercial d'alumini i justifica que la barra més comprimida suporta la càrrega sense risc de vinclament ($N \le N_{cr}$).

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció i justificació de les càrregues reals segons normativa.

• Correcció matemàtica en l'equilibri estàtic i resolució de nusos.

• Identificació correcta del tipus d'esforç i comprovació del vinclament.

• Claredat expositiva i presentació de dades en l'informe final.