Exercicis: Estabilitat dels sistemes

Explica amb les teves paraules què significa que un sistema automàtic sigui estable i posa dos exemples: un de sistema estable (un pèndol amb fricció) i un altre d'inestable (una escombra equilibrada verticalment sobre el palmell de la mà).

Distingeix en la resposta temporal d'un sistema els dos règims: transitori i permanent. En l'exemple d'un radiador que s'encén, quina part de la corba de temperatura és cadascun?

La figura mostra la resposta de tres sistemes davant la mateixa entrada en esglaó. Classifica cada resposta (A, B i C) com a estable sobreesmorteïda, estable subesmorteïda (oscil·lant esmorteïda) o inestable, i raona la teva elecció a partir de com evoluciona cada corba amb el temps.

Defineix l'error en règim permanent d'un sistema de control i explica amb l'exemple d'una calefacció què significa que sigui diferent de zero (l'habitació s'estabilitza mig grau per sota de la consigna). Quin tipus de controlador l'elimina per complet?

Explica què són les entrades de prova en esglaó i en rampa i quina informació dona cadascuna sobre un sistema (l'esglaó: rapidesa, sobreimpuls i error permanent; la rampa: capacitat de seguir consignes que canvien amb el temps). Posa un exemple real de cada tipus de consigna.

Un sistema de primer ordre respon pujant a poc a poc sense oscil·lacions, com la temperatura d'un calefactor. Explica què és la seva constant de temps $\tau$ (temps per assolir el $63\,\%$ del canvi total) i calcula quant triga un sistema amb $\tau = 20\ \text{s}$ a assolir pràcticament el valor final (unes $4\tau$ a $5\tau$).

Compara l'estabilitat d'una bola al fons d'un bol, d'una bola sobre una cúpula i d'una bola en una superfície plana horitzontal. Relaciona cada cas amb un sistema estable, inestable i amb estabilitat crítica (ni torna ni s'escapa), i dona un exemple tecnològic de cadascun.

Explica què és una oscil·lació sostinguda (ni creix ni s'apaga) i per què és el límit entre un sistema estable i un d'inestable. En quins dispositius es busca expressament (oscil·ladors electrònics, rellotges)?

Un termòstat ben ajustat porta l'habitació a $21\ ^\circ\text{C}$ sense oscil·lacions; un de mal ajustat alterna cicles de calor i fred. Relaciona cada comportament amb una resposta sobreesmorteïda o subesmorteïda i explica quin paràmetre del controlador s'hauria de tocar en el segon cas.

Explica què són el sobreimpuls (o sobrepassament) i el temps d'establiment en una resposta a l'esglaó, i comenta el compromís habitual entre rapidesa i sobreimpuls: per què un sistema molt ràpid sol oscil·lar més?

Un centre de dades utilitza simuladors per provar els seus sistemes de control abans d'instal·lar-los. Explica quins avantatges té experimentar en simulació (seguretat, cost, repetibilitat, poder forçar situacions extremes) i quina limitació fonamental té un model simulat.

La figura mostra la resposta d'un sistema davant d'un esglaó de $1$ unitat. a) Llegeix a la gràfica el valor final, el pic màxim i calcula el sobreimpuls en percentatge. b) Estima el temps d'establiment (banda del $\pm 5\,\%$ del valor final). c) Calcula l'error permanent.

Dos controladors proporcionals del mateix escalfador utilitzen guanys $K = 2$ i $K = 10$. Prediu i explica el comportament de cadascun: rapidesa, sobreimpuls i error permanent, i justifica per què el guany intermedi sol ser l'elecció pràctica.

El conductor d'una central tèrmica triga $5\ \text{s}$ a notar qualsevol canvi (retard pur de mesura). Explica per què el retard pur és el pitjor enemic d'un llaç de control (la correcció arriba quan l'error ja ha canviat) i quines conseqüències té sobre el guany màxim utilitzable abans que apareguin oscil·lacions.

Cerca exemples de sistemes deliberadament inestables o en oscil·lació sostinguda que són útils: l'oscil·lador d'un rellotge digital, el multivibrador d'un intermitent de cotxe, el xiulet de realimentació acústica d'un concert. Explica en cadascun per què es dissenya així i què el limita perquè no es «dispari» (no-linealitats, saturació).

En un simulador, la resposta a l'esglaó d'un sistema triga $2\ \text{s}$ a assolir el $63\,\%$ del canvi total i no oscil·la. a) Estima la seva constant de temps i el seu model de primer ordre. b) Prediu la seva sortida als $4\ \text{s}$ i als $10\ \text{s}$ després d'un esglaó del $100\,\%$. c) Explica com comprovaries al simulador que realment és de primer ordre.

Un prototip de vehicle de transport de dues rodes autoequilibrat (tipus Segway) utilitza un giroscopi i acceleròmetres per mantenir el pal vertical actuant sobre el parell dels motors a les rodes (sistema modelable com un pèndol invertit).

Durant les proves de calibratge en llaç tancat s'observen tres situacions anòmales:

1. a) Amb un guany proporcional molt baix ($K_p = 4$), davant d'una pertorbació externa en esglaó (una empenta) el vehicle amb prou feines reacciona i cau lentament cap a terra.
2. b) En elevar el guany a un valor molt alt ($K_p = 85$) buscant una resposta enèrgica, el vehicle no s'estabilitza: entra en una oscil·lació violenta de freqüència creixent i acaba bolcant.
3. c) Un desenvolupador proposa solucionar l'oscil·lació de b) introduint un filtre digital en la lectura dels sensors que afegeix un retard temporal de $120\text{ ms}$.

Justifica físicament el comportament d'a) i b) en termes de dinàmica i estabilitat en llaç tancat. Prediu de manera raonada l'efecte que tindrà la proposta del desenvolupador sobre l'estabilitat del vehicle i proposa quina acció de control bàsica (integral o derivativa) afegiries per esmorteir les oscil·lacions sense desestabilitzar el sistema, justificant la teva elecció.

Durant els assajos de vol d'un dron quadricòpter en un banc de proves, se sotmet el llaç d'estabilització de l'angle de balanceig (inclinació horitzontal) a una ràfega sobtada de vent lateral que actua com a pertorbació constant. L'equip de control prova tres sintonitzacions diferents del controlador proporcional:

• Configuració A: El dron s'inclina $14^\circ$ i roman decantat en aquest angle constant mentre dura el vent, sense recuperar l'horitzontal.

• Configuració B: Després del vent, el dron oscil·la indefinidament al voltant de l'horitzontal amb una oscil·lació sinusoïdal pura d'amplitud constant de $\pm 6^\circ$ a $3\text{ Hz}$ que ni creix ni s'esmorteix.

• Configuració C: El dron comença a oscil·lar amb amplituds creixents ($\pm 3^\circ, \pm 8^\circ, \pm 22^\circ\dots$) fins que el sistema de seguretat desconnecta els motors per evitar danys.

Interpreta els tres comportaments relacionant cada cas amb el guany de llaç i la condició d'estabilitat del sistema (asimptòticament estable amb error, en el límit d'estabilitat o inestable). Justifica quina limitació física del regulador P provoca la fallada de la configuració A i quin ajust de guany has de realitzar en la configuració C per retornar el sistema a la zona d'estabilitat.

En el control de nivell d'un dipòsit cilíndric de reactius químics, la consigna passa bruscament d'$1{,}5\text{ m}$ a $2{,}5\text{ m}$. Els requisits tècnics de seguretat i qualitat imposen:

1. Sobreimpuls màxim nul o inferior al $8\,\%$ (per evitar el desbordament per la coronació situada a $2{,}75\text{ m}$).

2. Temps d'establiment ($t_s$ al $\pm 2\,\%$) menor de $20\text{ s}$.

3. Error de nivell en règim permanent nul ($e_{rp} = 0$).

En el simulador s'avaluen dues propostes:

• Proposta 1 (Regulador P amb $K_p = 12$): El nivell puja monòtonament sense oscil·lació, i s'estabilitza als $11\text{ s}$ en un valor constant de $2{,}28\text{ m}$.

• Proposta 2 (Regulador PI amb $K_p = 12$ i $T_i = 3\text{ s}$): El nivell arriba a un pic màxim de $2{,}82\text{ m}$ als $8\text{ s}$, experimenta tres oscil·lacions esmorteïdes i s'estabilitza exactament en $2{,}50\text{ m}$ al cap de $34\text{ s}$.

1. a) Avalua numèricament el compliment dels tres requisits a cada proposta i determina si alguna és vàlida.
2. b) Justifica la causa física/matemàtica de la fallada de la Proposta 1 i de la fallada de la Proposta 2.
3. c) Dissenya una modificació concreta dels paràmetres ($K_p$ i/o $T_i$) per a la Proposta 2 que permeti complir simultàniament tots els requisits, raonant com afectaran els teus canvis al sobreimpuls i al temps d'establiment.

El sistema de ventilació d'una sala d'assecatge utilitza un extractor accionat per un relé amb control tot o res amb histèresi per regular la humitat relativa. La sala genera vapor d'aigua a ritme constant i l'extractor evacua un cabal fix quan està encès.

1. a) En la configuració inicial, els llindars de commutació es fixen en el $66\,\%$ (encès) i el $64\,\%$ (apagat). El relé commuta 45 vegades per hora, provocant avaries prematures per espurnejament i fatiga electromecànica. Justifica per què un marge d'histèresi estret incrementa la freqüència de commutació i prediu què passaria si un operari eliminés completament la histèresi fixant un únic llindar de tall en el $65\,\%$.
2. b) Un tècnic proposa eixamplar la banda al $75\,\%$ (encès) i al $50\,\%$ (apagat) per protegir el relé. Analitza quin impacte tindrà aquesta mesura en el procés d'assecatge i en el consum d'energia tèrmica de la sala.
3. c) Justifica tècnicament i energèticament quins avantatges aportaria substituir el conjunt relé-extractor per un ventilador amb variador de freqüència i control proporcional, i prediu si amb aquest nou sistema la humitat relativa es mantindrà exactament en la consigna si es duplica sobtadament la generació de vapor a la sala.

En un hivernacle automatitzat de gran volum, l'obertura motoritzada de les finestres zenitals triga $3\text{ minuts}$ a substituir l'aire calent, i el sensor de temperatura està col·locat al centre del conreu a nivell de terra, introduint un temps mort de transport addicional de $2\text{ minuts}$ en la mesura.

El sistema es controla amb un regulador proporcional que acciona l'obertura en funció de la temperatura interna.

1. a) Durant els dies assolellats amb brisa variable, el sistema entra en un cicle d'oscil·lació tèrmica contínua de gran amplitud (les finestres s'obren al $100\,\%$, el conreu es refreda en excés, les finestres es tanquen completament, la temperatura puja ràpidament i el cicle es repeteix indefinidament). Explica la causa d'aquesta inestabilitat analitzant la interacció entre el guany del regulador i el retard total (temps mort + constant de temps de la planta).
2. b) Rebat raonadament la proposta d'un encarregat que suggereix: «Per eliminar aquestes oscil·lacions i estabilitzar el sistema a la consigna, hem de triplicar el guany del regulador perquè les finestres reaccionin amb màxima velocitat tan bon punt la temperatura variï una dècima de grau».
3. c) Dissenya una solució de control per a aquest problema: justifica com reajustaries el llaç intern de temperatura i explica com la incorporació d'un piranòmetre (sensor de radiació solar exterior) en una estructura de control anticipatiu (feedforward) permet evitar el sobreescalfament abans que aparegui el retard interior.

Un forn elèctric industrial està governat per un llaç de control PID per assolir i mantenir una temperatura de consigna de $750^\circ\text{C}$. L'etapa de potència de les resistències escalfadores està limitada a una saturació física màxima del $100\,\%$ ($40\text{ kW}$).

En arrencar el forn des de temperatura ambient ($20^\circ\text{C}$), el senyal de control demana immediatament el $100\,\%$ de potència. No obstant això, quan la temperatura arriba per fi als $750^\circ\text{C}$, l'actuador continua lliurant el $100\,\%$ de potència durant $8\text{ minuts}$ més, cosa que fa que la temperatura es dispari fins als $890^\circ\text{C}$ (sobreimpuls greu) i trigui més de mitja hora a estabilitzar-se.

1. a) Identifica el fenomen responsable d'aquest retard en el tall de potència, justificant què passa amb el valor numèric acumulat en l'acció integral (que suma l'error al llarg del temps) mentre el forn escalfa de $20^\circ\text{C}$ a $750^\circ\text{C}$ amb l'actuador al màxim.
2. b) Justifica per què un control exclusivament proporcional no presentaria aquest retard temporal en desconnectar, però explica quin error permanent inacceptable deixaria al forn en règim estacionari.
3. c) Proposa i descriu dues modificacions tècniques (una en la configuració de l'algorisme de control i una altra en el procés d'ajust de paràmetres) per evitar el sobreescalfament en les arrencades mantenint error nul en règim permanent.

En el sistema de so d'una sala de conferències, en pujar el potenciòmetre de volum de l'amplificador per sobre d'un cert nivell, es produeix de manera sobtada un acoblament acústic (feedback o efecte Larsen), manifestat com un xiulet agut eixordador a una freqüència fixa de $3{,}2\text{ kHz}$ que satura els altaveus.

1. a) Modela qualitativament aquest sistema com un llaç tancat mitjançant un diagrama de blocs, identificant amb claredat l'entrada de referència (veu), el sumador acústic, el micròfon, l'amplificador, l'altaveu i la funció de transferència del medi aeri (camí de retorn).
2. b) Justifica formalment l'aparició del xiulet utilitzant el criteri d'oscil·lació en llaç tancat (condicions de guany de bucle $|A \cdot \beta|$ i desfasament total $\phi$). Explica raonadament per què el sistema oscil·la precisament a $3{,}2\text{ kHz}$ i no genera un soroll blanc que abasti tot l'espectre audible alhora.
3. c) Justifica des de la teoria de l'estabilitat en llaç tancat per què cadascuna de les següents tres intervencions tècniques elimina el problema: allunyar el micròfon de la línia dels altaveus, utilitzar un micròfon unidireccional (cardioide) apuntant en direcció contrària als bafles, i intercalar un filtre de osca (notch) sintonitzat a $3{,}2\text{ kHz}$.

En l'ajust del control de velocitat d'un corró en una línia de laminació de paper, s'assaig en un simulador la resposta en llaç tancat davant d'un esglaó de consigna de $600\text{ rpm}$ modificant únicament el guany proporcional $K_p$. S'obtenen els registres següents:

1. a) Si el plec de condicions tècniques exigeix un sobreimpuls màxim inferior al $10\,\%$ i el menor temps d'establiment possible, justifica numèricament quin assaig representa el compromís òptim.
2. b) Analitza l'evolució de les dades de la taula: justifica físicament per què en augmentar $K_p$ l'error en règim permanent es redueix, però a partir de l'assaig 3 el temps d'establiment empitjora en comptes de continuar baixant.
3. c) El client exigeix de manera estricta que la velocitat final sigui exactament de $600\text{ rpm}$ ($e_{rp} = 0$) mantenint el sobreimpuls per sota del $10\,\%$. Demostra per què és impossible satisfer aquesta exigència variant únicament el guany $K_p$, i indica quina acció de control addicional has d'incorporar i quina modificació hauràs de fer sobre el valor de $K_p$ de l'assaig seleccionat en afegir-la.

Repte del tema. Dissenya el control tèrmic de la teva habitació enfront de les oscil·lacions meteorològiques reals.

1. Obtenció de dades: Entra al web d'AEMET i anota la temperatura exterior màxima i mínima del teu municipi enregistrades en les últimes $24$ hores per quantificar la pertorbació tèrmica de l'entorn.

2. Modelització i simplificació: Dibuixa el diagrama de blocs del sistema compost per un controlador proporcional $K_p$, la planta tèrmica $G(s) = \frac{1,5}{s + 0,4}$, una pertorbació additiva i un sensor en realimentació unitària $H(s) = 1$. Aplica les regles de l'àlgebra de blocs per simplificar el sistema i obtenir la seva funció de transferència en llaç tancat $M(s)$.

3. Estudi d'estabilitat: Analitza l'estabilitat del sistema avaluant la posició dels pols de $M(s)$ (o aplicant el criteri de Routh-Hurwitz) en funció de $K_p$. Determina el rang de guanys que garanteix un funcionament estable.

4. Proposta raonada: A LibreOffice Calc, calcula i representa la resposta temporal del sistema enfront d'un salt tèrmic basat en les dades d'AEMET per a dos valors diferents de $K_p$. Justifica en un breu informe quin triaries per evitar sobreoscil·lacions.

Es valorarà:

• Rigor en la reducció algebraica del diagrama de blocs.

• Determinació matemàtica correcta de les condicions d'estabilitat.

• Coherència en la justificació del guany $K_p$ a partir de la simulació i les dades climàtiques.