Frações: conceito

Observe a seguinte figura, que representa uma barra de chocolate. Que fração da barra resta se comermos os quadradinhos que estão sombreados em laranja? Indique quais são o numerador e o denominador.

Em uma equipe de basquete há $12$ jogadores. Se $5$ deles medem mais de $1,80$ metros, escreva a fração que representa os jogadores que medem menos ou igual a essa altura.

Represente graficamente em seu caderno as seguintes frações utilizando retângulos ou círculos:

1. a) $\dfrac{2}{5}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Que fração de uma hora os seguintes intervalos de tempo representam? (Expresse a fração da forma mais simples possível).

1. a) $30$ minutos.
2. b) $15$ minutos.
3. c) $20$ minutos.
4. d) $10$ minutos.

No refeitório escolar serão distribuídas em partes iguais $3$ empadas idênticas entre $4$ pessoas. Ao organizar a distribuição, o Lucas afirma: «A cada um de nós correspondem $\frac{4}{3}$ de empada, porque somos $4$ pessoas e temos $3$ empadas».\na) Identifique o erro conceitual que o Lucas comete ao atribuir os números ao numerador e ao denominador, e explique o que representa cada um desses termos na fração.\nb) Classifique a fração proposta pelo Lucas ($\frac{4}{3}$) em própria ou imprópria. A partir dessa classificação, justifique por que a afirmação dele é impossível na prática se vocês dispõem apenas de $3$ empadas.\nc) Escreva a fração correta que corresponde a cada pessoa e calcule o seu valor decimal exato para verificar quanta empada cada uma come.

Calcule o valor numérico destas frações (como número inteiro ou decimal):

1. a) $\dfrac{15}{3}$

1. b) $\dfrac{1}{4}$

1. c) $\dfrac{18}{2}$

1. d) $\dfrac{3}{10}$

Observe a seguinte figura e determine qual fração da área total do retângulo representa a região sombreada em laranja. Tenha em mente que para resolver isso você deverá imaginar uma subdivisão da figura em partes iguais.

Escreva com algarismos as seguintes frações e classifique-as em próprias ou impróprias:

1. a) Três oitavos.
2. b) Sete meios.
3. c) Onze onze avos.
4. d) Quatro nonos.

Relacione cada fração imprópria com seu número misto correspondente:

Um grupo de amigos comprou várias garrafas de refrigerante para uma festa. Cada garrafa tem uma capacidade de $\frac{1}{4}$ de litro. Se consumiram um total de $19$ garrafas, expresse essa quantidade por meio de uma fração imprópria e de um número misto. Quantos litros inteiros eles beberam?

Escreva uma fração que cumpra simultaneamente as três condições a seguir:

1. O denominador dela é o número primo mais próximo de $10$.

2. É uma fração imprópria.

3. O numerador é um múltiplo de $4$ entre $13$ e $22$.

Existe mais de uma solução? Encontre todas elas e expresse-as na forma de número misto.

Represente em uma mesma reta numérica os seguintes números racionais. Para isso, desenhe a reta no seu caderno e utilize uma escala adequada (por exemplo, que cada unidade meça $4$ cm, de modo que cada quarto de unidade meça $1$ cm):

1. a) $A = \frac{3}{4}$

1. b) $B = -\frac{1}{2}$

1. c) $C = \frac{9}{4}$

1. d) $D = -1,25$

Observe a seguinte reta numérica onde foram representados vários pontos. O ponto $A$ corresponde ao número $-1$ e o ponto $B$ corresponde ao número $0$. Se o segmento entre $A$ e $B$ for dividido em $12$ partes iguais, indique qual fração irredutível representam os pontos marcados com um círculo laranja. Que número misto representaria um ponto situado $5$ divisões à esquerda do ponto $A$?

Em uma plataforma de jogos digitais, Júlia tem guardados $180$ tokens. Ela decide gastar $\frac{4}{9}$ dos seus tokens em uma nova skin para o seu personagem e $\frac{2}{5}$ do que lhe resta para melhorar o equipamento de proteção. Quantos tokens ela gastou no total e quantos sobram no final?

Para preparar uma receita de biscoitos para $6$ pessoas, são necessários $\frac{3}{4}$ de kg de farinha. Se quisermos adaptar a receita para convidar $15$ pessoas:

1. a) Que fração de quilo de farinha será necessária?
2. b) Essa fração é maior ou menor que a unidade? Justifique se é uma fração própria ou imprópria.

Numa escola esportiva municipal de atletismo sabe-se que $\frac{3}{5}$ dos alunos inscritos são meninas. O registro da secretaria confirma que há exatamente $27$ meninas inscritas.\na) A partir desses dados, deduza quantas pessoas estão inscritas no total na escola esportiva. Explique detalhadamente o raciocínio que você segue: que quantidade representa $\frac{1}{5}$ do total e como se obtém o total completo ($\frac{5}{5}$).\nb) Que fração do total representam os meninos inscritos e quantos meninos são?\nc) Se uma pessoa afirmasse que nessa mesma escola há $20$ meninas inscritas mantendo exatamente a fração de $\frac{3}{5}$, fundamente por que essa situação seria numericamente impossível na realidade.

Para organizar uma visita de estudo, a equipa docente deve calcular os $\frac{2}{5}$ dos $135$ estudantes do 1.º de ESO matriculados na escola, que viajarão no primeiro turno de autocarros.\nDois estudantes da turma propõem estratégias diferentes para calcular esse número:\n- A Lucía diz: «Primeiro divido $135$ por $5$ para calcular quanto é um quinto do total e depois multiplico esse resultado por $2$».\n- O Marcos diz: «Primeiro multiplico $135$ por $2$ e depois divido o número obtido por $5$».\na) Desenvolve ambos os métodos passo a passo e verifica se ambos conduzem ao mesmo resultado.\nb) No método da Lucía, que significado concreto tem o resultado intermédio obtido após a primeira operação ($135 : 5$)?\nc) Supõe agora que se deve calcular os $\frac{2}{5}$ de um orçamento restante de $19\text{ \text{R\$}\ }$. Se aplicares o método da Lucía obténs um número decimal no primeiro passo ($19 : 5 = 3,8$), enquanto com o do Marcos o primeiro passo dá um número inteiro ($19 \cdot 2 = 38$). Qual dos dois métodos escolherias neste segundo caso para realizar o cálculo mentalmente de forma mais prática e porquê?

A Marina decidiu organizar seu tempo de estudo semanal da seguinte maneira: dedica $\frac{2}{5}$ do tempo total à matemática. Do tempo restante, usa $\frac{1}{3}$ para língua portuguesa. Se ainda sobram $8$ horas semanais para as demais disciplinas, qual é o tempo total, em horas, que ela dedica ao estudo por semana? Represente, por meio de um esquema de barras, que fração do total as $8$ horas finais representam.

Uma ONG distribui os $48.000$ reais arrecadados em uma corrida solidária entre três projetos. Ao primeiro corresponde $\frac{3}{8}$ do total. Ao segundo, $\frac{5}{12}$ do total. Que fração do total corresponde ao terceiro projeto? Quanto dinheiro cada um recebe? Expresse as três quantidades como frações de mesmo denominador $24$ para comparar visualmente qual projeto recebeu mais.

Três alunos estão baixando o mesmo videogame em seus computadores ao mesmo tempo. Após uma hora, suas barras de progresso indicam o seguinte:

• Computador A: Baixou $\frac{5}{8}$ do total.

• Computador B: Baixou $\frac{11}{16}$ do total.

• Computador C: Baixou $\frac{3}{4}$ do total.

Ordene os três computadores da menor para a maior quantidade de jogo baixado utilizando o símbolo $<$ e reduzindo previamente as frações ao denominador comum.

Identifique se os seguintes pares de frações são equivalentes utilizando o método dos produtos cruzados:

1. a) $\frac{12}{15}$ e $\frac{4}{5}$

1. b) $\frac{7}{3}$ e $\frac{21}{6}$

1. c) $\frac{10}{25}$ e $\frac{6}{15}$

Para o caso em que não sejam equivalentes, indique qual das duas frações é maior.

Encontre uma fração equivalente a $\frac{4}{9}$ tal que a soma do numerador e do denominador seja exatamente $104$. Uma vez encontrada, determine se essa fração é própria ou imprópria e justifique se o valor decimal dela é maior ou menor que $0,5$.

Considere as frações $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{4}$.

1. a) Calcule os seus valores decimais.
2. b) Encontre uma fração com denominador $24$ que esteja exatamente no ponto médio entre ambas.
3. c) Essa fração é maior ou menor que $\frac{5}{7}$? Justifique a sua resposta comparando os produtos cruzados.

Uma etapa de montanha da Vuelta a España tem um percurso total de $176\text{ km}$. A transmissão televisiva informa que os ciclistas na liderança já completaram $\frac{5}{8}$ do itinerário previsto.\na) Sem realizar ainda a divisão exata, estime se superaram ou não a metade da etapa ($88\text{ km}$) comparando a fração $\frac{5}{8}$ com $\frac{1}{2}$. Justifique a sua conclusão.\nb) Estime de forma fundamentada entre quais duas dezenas de quilômetros consecutivas ($100$ e $110\text{ km}$, $110$ e $120\text{ km}$, etc.) deve se encontrar a distância percorrida.\nc) Calcule o valor exato dos quilômetros percorridos aplicando a fração como operador sobre a distância total.\nd) Verifique se a sua estimativa prévia foi acertada e calcule quantos quilômetros faltam para eles cruzarem a linha de chegada, expressando a distância restante como fração irredutível do total.

Em uma competição de robótica, os protótipos devem percorrer um circuito de $60$ metros. O robô A percorreu $\frac{7}{10}$ do circuito, o robô B percorreu $45$ metros e o robô C percorreu $\frac{3}{4}$ da distância que faltava para o robô A terminar. Ordene os robôs da maior para a menor distância percorrida e expresse a posição do robô C como uma fração do total do circuito.

Um agricultor tem um terreno quadrado de $10.000$ $m^2$. Ele decide dedicar $\frac{1}{4}$ da área ao cultivo de hortaliças. Do restante do terreno, divide a área em $5$ partes iguais para plantar diferentes árvores frutíferas. Que fração do terreno total representa cada uma das partes dedicadas às frutíferas? Se cada árvore frutífera precisa de $20$ $m^2$ de espaço, quantas árvores ele poderá plantar em uma dessas cinco partes?

Imagine um relógio de parede.

1. a) Que fração de uma volta completa representam os minutos decorridos entre as 12:15 e as 12:50? Expresse o resultado como fração irredutível.
2. b) Se o ponteiro dos minutos percorreu $\frac{5}{6}$ de hora, quantos graus ele girou? (Lembre-se de que uma volta completa é $360^\circ$).
3. c) Se uma tarefa escolar leva $\frac{3}{10}$ de hora e outra leva $\frac{1}{4}$ de hora, que fração de hora sobra se você dispõe de uma hora completa para estudar?

De acordo com dados hidrológicos oficiais, um reservatório tem uma capacidade máxima de armazenamento de $240\text{ hm}^3$. Após um período de seca, o reservatório armazena unicamente $\frac{3}{10}$ da sua capacidade total. Ao longo de uma semana com chuvas abundantes, os rios fornecem ao reservatório um volume de água equivalente a $\frac{1}{4}$ da capacidade máxima dele. Durante essa mesma semana, para atender às necessidades de consumo urbano e irrigação, são descarregados $18\text{ hm}^3$.\na) Modele a situação apresentando uma única expressão aritmética que combine as frações e os dados fornecidos para determinar o volume final de água armazenada.\nb) Calcule quantos $\text{hm}^3$ de água o reservatório contém no final dessa semana.\nc) Expresse o volume final de água como uma fração própria irredutível da capacidade total do reservatório.\nd) O protocolo de seca da bacia estipula que uma região passa à 'situação de normalidade' unicamente se o reservatório superar metade da sua capacidade total. Justifique matematicamente se o reservatório já alcançou a situação de normalidade ou se continua abaixo dela.

Numa fábrica de embalagem de alimentos serão comercializados potes de leguminosas cozidas a partir de um grande reservatório. Estão sendo considerados dois formatos de embalagem:\n- O formato normal tem uma capacidade de $\frac{3}{4}\text{ kg}$.\n- O formato família tem uma capacidade de $1 + \frac{1}{8}\text{ kg}$.\nO responsável pela produção observa que, se for utilizado o formato família, são necessários exatamente $6$ potes a menos do que se for utilizado o formato normal para embalar todo o conteúdo do reservatório.\na) Expresse a capacidade do formato família como fração imprópria e converta a capacidade do formato normal para uma fração equivalente com denominador $8$. Quantos oitavos de quilograma cada formato contém?\nb) A partir das frações obtidas em oitavos, deduza quantos potes normais são necessários para embalar exatamente a mesma quantidade de leguminosas que $2$ potes família contêm.\nc) Deduza quantos potes de cada tipo seriam necessários para que a diferença entre ambos os formatos fosse de $6$ potes no total. Explique sua dedução com clareza.\nd) Quantos quilogramas de leguminosas havia no reservatório? Expresse a quantidade como número misto e como número decimal exato.