Porcentagens

Observe a seguinte grade que representa a planta de uma área de lazer em um shopping center. Cada quadrado pequeno representa $1\%$ do total. Se a área sombreada em cor laranja está reservada para máquinas de jogos, qual porcentagem do total ocupa essa área? Expresse o resultado também em forma de fração irredutível.

Calcule mentalmente as seguintes porcentagens utilizando as estratégias de divisão aprendidas na aula (dividir por $2$ para $50\%$, por $4$ para $25\%$ e por $10$ para $10\%$):

1. a) $50\%$ de $84$ espectadores em uma transmissão ao vivo.
2. b) $25\%$ de uma pizza de $400$ gramas.
3. c) $10\%$ de um passe de transporte que custa $35$ reais.

Em um torneio de e-sports, $20\%$ dos $150$ participantes jogam a partir de um tablet, enquanto o restante joga em um computador. Calcule o número exato de jogadores que utilizam tablet para competir.

A barra de carregamento do seu jogo favorito indica que já foi concluído $75\%$ do download total. Se o arquivo completo ocupa um espaço de $40$ GB, quantos gigabytes já foram baixados?

Seu telefone celular indica que ainda resta $12\%$ de bateria. Se a capacidade total da bateria é de $4500$ mAh (miliamperes-hora), quantos mAh de energia restam exatamente no dispositivo?

Em uma pesquisa realizada na sua turma do 7º ano, $18$ dos $30$ alunos confirmaram que preferem cinema de terror a cinema de comédia. Calcule a porcentagem de alunos que preferem cinema de terror.

Calcule, raciocinando cada passo:

1. a) $200\%$ de $45$. (Pense: $200\%$ de uma quantidade é o seu dobro.)
2. b) $150\%$ de $60$.
3. c) $0,5\%$ de $800$.
4. d) $300\%$ de $12$.

Para calcular $25\,\%$ de $\text{R\$}\ 180$, três colegas de turma propõem caminhos diferentes:

• A Alba diz: «Eu divido $180$ por $4$, porque $25\,\%$ equivale à quarta parte do total».

• O Bruno diz: «Eu multiplico $180$ por $0{,}25$, que é a representação decimal da razão $\dfrac{25}{100}$».

• A Carla diz: «Eu calculo primeiro $10\,\%$ de $180$, dobro esse valor para obter $20\,\%$ e somo a ele a metade de $10\,\%$ para completar os $25\,\%$.»

1. a) Verifique que os três métodos dão exatamente o mesmo resultado, realizando as operações propostas por cada um.
2. b) Se você tivesse de fazer o cálculo de cabeça, sem usar lápis nem papel, qual dos três métodos escolheria? Explique por que ele lhe parece o mais ágil.
3. c) Se o desconto não fosse de $25\,\%$, mas sim de $17\,\%$, e você pudesse usar calculadora, qual das três abordagens seria a mais direta e eficaz? Justifique a sua resposta.

Numa loja de esportes do seu bairro, uma mochila escolar custa $49{,}\text{R\$}\ 90$ e tem um desconto de $15\,\%$.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo no papel, faça uma estimativa mental do dinheiro que será descontado: arredonde o preço para as dezenas mais próximas e obtenha mentalmente os $10\,\%$ e a metade desse valor para os $5\,\%$. Entre quais dois números inteiros de reais estará o desconto?
2. b) Calcule o preço final exato da mochila aplicando o fator multiplicativo de desconto correspondente: $\left(1 - \dfrac{15}{100}\right)$.
3. c) Compare o seu resultado exato com a estimativa que você fez no item a). O resultado final é razoável? Justifique por que estimar previamente o resultado nos ajuda a detectar possíveis enganos ao pagar no caixa.

Na votação para escolher as atividades do festival da escola, participaram $1200$ alunos. $65\%$ escolheu o torneio de esportes e o restante preferiu a oficina de robótica. Quantos alunos votaram na oficina de robótica?

Para organizar a viagem de fim de ano, os alunos do 7º ano venderam bilhetes de uma rifa. Se já venderam $360$ bilhetes, o que representa $75\%$ do total que tinham, quantos bilhetes tinham no total para vender? Quantos ainda faltam vender?

Em uma prova de matemática de múltipla escolha com $40$ questões, um aluno respondeu corretamente $28$ questões, errou $8$ e deixou $4$ em branco. Calcule a porcentagem de respostas corretas, a de erros e a de questões não respondidas sobre o total. Verifique se a soma das três porcentagens é $100\%$.

A bateria do tablet da Ana tem uma capacidade total de $5000$ mAh. Se depois de jogar um pouco de "Roblox" ainda restam $18\%$ de bateria, quantos mAh de energia ainda restam? Qual porcentagem da bateria já foi consumida?

Um videogame de aventura ocupa $12$ GB na memória de um console. Se o sistema indica que esse jogo ocupa $15\%$ da memória total disponível, quantos GB de capacidade tem a memória do console no total?

Marta postou um vídeo no "TikTok". Nas primeiras duas horas, conseguiu $180$ "curtidas". Se ela sabe que $12\%$ das pessoas que veem o vídeo curtem, quantas visualizações o vídeo teve no total durante essas duas horas?

Um bairro tinha $1.200$ moradores há dez anos e hoje tem $3.000$.

1. a) Em quantos moradores a população aumentou?
2. b) Que porcentagem de aumento isso representa em relação aos moradores que havia há dez anos? É uma porcentagem maior ou menor que $100\%$? Interprete o resultado.

As porcentagens também podem ser menores que $1\%$:

1. a) Um soro fisiológico contém $0,9\%$ de sal. Quantos gramas de sal há em uma bolsa de $500$ g de soro?
2. b) Um lote de $2.000$ kg de farinha tem $0,05\%$ de impurezas. Quantos quilogramas de impurezas contém?

Em uma pesquisa realizada na escola sobre o uso de redes sociais, $45\%$ dos alunos prefere o Instagram, $35\%$ prefere o TikTok e os 48 alunos restantes escolhem outras plataformas. Quantos alunos há no total na escola? Quantos deles preferem o Instagram?

Nas eleições para o conselho escolar, a candidata A obteve $30\%$ dos votos, o candidato B obteve $25\%$ e o candidato C recebeu o resto dos votos. Se o candidato C ganhou com 28 votos a mais do que o candidato B, quantos alunos votaram no total? Quantos votos recebeu cada candidato?

O número de sócios de um clube de leitura juvenil aumentou este ano $150\%$ em relação ao ano passado, quando havia $24$ sócios.

1. a) Um aluno diz: «aumentar $150\%$ significa que agora há $150$ sócios». Explique o erro dele.
2. b) Calcule quantos sócios há agora. Lembre-se: aumentar $150\%$ significa somar ao número inicial o seu $150\%$.
3. c) Se no ano que vem o clube quiser chegar a triplicar os sócios do ano passado, qual porcentagem de aumento é necessária em relação ao ano passado?

Tênis esportivos que custavam $60$ reais têm hoje um desconto de $15\%$. Quantos reais você economiza ao comprá-los hoje? Qual é o preço final que você pagará por eles?

Em uma loja de tênis de moda, um modelo que custa $\text{R\$}\ 85$ tem um desconto de $20\%$. No entanto, por ser o último dia de liquidação, aplicam um desconto adicional de $10\%$ sobre o preço já com desconto. Qual é o preço final do tênis? É o mesmo que aplicar um único desconto de $30\%$? Justifique a resposta calculando ambos os casos.

Um serviço de streaming de filmes custa $\text{R\$}\ 9,99$ por mês. Se decidir pagar o ano completo de uma vez, oferecem um desconto de $15\%$. No entanto, este mês há uma promoção especial e, sobre esse preço anual já com desconto, descontam outros $\text{R\$}\ 10$ fixos. Quanto economizará no total ao ano se aproveitar ambas as ofertas comparado a pagar mês a mês?

O armazenamento de um telefone celular é de $128 \text{ GB}$. O sistema operacional ocupa $12,5\%$ do total. Se Lucas já ocupou $60\%$ do espaço livre que restava, quantos Gigabytes ainda tem disponíveis para instalar novos aplicativos?

Num teatro com capacidade para $750$ pessoas, hoje ficaram sem vender $12\%$ dos ingressos. Dos ingressos vendidos, $65\%$ foram para adultos e os restantes para menores de 18 anos. Quantos menores de 18 anos assistiram hoje ao espetáculo no teatro?

Uma marca de refrigerantes decidiu reduzir o conteúdo de açúcar de sua bebida principal. Antes, uma lata de $330 \text{ ml}$ continha $35 \text{ g}$ de açúcar. Agora lançaram uma versão com uma redução do açúcar de $40\%$ e, além disso, aumentaram o tamanho da lata em $10\%$.

1. Quantos gramas de açúcar tem a nova lata?

2. Que porcentagem de açúcar representa o peso do açúcar sobre o volume total na nova lata? (Considere $1 \text{ ml} = 1 \text{ g}$ para o refrigerante).

Numa livraria juvenil de Salvador, uma história em quadrinhos tinha um determinado preço inicial. Por ocasião do Dia do Livro, foi aplicado a ela um desconto de $15\,\%$. Duas semanas depois, diante do esgotamento da tiragem, a loja aumentou em $15\,\%$ o preço já com desconto, ficando fixado em um preço definitivo de $19{,}\text{R\$}\ 55$.

1. a) Um cliente garante que a história em quadrinhos voltou a custar o mesmo que no início porque «descer $15\,\%$ e depois subir $15\,\%$ anula a alteração». Explique detalhadamente por que esse raciocínio está incorreto, utilizando os conceitos de base de referência e fatores de variação.
2. b) Escreva uma expressão matemática que relacione o preço original desconhecido ($P$) com o preço final por meio dos fatores multiplicativos correspondentes, e calcule o preço que a história em quadrinhos tinha antes de qualquer desconto.
3. c) Calcule a variação percentual real global que o preço da história em quadrinhos sofreu entre o valor inicial e o preço final de $19{,}\text{R\$}\ 55$.

Um hipermercado apresenta duas promoções diferentes para a mesma marca de azeite, cujo preço original é de $\text{R\$}\ 8$ por garrafa:

• Promoção A: «Pague 2, Leve 3: leve 3 garrafas e pague apenas 2».

• Promoção B: «Segunda unidade com $70\,\%$ de desconto» (para cada duas garrafas adquiridas, a segunda tem $70\,\%$ de desconto).

1. a) Se uma família pretende comprar um lote de 6 garrafas:

• Modele e calcule o custo total e a porcentagem de desconto global que se obtém com a Promoção A sobre o valor original das 6 garrafas.

• Modele e calcule o custo total e a porcentagem de desconto global que se obtém com a Promoção B sobre o valor original das 6 garrafas.

1. b) Justifique de forma fundamentada qual das duas promoções é mais econômica para adquirir as 6 garrafas.
2. c) Se um consumidor for à loja com a intenção de adquirir apenas 2 garrafas e o estabelecimento não permitir acumular promoções, qual é a porcentagem real de desconto por garrafa que se aplicaria com cada uma das duas opções? Justifique qual lhe convém nesse caso.

De acordo com o balanço elétrico peninsular da Red Eléctrica de España, em um dia de inverno a demanda energética total foi de $650\text{ GWh}$ (gigawatts-hora). Dessa demanda, $60\,\%$ foi coberta por energias renováveis. Além disso, dentro do conjunto da produção renovável desse dia, $65\,\%$ correspondeu à produção eólica graças a um temporal de vento.

1. a) Modele a situação por meio de operações encadeadas com porcentagens e calcule quantos $\text{GWh}$ de energia renovável foram gerados no total durante esse dia.
2. b) Determine quantos $\text{GWh}$ foram fornecidos especificamente pelos aerogeradores eólicos.
3. c) Que porcentagem representou a energia eólica sobre a demanda energética total do país nesse dia? Deduza essa porcentagem final operando diretamente com as taxas percentuais, sem necessidade de recorrer aos valores em $\text{GWh}$.

O preço de um notebook em uma loja é de $450$ reais sem incluir impostos. Se for necessário aplicar $21\%$ de imposto sobre o valor agregado (IVA), qual será o preço final a pagar pelo notebook?

O Marcos comprou um teclado para o seu computador por $\text{R\$}\ 121$, preço que já inclui os $21\,\%$ de imposto. Para averiguar quanto dinheiro corresponde ao imposto e quanto ao preço original do produto (base de cálculo), faça a seguinte operação:

Por isso, o Marcos conclui que o teclado custava sem imposto $121 - 25{,}41 = 95{,}\text{R\$}\ 59$.

1. a) Encontre o erro conceitual cometido pelo Marcos. Sobre que quantia se aplicam os $21\,\%$ de imposto: sobre o preço original ou sobre o preço final faturado?
2. b) Verifique o que aconteceria se o preço sem imposto fosse realmente $95{,}\text{R\$}\ 59$ e você aplicasse um aumento de $21\,\%$. Obtêm-se os $\text{R\$}\ 121$ iniciais?
3. c) Corrija o cálculo do Marcos utilizando a divisão pelo fator multiplicativo correspondente para determinar o preço real do teclado antes de impostos e o valor exato do imposto.

Lucas comprou um computador para jogar seus videogames favoritos. O preço final que pagou, incluindo o $21\%$ de imposto (IVA), foi de $\text{R\$}\ 1452$. Seu amigo diz que o computador custava $\text{R\$}\ 1200$ antes dos impostos. Seu amigo tem razão? Realize os cálculos necessários para encontrar o preço base (sem imposto) do computador.

Desafio do tema. Imagine que você organiza uma refeição saudável para a sua turma. Você vai elaborar uma proposta de orçamento utilizando uma planilha ou o GeoGebra com dados reais.

1. Coleta de dados e razão: Consulte o site de um supermercado e anote o preço de $3$ ingredientes (por exemplo, um pacote de $1,5$ kg de arroz, legumes e fruta). Calcule a razão custo por quilograma e o custo unitário por porção.

2. Proporcionalidade direta e porcentagens: Modele na planilha o custo da refeição em função do número de participantes ($4$, $8$ e $12$ pessoas). Aplique ao carrinho um cupom de desconto de $15\,\%$ e adicione depois os $10\,\%$ de imposto reduzido.

3. Proporcionalidade inversa: O aluguel da cozinha comunitária tem um preço fixo de $60$ reais. Em outra tabela, calcule quanto cada participante deve pagar conforme forem $2$, $4$, $6$ ou $12$ pessoas. Represente o gráfico dessa relação.

4. Proposta final: Redija um relatório breve comparando o custo final por pessoa conforme o grupo e explique como isso influencia a divisão dos custos fixos.

Será valorizado:

• Identificação correta e cálculo preciso de razões e porcentagens.

• Distinção e modelagem matemática adequada da proporcionalidade direta e inversa.

• Utilização rigorosa de ferramentas digitais (tabela e gráfico) e dados reais.

• Clareza e justificativa fundamentada nas conclusões do relatório.