Exercicis: Diagrames de blocs i simplificació

Explica els elements d'un diagrama de blocs d'un sistema de control: què representen els blocs, les fletxes, el punt de suma i el punt de ramificació, posant com a exemple la calefacció d'un habitatge amb termòstat.

Explica la diferència entre un sistema en llaç obert i un en llaç tancat, amb un exemple quotidià de cadascun (per exemple, una torradora amb temporitzador enfront d'un forn amb termòstat), i raona quin corregeix les pertorbacions i per què.

La figura mostra el diagrama de blocs d'un sistema amb realimentació negativa. Identifica cada element assenyalat (senyal de referència, senyal d'error i senyal de sortida) i explica què calcula el punt de suma a cada instant.

Explica amb les teves paraules què és la funció de transferència d'un bloc (la relació entre la seva sortida i la seva entrada) i per què, quan els blocs són guanys constants, es pot treballar amb nombres en lloc d'equacions diferencials.

En un diagrama de blocs, distingeix entre senyal i variable física: dona tres exemples de senyals en el control d'un forn (temperatura de referència en graus, tensió del termoparell en mil·livolts, potència de la resistència en watts) i explica quin bloc converteix les unes en les altres.

Un punt de suma rep tres senyals: $a$ amb signe $+$, $b$ amb signe $-$ i $c$ amb signe $-$. Escriu l'expressió del senyal de sortida i calcula el seu valor per a $a = 10$, $b = 3$ i $c = 4$. Què representaria en un sistema de control que un senyal entri amb signe negatiu?

Un punt de ramificació duplica un senyal cap a dos blocs. Explica si el senyal es «divideix entre dos» en valor o es copia íntegrament a ambdues branques, i per què en diagrames de blocs la resposta és la segona (el senyal és informació, no un corrent que es reparteix).

Un amplificador té un guany de $10$ i un sensor té un guany de $0{,}01\ \text{V/}{}^\circ\text{C}$. Indica quines unitats té el guany de cada bloc i explica per què el guany del llaç complet (amplificador, procés i sensor) ha de ser adimensional.

Dos blocs en sèrie tenen funcions de transferència $G_1 = 5$ i $G_2 = 2$. a) Calcula la funció de transferència equivalent del conjunt. b) Si a l'entrada s'aplica un senyal de $3$ unitats, calcula el senyal a la sortida de cada bloc. c) Explica la regla general per reduir blocs en sèrie.

Dos blocs en paral·lel reben la mateixa entrada i les seves sortides es sumen: $G_1 = 4$ i $G_2 = 6$. a) Calcula la funció de transferència equivalent. b) Explica com canviaria el resultat si el punt de suma restés la segona sortida en lloc de sumar-la. c) Compara amb el cas sèrie: per què en paral·lel se sumen i en sèrie es multipliquen?

Un llaç de realimentació negativa té $G = 10$ a la cadena directa i $H = 0{,}1$ a la de retorn. a) Calcula la funció de transferència en llaç tancat $M = \frac{G}{1 + G \cdot H}$. b) Compara el guany en llaç tancat amb el de llaç obert i explica què es perd i què es guanya en tancar el llaç (precisió, rebuig de pertorbacions).

Tres blocs en sèrie tenen guanys $G_1 = 2$, $G_2 = 5$ i $G_3 = 0{,}5$. a) Calcula el guany equivalent. b) Per a una entrada de $4$ unitats, calcula la sortida de cada bloc intermedi i la final. c) Explica per què l'ordre dels blocs no altera el guany total però sí els senyals intermedis.

La figura mostra un sistema amb un bloc $G_1 = 3$ en sèrie amb la suma en paral·lel de $G_2 = 2$ i $G_3 = 4$. a) Redueix el conjunt a un únic bloc equivalent pas a pas. b) Calcula la sortida total per a una entrada de $5$ unitats. c) Comprova el resultat calculant per separat la sortida de cada branca.

Un llaç de realimentació negativa té $G = 20$ i $H = 0{,}05$. a) Calcula el guany en llaç tancat $M = \frac{G}{1 + G \cdot H}$. b) Repeteix el càlcul per a $G = 10$ i $H = 0{,}1$, i descobreix què tenen en comú ambdós llaços. c) Raona cap a quin valor tendeix $M$ quan el producte $G \cdot H$ és molt gran i de què depèn aleshores el guany del sistema.

En un llaç amb realimentació unitària ($H = 1$) i $G = 50$: a) calcula la funció de transferència $M$ i la sortida per a una referència de $10$ unitats. b) Calcula l'error $e = r - y$. c) Explica per què augmentar $G$ redueix l'error però mai no l'anul·la en un sistema sense integrador.

Un escalfador en llaç obert amb guany $5$ rep una consigna de $8$ unitats; una pertorbació resta $6$ unitats a la sortida del procés. a) Calcula la sortida final en llaç obert. b) Explica qualitativament què passaria amb aquesta mateixa pertorbació en llaç tancat: qui «se n'assabenta» que la sortida ha caigut i què fa?

Un vehicle equipat amb control de creuer circula per una autopista plana a una velocitat constant de $120\text{ km/h}$. De sobte, comença a pujar una rampa prolongada amb un pendent del $6\,\%$ i un vent en contra de $40\text{ km/h}$.

1. a) Dissenya el diagrama de blocs detallat del sistema en llaç tancat indicant de manera explícita el punt exacte on actuen aquestes pertorbacions i les magnituds físiques (amb les seves unitats) de cada senyal que circula entre blocs.
2. b) Justifica analíticament, a partir de les equacions del diagrama de blocs, per què un sistema en llaç obert veuria reduïda dràsticament la seva velocitat mentre que el llaç tancat és capaç de mitigar aquesta caiguda.
3. c) Si el controlador és únicament proporcional ($P$) i el motor arriba al seu parell màxim admissible durant la pujada, prediu raonadament què passarà amb la velocitat final del cotxe i amb l'error en règim permanent. Aconsegueix el llaç tancat mantenir la consigna de $120\text{ km/h}$ en aquesta situació real? Justifica la teva resposta.

Un tècnic de manteniment afirma: «Com que el sistema realimentat de la figura té un guany directe total elevat ($G_1 \cdot G_2 = 10$, amb $G_1 = 2$ i $G_2 = 5$, en sèrie) i la referència és constant ($r = 10$), la sortida mesurada pel sensor, de guany $H = 0{,}2$ en la realimentació negativa, hauria d'igualar exactament la referència, fent que el senyal d'error a l'entrada de l'actuador sigui zero si tot funciona bé».

1. a) Demostra analíticament si l'afirmació del tècnic és correcta o errònia: redueix el diagrama al seu bloc equivalent pas a pas (primer els blocs en sèrie i després el llaç realimentat), calcula el valor de la sortida $y$ en règim permanent i determina el valor numèric exacte del senyal d'error actuant $e = r - H \cdot y$.

1. b) Justifica físicament la paradoxa: per què en un llaç amb acció proporcional és imprescindible que l'error $e$ NO sigui nul per mantenir una sortida estacionària diferent de zero?

1. c) Si s'exigeix que l'error en règim permanent es redueixi a la meitat sense alterar el guany del sensor ($H = 0{,}2$), prediu quina modificació hauries de fer sobre el guany directe i explica quines conseqüències negatives podria provocar aquesta mesura en un actuador físic real.

Durant la instal·lació d'un llaç de control amb funció de transferència a la cadena directa $G = 10$ i sensor de realimentació amb guany $H = 0{,}1$, un tècnic inverteix per error la polaritat al comparador, introduint una realimentació positiva en comptes de negativa.

1. a) Dedueix la funció de transferència de llaç tancat $M = \frac{Y}{R}$ per a aquesta configuració errònia i calcula numèricament el guany global $M$ si $H$ experimenta lleus desviacions per efecte tèrmic, prenent els valors $0{,}05$, $0{,}09$ i $0{,}099$.
2. b) Interpreta i prediu què passarà al sistema físic quan el producte $G \cdot H$ s'aproximi a $1$. Quin comportament observarà l'operari a l'actuador davant d'una mínima pertorbació, fins i tot amb consigna nul·la ($r = 0$)?
3. c) Justifica, contrastant matemàticament la realimentació positiva enfront de la negativa, per què aquesta darrera proporciona estabilitat i robustesa davant de toleràncies de fabricació o variacions tèrmiques en els components del procés.

S'analitza el posicionament angular d'un eix motor mitjançant un sistema de control en cascada. La planta del motor ($G_2 = 4$) compta amb un llaç intern de realimentació de velocitat negativa ($H_2 = 0{,}25$). Abans d'aquest llaç intern s'ubica un preamplificador ajustable de guany $K$. Tot el conjunt es tanca mitjançant un llaç extern de posició amb realimentació negativa unitària ($H_1 = 1$).

1. a) Modela el diagrama de blocs del sistema i obtén la funció de transferència equivalent global $M = \frac{Y}{R}$ en funció de $K$.
2. b) Si s'ajusta $K = 2$, calcula la sortida $y$ en règim permanent davant d'una entrada esglaó de referència $r = 10$ i calcula l'error estacionari de posició.
3. c) Un estudiant proposa simplificar el muntatge eliminant la realimentació interna ($H_2 = 0$) i ajustant un nou valor de $K$ per obtenir exactament la mateixa funció de transferència estàtica global. Determina aquest valor de $K$ i rebat la seva proposta justificant quin avantatge dinàmic i de rebuig a pertorbacions internes al motor es perdria en suprimir el llaç menor.

En una planta tèrmica amb guany $G = 9$ i realimentació negativa amb sensor $H = 0{,}1$, s'introdueix una consigna de referència constant $r = 10$. Estando el sistema en règim permanent, es produeix una fuga imprevista de calor modelada com una pertorbació additiva $p = -2$ just a la sortida de la planta.

1. a) A partir del diagrama de blocs i aplicant el principi de superposició, dedueix formalment l'expressió de la sortida $y(r, p)$ sense assumir fórmules prefixades, i calcula la temperatura final assolida pel forn.
2. b) Calcula la temperatura que s'hauria assolit si el sistema operés en llaç obert havent calibrat prèviament el seu guany per donar la mateixa sortida nominal davant de $r = 10$.
3. c) Es redefineix el plec de condicions exigint que l'impacte de qualsevol pertorbació externa sobre la sortida no superi el $4\,\%$ de la magnitud d'aquesta pertorbació ($|\Delta y| \le 0{,}04 \cdot |p|$). Determina el guany mínim admisible del llaç directe $G$ (mantenint $H = 0{,}1$) i analitza críticament quins problemes pràctics comportaria forçar aquest valor a la realitat.

Per al guiatge angular d'una antena receptora mitjançant un llaç de control proporcional amb realimentació unitària ($H = 1$), es requereix que l'error relatiu de seguiment en règim permanent davant de consignes constants sigui estrictament inferior al $2\,\%$.

1. a) Dedueix l'expressió que vincula l'error relatiu $\frac{e}{r}$ amb el guany estàtic $G$ de la cadena directa i calcula el valor mínim exigit per a aquest guany.
2. b) En provar el prototip amb el guany calculat, es comprova que el motor presenta oscil·lacions brusques i contínues abans d'aturar-se, i fins i tot l'amplificador entra en protecció tèrmica. Justifica tècnicament i físicament les causes d'aquest comportament en augmentar fortament $G$.
3. c) Sense modificar el motor ni el sensor, dissenya una alternativa conceptual en l'estructura del regulador (canvi de tipus de control) que permeti reduir l'error de posició exactament a zero mantenint un guany proporcional moderat que no comprometi l'estabilitat ni saturi l'actuador.

El cabal de sortida $q$ (en $\text{m}^3/\text{h}$) d'una vàlvula de control no lineal respon a la corba $q(u) = u^2$, on $u$ és el senyal de control en volts ($u \in [0, 5]\text{ V}$). La vàlvula s'integra en un llaç tancat lineal dissenyat i sintonitzat per operar al voltant del punt de treball nominal $u_0 = 2\text{ V}$.

1. a) Linealitza el comportament de la vàlvula al voltant d'$u_0 = 2\text{ V}$ mitjançant el desenvolupament en sèrie de Taylor de primer ordre i calcula la funció de transferència incremental $G_v = \frac{\Delta q}{\Delta u}$ en aquest punt.
2. b) Suposa que el llaç tancat és estable i té un comportament òptim a $u_0 = 2\text{ V}$. Prediu i justifica com canviarà la resposta del sistema (rapidesa, estabilitat i oscil·lacions) si el punt d'operació canvia bruscament a plena obertura ($u = 4{,}5\text{ V}$) o a cabals mínims a prop del tancament ($u = 0{,}2\text{ V}$).
3. c) A partir de les teves deduccions, rebat amb arguments quantitatius la següent afirmació: «Com que el controlador implementat és lineal i de paràmetres fixos, el llaç respondrà amb la mateixa rapidesa i esmorteïment davant de variacions de cabal independentment del nivell en què es trobi treballant la vàlvula».

Un dipòsit cilíndric de secció transversal $A = 2\text{ m}^2$ disposa d'una bomba de cabal d'entrada $q_e(t) = K_b \cdot u(t)$, amb $K_b = 0{,}05\text{ m}^3/(\text{s}\cdot\text{V})$, controlada per tensió $u(t)$. El dipòsit proveeix una xarxa de consum que extreu un cabal imprevist $q_s(t)$ (pertorbació). El nivell real $h(t)$ es mesura amb un sensor lineal de guany $K_s = 2\text{ V/m}$.

1. a) Dedueix l'equació diferencial del balanç de matèria al dipòsit, expressa-la en el domini de Laplace ($s$) i elabora el diagrama de blocs detallat del llaç tancat de control, identificant clarament les funcions de transferència de cada bloc, el punt de suma de la pertorbació i les unitats físiques de cada senyal.
2. b) Demostra analíticament per què la planta del dipòsit actua com un integrador natural i indica quina classificació de 'tipus de sistema' (tipus 0, 1 o 2) adquireix el conjunt en llaç obert si s'utilitza un regulador proporcional $K_p$.
3. c) Per a aquest regulador proporcional ($K_p = 4\text{ V/V}$), prediu quantitativament l'error en règim permanent que patirà el nivell d'aigua davant d'un esglaó unitari de referència en consigna de nivell ($h_{ref} = 1\text{ m}$ amb $q_s = 0$) i compara'l amb l'error en règim permanent que provocarà una extracció contínua i constant de cabal $q_s = 0{,}02\text{ m}^3/\text{s}$.