O conjunto dos números racionais

Em uma pizzaria, dividiram uma pizza familiar em $8$ fatias idênticas. Se Marcos comeu $3$ fatias, expresse por meio de uma fração a parte da pizza que ele consumiu e identifique claramente qual é o numerador e qual é o denominador. Como se lê essa fração?

Escreva os seguintes números naturais em forma de fração (você pode usar o denominador que preferir, desde que o resultado seja correto):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

Em matemática, os números se organizam em "famílias" ou conjuntos. Observe o seguinte diagrama de Venn que representa os conjuntos dos números Naturais ($\mathbb{N}$), Inteiros ($\mathbb{Z}$) e Racionais ($\mathbb{Q}$).

Posicione cada um dos seguintes números em seu lugar correspondente dentro do diagrama:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Copie no seu caderno a reta numérica da figura (com o 0, o 1 e o 2, e cada unidade dividida em 4 partes iguais) e localize nela os seguintes números racionais:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Represente na seguinte reta numérica os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ que correspondem a estes números racionais. Cada unidade está dividida em 4 partes iguais.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

No projeto de um novo chip de memória, um engenheiro precisa posicionar três sensores em uma linha lógica. O sensor A está na posição $\frac{2}{5}$ e o sensor B na posição $\frac{3}{5}$.

O engenheiro precisa colocar um terceiro sensor C exatamente no ponto médio entre A e B. Além disso, deve colocar um sensor D que esteja no ponto médio entre A e C.

Calcule as frações que representam as posições de C e D e represente-as em uma reta numérica dividida adequadamente.

Três amigos estão completando o "Passe de Batalha" do seu videogame favorito. Cada um progrediu uma fração diferente do total:

• Marcos: completou $\frac{12}{18}$ do total.

• Sara: completou $\frac{20}{30}$ do total.

• Alex: completou $\frac{2}{3}$ do total.

Raciocine se os três amigos estão no mesmo nível do jogo encontrando a fração irredutível de cada um.

Em um estudo sobre o uso do celular, foi analisado qual fração do armazenamento total é ocupada por diferentes aplicativos no celular de Ana:

• Redes Sociais: $\frac{3}{10}$ do total.

• Jogos: $\frac{2}{5}$ do total.

• Fotos e Vídeos: $\frac{1}{4}$ do total.

1. a) Reduza as frações ao denominador comum.
2. b) Ordene as categorias da maior para a menor ocupação.
3. c) Resta espaço livre no celular? Explique sua resposta.

Numa competição de saltos, os juízes anotam as distâncias de quatro atletas. Alguns resultados são dados em forma de fração e outros em decimal:

• Atleta 1: $6,4$ metros.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metros.

• Atleta 3: $6,35$ metros.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metros.

1. a) Passe todas as medidas para a forma decimal.

1. b) Quais dois atletas saltaram exatamente a mesma distância?

1. c) Ordene os atletas do que saltou menos até o que saltou mais (se houver empate, indique).

Para ordenar do menor para o maior os números racionais $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ e $-\frac{7}{10}$, dois alunos propõem estratégias diferentes: - O Lucas diz: «É melhor calcular a expressão decimal de cada fração fazendo a divisão e comparar todos os números na forma decimal». - A Sara diz: «É preferível escrever $-0,8$ na forma de fração irredutível, reduzir as quatro frações a um denominador comum positivo e comparar os seus numeradores». a) Aplique o método do Lucas e escreva a ordem obtida. b) Aplique o método da Sara para verificar o resultado. c) Qual dos dois métodos você considera mais adequado e preciso neste caso particular? Justifique a sua resposta analisando o tipo de dízima que a fração $-\frac{5}{6}$ produz e o eventual risco de arredondamento.

Três amigos, Ioana, Marcos e Rayan, estão baixando um videogame. Ao fim de uma hora, Ioana baixou $\frac{13}{20}$ do total, Marcos $\frac{19}{30}$ e Rayan completou $\frac{5}{8}$.

1. Ordene os amigos da maior para a menor quantidade baixada utilizando o método do mínimo múltiplo comum para comparar as frações.

2. Se o videogame ocupa $120$ GB, quantos GB faltam para cada um baixar? Expresse os resultados com frações e números inteiros.

Em um concurso de robótica, os protótipos devem percorrer uma pista de $10$ metros. O robô "Zeta" parou quando faltava percorrer $\frac{1}{5}$ do total da pista. O robô "Sigma" parou quando tinha percorrido $\frac{7}{9}$ do total.

1. a) Represente em uma mesma reta numérica as posições de ambos os robôs, tomando o $0$ como a partida e o $1$ como a chegada (a pista completa). Divida a unidade da reta de modo a poder localizar ambos os pontos com exatidão.

1. b) Qual dos robôs ficou mais perto da chegada? Justifique a sua resposta comparando as frações por meio da multiplicação cruzada.

Classifique as seguintes frações em próprias, impróprias ou iguais à unidade:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Para uma festa de aniversário foram compradas várias pizzas do mesmo tamanho. Ao final da festa, sobraram os seguintes pedaços:

• $\frac{3}{4}$ de uma pizza de presunto.

• $\frac{5}{4}$ de pizzas de calabresa.

• $\frac{1}{2}$ de uma pizza vegetariana.

1. a) Expresse a fração de pizza de calabresa como um número misto.
2. b) Se juntarmos todas as sobras, temos mais ou menos de 3 pizzas inteiras? Justifique a resposta realizando a soma.

Um alfaiate tem uma peça de tecido de $15$ metros. Corta um primeiro pedaço que mede $3$ metros e $\frac{3}{4}$ de metro. Depois, corta um segundo pedaço que mede a metade do que media o primeiro.

1. Expresse o comprimento de cada corte como uma fração imprópria e como um número misto.

2. Que fração do tecido original ainda resta no rolo?

Em uma escavação arqueológica em um sítio paleontológico da Serra da Capivara, foram classificados diferentes achados por meio de etiquetas numéricas. Você deve ajudar os pesquisadores a organizar essas peças em suas caixas correspondentes (Conjuntos numéricos).

Dada a seguinte lista de etiquetas:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ e $F = \sqrt{144}$

Indique fundamentadamente quais desses números pertencem a cada um dos seguintes conjuntos, levando em conta que um número pode pertencer a vários:

1. Números Naturais ($\mathbb{N}$)

2. Números Inteiros ($\mathbb{Z}$)

3. Números Racionais ($\mathbb{Q}$)

Observe a seguinte figura geométrica e escreva em seu caderno a fração que representa a região sombreada em cor laranja.

Estamos preparando uma festa e compramos pacotes de refrigerantes. Cada pacote tem $6$ latas. Se para a festa precisamos utilizar $\dfrac{12}{6}$ de pacotes, quantos pacotes inteiros de refrigerantes temos que comprar? Essa fração é um número natural?

Represente graficamente em seu caderno, utilizando quadrados ou retângulos, as seguintes frações:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Dica: você precisará desenhar mais de uma figura inteira).

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Indique que fração de hora representam os seguintes intervalos de tempo (lembre-se de que uma hora tem $60$ minutos):

1. a) $15$ minutos.

1. b) $30$ minutos.

1. c) $10$ minutos.

1. d) $60$ minutos.

Um influencer tem $120.000$ seguidores. Na segunda-feira, $\frac{2}{5}$ dos seus seguidores curtiram a sua foto. Na terça-feira, o mesmo foi feito por $\frac{3}{4}$ dos que curtiram na segunda-feira.

1. a) Quantas pessoas curtiram a foto na segunda-feira?
2. b) Quantas pessoas curtiram a foto na terça-feira?
3. c) Que fração do total de seguidores representa as pessoas que curtiram a foto na terça-feira?

Observe a seguinte figura geométrica. Se o quadrado grande representa a unidade ($1$), determine qual fração representa a parte sombreada em laranja. Para resolver, identifique primeiro qual fração do total representa cada uma das peças que compõem a figura.

Encontre os valores das incógnitas $x$, $y$ e $z$ para que todas as frações da seguinte sequência sejam equivalentes entre si:

Uma vez encontrados os valores, explique qual número natural foi utilizado como fator de amplificação ou simplificação em cada passo em relação à fração irredutível do conjunto.

Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso porque sempre podemos encontrar uma fração entre outras duas, por mais próximas que estejam.

Encontre três frações compreendidas entre $\frac{4}{7}$ e $\frac{5}{7}$ que tenham como denominador $28$. Ordene as cinco frações resultantes da menor para a maior.

Numa aula prática de laboratório, analisam-se as perdas de carga de dois circuitos elétricos, expressas como números racionais negativos: $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ e $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Para determinar qual dos dois circuitos sofre uma perda maior (ou seja, qual dos dois números racionais é menor), dois membros da equipe propõem estratégias distintas:

• Método de Alba: Dividir o numerador pelo denominador em cada fração para obter as suas expressões decimais e comparar algarismo a algarismo.

• Método de Bruno: Reduzir ambas as frações ao mesmo denominador por meio do mínimo múltiplo comum e comparar diretamente os seus numeradores inteiros.

1. a) Aplique ambos os métodos passo a passo para descobrir qual das duas tensões é menor.
2. b) Reflita sobre os dois procedimentos: que dificuldade adicional a divisão de Alba apresenta em relação aos períodos decimais? Justifique por que razão o método de Bruno se revela mais seguro, exato e representativo das propriedades algébricas do conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$.

Identifique quais das seguintes frações darão origem a um número decimal exato e quais a uma dízima periódica (simples ou composta), sem realizar a divisão, observando apenas a decomposição dos seus denominadores:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Dica: Lembre-se da regra dos fatores 2 e 5 no denominador).

A Maria Eduarda precisa determinar que tipo de dízima a fração $\frac{21}{60}$ gera sem realizar a divisão. Na prova dela, escreveu o seguinte: «Decomponho o denominador em fatores primos: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Como na decomposição aparece o número primo 3, que é diferente de 2 e de 5, a fração gera obrigatoriamente uma dízima periódica». a) Explique detalhadamente o erro que a Maria Eduarda cometeu no raciocínio dela. b) Corrija o procedimento simplificando previamente a fração e conclua, justificando a sua resposta, que tipo de número decimal se obtém na realidade.

Elabore duas frações distintas que cumpram ao mesmo tempo as três condições seguintes: 1) O denominador de cada fração deve ser um número inteiro compreendido entre $10$ e $20$. 2) O valor de ambas as frações deve estar compreendido estritamente entre $0,4$ e $0,6$. 3) Uma das frações deve gerar uma dízima finita e a outra deve gerar uma dízima periódica. Justifique a sua resposta verificando a fatoração dos denominadores depois de reduzidas as frações a irredutíveis e calcule a sua expressão decimal.

De acordo com dados do Ministério para a Transição Ecológica sobre a reserva hídrica na Espanha, dois reservatórios apresentam a seguinte situação no início da primavera: - O reservatório A contém $175\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $250\text{ hm}^3$. - O reservatório B contém $210\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $336\text{ hm}^3$. a) Modele a proporção de água retida em relação ao total em cada caso por meio de uma fração irredutível. b) Sem fazer a divisão completa, demonstre, mediante a fatoração dos denominadores irredutíveis, se a porcentagem decimal de enchimento de cada reservatório corresponde a uma dízima finita ou periódica. c) Após um episódio de chuvas, o reservatório A aumenta o seu volume em $25\text{ hm}^3$ e o reservatório B em $42\text{ hm}^3$. Expresse as novas frações de enchimento, compare-as de forma fundamentada e determine qual dos dois reservatórios está agora proporcionalmente mais cheio.

Num debate de turma sobre as propriedades do conjunto $\mathbb{Q}$, dois estudantes lançam as seguintes afirmações: - O Marcos afirma: «Qualquer fração irredutível cujo denominador termine em algarismo par dá sempre origem a uma dízima finita, porque o 2 é divisor da base decimal». - A Elena afirma: «Se você somar dois números racionais que são dízimas periódicas simples, o resultado nunca pode ser um número inteiro». a) Demonstre que a afirmação do Marcos é falsa propondo um contraexemplo concreto e explique que condição ele esqueceu de exigir dos fatores primos do denominador. b) Demonstre que a afirmação da Elena também é falsa encontrando duas frações com desenvolvimento decimal periódico simples cuja soma seja exatamente igual ao número inteiro $2$. c) Construa uma fração $\frac{p}{q}$ com denominador $q = 60$ cujo valor esteja estritamente entre $1$ e $2$, e que dê origem a uma dízima finita. Explique que condição matemática o numerador $p$ teve necessariamente de cumprir em relação à decomposição fatorial de $60$.