Exercícios: Conceito

Observe a seguinte figura, que representa uma barra de chocolate. Que fração da barra resta se comermos os quadradinhos que estão sombreados em laranja? Indique quais são o numerador e o denominador.

Escreva com algarismos as seguintes frações e classifique-as em próprias ou impróprias:

1. a) Três oitavos.
2. b) Sete meios.
3. c) Onze onze avos.
4. d) Quatro nonos.

Em uma equipe de basquete há $12$ jogadores. Se $5$ deles medem mais de $1,80$ metros, escreva a fração que representa os jogadores que medem menos ou igual a essa altura.

Represente graficamente em seu caderno as seguintes frações utilizando retângulos ou círculos:

1. a) $\dfrac{2}{5}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Calcule o valor numérico destas frações (como número inteiro ou decimal):

1. a) $\dfrac{15}{3}$

1. b) $\dfrac{1}{4}$

1. c) $\dfrac{18}{2}$

1. d) $\dfrac{3}{10}$

Relacione cada fração imprópria com seu número misto correspondente:

Que fração de uma hora os seguintes intervalos de tempo representam? (Expresse a fração da forma mais simples possível).

1. a) $30$ minutos.
2. b) $15$ minutos.
3. c) $20$ minutos.
4. d) $10$ minutos.

No refeitório escolar serão distribuídas em partes iguais $3$ empadas idênticas entre $4$ pessoas. Ao organizar a distribuição, o Lucas afirma: «A cada um de nós correspondem $\frac{4}{3}$ de empada, porque somos $4$ pessoas e temos $3$ empadas».\na) Identifique o erro conceitual que o Lucas comete ao atribuir os números ao numerador e ao denominador, e explique o que representa cada um desses termos na fração.\nb) Classifique a fração proposta pelo Lucas ($\frac{4}{3}$) em própria ou imprópria. A partir dessa classificação, justifique por que a afirmação dele é impossível na prática se vocês dispõem apenas de $3$ empadas.\nc) Escreva a fração correta que corresponde a cada pessoa e calcule o seu valor decimal exato para verificar quanta empada cada uma come.

Numa escola esportiva municipal de atletismo sabe-se que $\frac{3}{5}$ dos alunos inscritos são meninas. O registro da secretaria confirma que há exatamente $27$ meninas inscritas.\na) A partir desses dados, deduza quantas pessoas estão inscritas no total na escola esportiva. Explique detalhadamente o raciocínio que você segue: que quantidade representa $\frac{1}{5}$ do total e como se obtém o total completo ($\frac{5}{5}$).\nb) Que fração do total representam os meninos inscritos e quantos meninos são?\nc) Se uma pessoa afirmasse que nessa mesma escola há $20$ meninas inscritas mantendo exatamente a fração de $\frac{3}{5}$, fundamente por que essa situação seria numericamente impossível na realidade.

Em uma plataforma de jogos digitais, Júlia tem guardados $180$ tokens. Ela decide gastar $\frac{4}{9}$ dos seus tokens em uma nova skin para o seu personagem e $\frac{2}{5}$ do que lhe resta para melhorar o equipamento de proteção. Quantos tokens ela gastou no total e quantos sobram no final?

Observe a seguinte figura e determine qual fração da área total do retângulo representa a região sombreada em laranja. Tenha em mente que para resolver isso você deverá imaginar uma subdivisão da figura em partes iguais.

Um grupo de amigos comprou várias garrafas de refrigerante para uma festa. Cada garrafa tem uma capacidade de $\frac{1}{4}$ de litro. Se consumiram um total de $19$ garrafas, expresse essa quantidade por meio de uma fração imprópria e de um número misto. Quantos litros inteiros eles beberam?

Represente em uma mesma reta numérica os seguintes números racionais. Para isso, desenhe a reta no seu caderno e utilize uma escala adequada (por exemplo, que cada unidade meça $4$ cm, de modo que cada quarto de unidade meça $1$ cm):

1. a) $A = \frac{3}{4}$

1. b) $B = -\frac{1}{2}$

1. c) $C = \frac{9}{4}$

1. d) $D = -1,25$

Três alunos estão baixando o mesmo videogame em seus computadores ao mesmo tempo. Após uma hora, suas barras de progresso indicam o seguinte:

• Computador A: Baixou $\frac{5}{8}$ do total.

• Computador B: Baixou $\frac{11}{16}$ do total.

• Computador C: Baixou $\frac{3}{4}$ do total.

Ordene os três computadores da menor para a maior quantidade de jogo baixado utilizando o símbolo $<$ e reduzindo previamente as frações ao denominador comum.

Para preparar uma receita de biscoitos para $6$ pessoas, são necessários $\frac{3}{4}$ de kg de farinha. Se quisermos adaptar a receita para convidar $15$ pessoas:

1. a) Que fração de quilo de farinha será necessária?
2. b) Essa fração é maior ou menor que a unidade? Justifique se é uma fração própria ou imprópria.

Identifique se os seguintes pares de frações são equivalentes utilizando o método dos produtos cruzados:

1. a) $\frac{12}{15}$ e $\frac{4}{5}$

1. b) $\frac{7}{3}$ e $\frac{21}{6}$

1. c) $\frac{10}{25}$ e $\frac{6}{15}$

Para o caso em que não sejam equivalentes, indique qual das duas frações é maior.

Escreva uma fração que cumpra simultaneamente as três condições a seguir:

1. O denominador dela é o número primo mais próximo de $10$.

2. É uma fração imprópria.

3. O numerador é um múltiplo de $4$ entre $13$ e $22$.

Existe mais de uma solução? Encontre todas elas e expresse-as na forma de número misto.

Uma etapa de montanha da Vuelta a España tem um percurso total de $176\text{ km}$. A transmissão televisiva informa que os ciclistas na liderança já completaram $\frac{5}{8}$ do itinerário previsto.\na) Sem realizar ainda a divisão exata, estime se superaram ou não a metade da etapa ($88\text{ km}$) comparando a fração $\frac{5}{8}$ com $\frac{1}{2}$. Justifique a sua conclusão.\nb) Estime de forma fundamentada entre quais duas dezenas de quilômetros consecutivas ($100$ e $110\text{ km}$, $110$ e $120\text{ km}$, etc.) deve se encontrar a distância percorrida.\nc) Calcule o valor exato dos quilômetros percorridos aplicando a fração como operador sobre a distância total.\nd) Verifique se a sua estimativa prévia foi acertada e calcule quantos quilômetros faltam para eles cruzarem a linha de chegada, expressando a distância restante como fração irredutível do total.

Para organizar uma visita de estudo, a equipa docente deve calcular os $\frac{2}{5}$ dos $135$ estudantes do 1.º de ESO matriculados na escola, que viajarão no primeiro turno de autocarros.\nDois estudantes da turma propõem estratégias diferentes para calcular esse número:\n- A Lucía diz: «Primeiro divido $135$ por $5$ para calcular quanto é um quinto do total e depois multiplico esse resultado por $2$».\n- O Marcos diz: «Primeiro multiplico $135$ por $2$ e depois divido o número obtido por $5$».\na) Desenvolve ambos os métodos passo a passo e verifica se ambos conduzem ao mesmo resultado.\nb) No método da Lucía, que significado concreto tem o resultado intermédio obtido após a primeira operação ($135 : 5$)?\nc) Supõe agora que se deve calcular os $\frac{2}{5}$ de um orçamento restante de $19\text{ \text{R\$}\ }$. Se aplicares o método da Lucía obténs um número decimal no primeiro passo ($19 : 5 = 3,8$), enquanto com o do Marcos o primeiro passo dá um número inteiro ($19 \cdot 2 = 38$). Qual dos dois métodos escolherias neste segundo caso para realizar o cálculo mentalmente de forma mais prática e porquê?

A Marina decidiu organizar seu tempo de estudo semanal da seguinte maneira: dedica $\frac{2}{5}$ do tempo total à matemática. Do tempo restante, usa $\frac{1}{3}$ para língua portuguesa. Se ainda sobram $8$ horas semanais para as demais disciplinas, qual é o tempo total, em horas, que ela dedica ao estudo por semana? Represente, por meio de um esquema de barras, que fração do total as $8$ horas finais representam.

Encontre uma fração equivalente a $\frac{4}{9}$ tal que a soma do numerador e do denominador seja exatamente $104$. Uma vez encontrada, determine se essa fração é própria ou imprópria e justifique se o valor decimal dela é maior ou menor que $0,5$.

Observe a seguinte reta numérica onde foram representados vários pontos. O ponto $A$ corresponde ao número $-1$ e o ponto $B$ corresponde ao número $0$. Se o segmento entre $A$ e $B$ for dividido em $12$ partes iguais, indique qual fração irredutível representam os pontos marcados com um círculo laranja. Que número misto representaria um ponto situado $5$ divisões à esquerda do ponto $A$?

Uma ONG distribui os $48.000$ reais arrecadados em uma corrida solidária entre três projetos. Ao primeiro corresponde $\frac{3}{8}$ do total. Ao segundo, $\frac{5}{12}$ do total. Que fração do total corresponde ao terceiro projeto? Quanto dinheiro cada um recebe? Expresse as três quantidades como frações de mesmo denominador $24$ para comparar visualmente qual projeto recebeu mais.

Em uma competição de robótica, os protótipos devem percorrer um circuito de $60$ metros. O robô A percorreu $\frac{7}{10}$ do circuito, o robô B percorreu $45$ metros e o robô C percorreu $\frac{3}{4}$ da distância que faltava para o robô A terminar. Ordene os robôs da maior para a menor distância percorrida e expresse a posição do robô C como uma fração do total do circuito.

Um agricultor tem um terreno quadrado de $10.000$ $m^2$. Ele decide dedicar $\frac{1}{4}$ da área ao cultivo de hortaliças. Do restante do terreno, divide a área em $5$ partes iguais para plantar diferentes árvores frutíferas. Que fração do terreno total representa cada uma das partes dedicadas às frutíferas? Se cada árvore frutífera precisa de $20$ $m^2$ de espaço, quantas árvores ele poderá plantar em uma dessas cinco partes?

Considere as frações $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{4}$.

1. a) Calcule os seus valores decimais.
2. b) Encontre uma fração com denominador $24$ que esteja exatamente no ponto médio entre ambas.
3. c) Essa fração é maior ou menor que $\frac{5}{7}$? Justifique a sua resposta comparando os produtos cruzados.

Imagine um relógio de parede.

1. a) Que fração de uma volta completa representam os minutos decorridos entre as 12:15 e as 12:50? Expresse o resultado como fração irredutível.
2. b) Se o ponteiro dos minutos percorreu $\frac{5}{6}$ de hora, quantos graus ele girou? (Lembre-se de que uma volta completa é $360^\circ$).
3. c) Se uma tarefa escolar leva $\frac{3}{10}$ de hora e outra leva $\frac{1}{4}$ de hora, que fração de hora sobra se você dispõe de uma hora completa para estudar?

De acordo com dados hidrológicos oficiais, um reservatório tem uma capacidade máxima de armazenamento de $240\text{ hm}^3$. Após um período de seca, o reservatório armazena unicamente $\frac{3}{10}$ da sua capacidade total. Ao longo de uma semana com chuvas abundantes, os rios fornecem ao reservatório um volume de água equivalente a $\frac{1}{4}$ da capacidade máxima dele. Durante essa mesma semana, para atender às necessidades de consumo urbano e irrigação, são descarregados $18\text{ hm}^3$.\na) Modele a situação apresentando uma única expressão aritmética que combine as frações e os dados fornecidos para determinar o volume final de água armazenada.\nb) Calcule quantos $\text{hm}^3$ de água o reservatório contém no final dessa semana.\nc) Expresse o volume final de água como uma fração própria irredutível da capacidade total do reservatório.\nd) O protocolo de seca da bacia estipula que uma região passa à 'situação de normalidade' unicamente se o reservatório superar metade da sua capacidade total. Justifique matematicamente se o reservatório já alcançou a situação de normalidade ou se continua abaixo dela.

Numa fábrica de embalagem de alimentos serão comercializados potes de leguminosas cozidas a partir de um grande reservatório. Estão sendo considerados dois formatos de embalagem:\n- O formato normal tem uma capacidade de $\frac{3}{4}\text{ kg}$.\n- O formato família tem uma capacidade de $1 + \frac{1}{8}\text{ kg}$.\nO responsável pela produção observa que, se for utilizado o formato família, são necessários exatamente $6$ potes a menos do que se for utilizado o formato normal para embalar todo o conteúdo do reservatório.\na) Expresse a capacidade do formato família como fração imprópria e converta a capacidade do formato normal para uma fração equivalente com denominador $8$. Quantos oitavos de quilograma cada formato contém?\nb) A partir das frações obtidas em oitavos, deduza quantos potes normais são necessários para embalar exatamente a mesma quantidade de leguminosas que $2$ potes família contêm.\nc) Deduza quantos potes de cada tipo seriam necessários para que a diferença entre ambos os formatos fosse de $6$ potes no total. Explique sua dedução com clareza.\nd) Quantos quilogramas de leguminosas havia no reservatório? Expresse a quantidade como número misto e como número decimal exato.