Aproximação e arredondamento

Observe os seguintes números decimais e aproxime-os para os décimos utilizando a técnica do arredondamento:

1. a) $3,14$
2. b) $9,68$
3. c) $0,45$
4. d) $1,03$

Para realizar um experimento na aula de Ciências, precisamos medir exatamente $4,576$ gramas de sal. Complete a seguinte tabela aplicando os dois métodos de aproximação pedidos:

Copie e complete a seguinte tabela em seu caderno, realizando as aproximações indicadas para o número decimal $n = 14,3728$.

No supermercado, as balanças de fruta costumam arredondar o peso. Se compramos um saco de laranjas que pesa $2,341$ kg, indique qual seria o peso mostrado se a balança:

1. a) Arredondasse para as unidades.
2. b) Arredondasse para as centésimas.

Observe a seguinte reta numérica, na qual foi representado um número decimal $x$ com uma lupa.

Sabendo que o ponto laranja representa o número $x = 3,774$:

1. a) Entre quais dois centésimos se encontra o número $x$?
2. b) Se você tivesse que aproximar $x$ para os décimos por arredondamento, qual valor escolheria? Justifique sua resposta observando a posição do ponto na reta em relação ao ponto médio ($3,75$).

Pense e responda a este enigma sobre números decimais:

"Sou um número com três algarismos decimais. Se você me truncar para os centésimos, sou $7,42$. No entanto, se me arredondar para os centésimos, sou $7,43$".

Escreva três números diferentes que cumpram estas condições. Qual é o menor número que ele poderia ser? E o maior?

Um corredor dos 100 metros rasos registrou um tempo de $12,45$ segundos no cronômetro. Se queremos expressar este tempo com uma só casa decimal:

1. a) Faça o arredondamento para as décimos.
2. b) Foi uma aproximação por excesso ou por falta? Explique por que você observou o algarismo das centésimas.

Na reta numérica, o tempo do corredor está marcado com um ponto entre $12,4$ e $12,5$, e cada marca pequena representa $0,01$ s.

Aproxime o número $\pi \approx 3,141592...$ das seguintes maneiras:

1. a) Por arredondamento para os milésimos.
2. b) Por truncamento para os milésimos.
3. c) Em qual caso o resultado é maior?

Três atletas participaram de uma corrida de 60 metros rasos na escola. Os tempos registrados pelo cronômetro foram os seguintes:

• Júlia: $8,429$ segundos.

• Marcos: $8,421$ segundos.

• Arthur: $8,425$ segundos.

1. a) Se os resultados forem publicados no site da escola arredondados para os centésimos, qual tempo aparecerá para cada um?
2. b) Ao observar os resultados arredondados, parece que eles levaram o mesmo tempo? Isso é verdade segundo os tempos originais?

Um professor de matemática calcula a nota média de uma prova e obtém $6,4782$.

1. a) Aproxime a nota para os décimos por truncamento.
2. b) Aproxime a nota para os décimos por arredondamento.
3. c) Qual das duas aproximações beneficia mais o aluno? Por que você acha que nos boletins escolares costuma-se utilizar o arredondamento em vez do truncamento?

Numa papelaria de bairro, a Sara quer comprar um caderno que custa $2,85$ reais, um conjunto de marcadores por $4,15$ reais e uma pasta por $1,90$ reais. Ela leva na carteira uma moeda de $5$ reais e duas moedas de $2$ reais.

1. a) Antes de calcular o preço exato, estime a despesa total arredondando o preço de cada artigo para a unidade de reais mais próxima. Segundo a sua estimativa prévia, ela terá dinheiro suficiente para pagar a compra?
2. b) Calcule o custo exato da compra somando os três preços.
3. c) Verifique se a sua estimativa foi acertada calculando a diferença entre o preço exato e o estimado. Você considera que a estimativa foi útil para tomar uma decisão rápida antes de passar pelo caixa? Justifique a sua resposta.

Uma balança de precisão indica que um saco de maçãs pesa $2,345$ kg.

1. a) Expresse a massa em gramas (lembre-se de que $1$ kg = $1.000$ g).
2. b) Se o feirante nos disser que a massa é de, aproximadamente, $2,3$ kg, que tipo de aproximação ele fez?
3. c) Calcule o erro cometido na aproximação do feirante (a diferença entre o valor real e o aproximado). Expresse o resultado em quilogramas e em gramas.

Numa loja de videogames, o preço de um pôster é de $7,82$ reais. Se você só leva moedas de um reais e quer saber, aproximadamente, quantos reais completos custa:

Na reta da figura, as duas marcas compridas são dois números inteiros consecutivos (os assinalados com «?») e cada marca pequena é um décimo.

1. a) Entre quais dois números inteiros se encontra o preço?
2. b) De qual dos dois números está mais perto? Faça o arredondamento para a unidade.

Imagine que vocês vão pagar com uma nota de $20$ reais uma compra que custa $14,23$ reais. O caixa não tem moedas de centavos pequenas e propõe arredondar o preço para o décimo de reais mais próximo (isto é, para um múltiplo de $10$ centavos, com uma só casa decimal).

1. a) Qual seria o novo preço arredondado?
2. b) Quanto dinheiro o caixa devolveria a você depois do arredondamento?

Queremos colocar uma cerca de proteção ao redor de um pequeno jardim retangular. Ao medir com uma trena digital, obtemos que os lados medem $4,56$ metros e $3,27$ metros.

1. a) Calcule o perímetro do jardim.
2. b) Se o proprietário do jardim comprar a cerca em uma loja de material de construção que só vende por metros inteiros e sempre arredonda para cima (aproximação por excesso para as unidades) para garantir que não falte material, quantos metros de cerca ele comprará?

O clube de atletismo de um município de Minas Gerais vai pintar uma linha branca contínua ao redor de sua pista de treino. O comprimento total que devem pintar mede exatamente $345\text{ m}$. De acordo com as especificações do fabricante, com $1\text{ litro}$ de tinta especial é possível pintar $25\text{ m}$ de linha. Na loja local, a tinta é vendida exclusivamente em latas fechadas de $1\text{ litro}$ (não se vendem frações de lata).

1. a) Faça a divisão com duas casas decimais para saber quantos litros exatos de tinta são necessários teoricamente.
2. b) Se você aplicar a regra matemática padrão de arredondamento às unidades sobre esse resultado decimal, quantas latas compraria? Se comprar essa quantidade, conseguiria pintar toda a pista ou faltaria tinta? Comprove calculando os metros que você conseguiria pintar com essas latas.
3. c) Justifique que tipo de aproximação intencional deve ser aplicada neste problema de compra de material e quantas latas devem ser adquiridas, finalmente, para garantir o trabalho completo.

Estamos investigando um número decimal "misterioso", que chamaremos de $N$, que possui três algarismos decimais. Sabemos as seguintes pistas sobre ele:

1. Sua parte inteira é o primeiro número primo de dois algarismos.

2. Se o arredondarmos para os centésimos, obtemos $11,38$.

3. Se o truncarmos para os décimos, obtemos $11,3$.

4. A soma dos seus três algarismos decimais é $19$.

De que número se trata? Justifique sua resposta descartando as opções que não cumprem as condições.

Encontre um número decimal que cumpra simultaneamente estas três condições de "fronteira":

• Que seja maior que $7,45$ e menor que $7,46$.

• Que ao arredondá-lo para os milésimos, o resultado seja $7,458$.

• Que a soma dos seus quatro algarismos decimais seja igual a $25$.

Este número é único ou existem várias possibilidades? Justifique sua resposta.

Observe a seguinte reta numérica onde foram representadas duas aproximações do número $X$.

Sabendo que o truncamento para os centésimos é $3,14$ e o arredondamento para os centésimos é $3,15$, indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada uma:

• a) O algarismo dos milésimos de $X$ deve ser maior ou igual a $5$.

• b) O número $X$ poderia ser $3,1449$.

• c) Se somarmos $0,001$ ao número $X$, seu truncamento para os centésimos continuará sendo $3,14$.

Em um posto de combustível "Low Cost", o preço do litro de Gasolina 95 é de $1,419$ reais. Um grupo de amigos enche o tanque da sua van para uma viagem com $52,6$ litros.

O caixa do posto está programado para calcular o total e depois arredondar o resultado final para os centavos de reais (duas casas decimais). No entanto, um dos amigos insiste que primeiro se deveria truncar o preço do litro para os centavos e depois multiplicar pelos litros.

Calcule a diferença de preço entre os dois métodos. Qual dos dois beneficia o cliente e qual beneficia o posto de combustível?

Em um laboratório de biologia, está sendo medido o crescimento de uma bactéria. O comprimento atual é de $0,03478$ milímetros.

• O cientista A decide usar uma aproximação por arredondamento para os milésimos.

• O cientista B prefere usar uma aproximação por truncamento para os décimos de milésimo.

Indique qual dos dois valores é maior e calcule a diferença exata entre ambas as aproximações. Qual das duas você acha que é "mais fiel" ao valor real da bactéria?

Um grupo do 7º ano está projetando uma peça para uma impressora 3D. O software fornece uma medida de $12,666...$ (dízima periódica) milímetros para a espessura de um encaixe. A impressora tem três modos de precisão:

• Modo Eco: Trunca para os décimos.

• Modo Padrão: Arredonda para os centésimos.

• Modo Pro: Arredonda para os milésimos.

Calcule o valor que a impressora usaria em cada modo. Se o espaço onde a peça deve entrar mede exatamente $12,67$ mm, em quais modos a peça entrará e em quais não? (Considere que, para entrar, a peça deve ser menor ou igual ao espaço).

Um chef de cozinha moderna precisa pesar três ingredientes com uma balança de alta precisão que fornece milésimos de grama:

• Sal: $2,341$ g

• Pimenta: $1,256$ g

• Açafrão: $0,897$ g

O chef quer saber o peso total da mistura de especiarias. Compare estes dois procedimentos:

1. Procedimento 1: Somar os três pesos exatos e depois arredondar o resultado final para os décimos.

2. Procedimento 2: Arredondar cada ingrediente para os décimos e depois somá-los.

Calcule ambos os resultados. Eles são iguais? Explique por que o arredondamento individual pode resultar em um erro maior do que o arredondamento ao final da operação.

Uma pequena cooperativa agrícola de Petrolina prepara o envio de quatro encomendas de fruta para um supermercado. O peso exato registrado pela balança de precisão para cada encomenda é:

• Encomenda 1: $142,38\text{ kg}$

• Encomenda 2: $85,36\text{ kg}$

• Encomenda 3: $64,39\text{ kg}$

• Encomenda 4: $107,37\text{ kg}$

Para organizar a guia de transporte, duas funcionárias propõem aproximar os pesos às décimas de quilograma:

• Método da Laura: Arredondar primeiro cada encomenda individual às décimas e depois somar os quatro valores arredondados.

• Método da Carmen: Somar primeiro os quatro pesos exatos e arredondar unicamente o resultado final às décimas.

1. a) Calcule passo a passo o resultado total que se obtém com o método da Laura e o que se obtém com o método da Carmen.
2. b) Calcule a soma exata sem aproximar e determine o erro cometido por cada método (a diferença positiva entre o resultado do método e o valor exato).
3. c) À vista dos resultados, qual dos dois métodos é mais confiável? Justifique por que arredondar em cada passo intermediário costuma acumular um erro maior do que arredondar apenas no final.

Em uma estação meteorológica do INMET, os sensores digitais medem a temperatura com várias casas decimais, mas na tela pública do painel externo é mostrada a temperatura arredondada às décimas. Em um dia quente, a tela marca exatamente $38,4\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Entre quais dois valores possíveis se encontra a temperatura real $T$ registrada pelo sensor para que seja mostrado esse valor? Escreva a sua resposta em forma de desigualdade do tipo $A \le T < B$, utilizando duas casas decimais para $A$ e para $B$.
2. b) Qual é a maior diferença possível (o erro máximo) que pode existir entre a temperatura que vemos na tela ($38,4\text{ }^\circ\text{C}$) e a temperatura real do sensor?
3. c) Se o painel externo estivesse programado para truncar às décimas em vez de arredondar, qual seria o novo intervalo $C \le T < D$ da temperatura real? Explique de forma fundamentada por que o arredondamento minimiza o erro máximo em relação ao truncamento e que papel fundamental o algarismo $5$ desempenha nessa vantagem.

Crie um problema do dia a dia (compras, esportes, ciência...) em que ocorram estas duas condições simultaneamente:

1. Seja necessário usar um número com pelo menos quatro algarismos decimais.

2. A diferença entre truncar esse número para os centésimos e arredondá-lo para os centésimos seja exatamente de $0,01$.

Escreva o enunciado completo e explique como ele seria resolvido aplicando as regras de aproximação.

Desafio do tema. Quanto custa a energia que você consome em casa? Faça uma mini-auditoria energética em uma planilha seguindo estas fases:

1. Coleta de dados: Acesse o site oficial da Red Eléctrica de España (REE, esios.ree.es) e anote o preço voluntário para o pequeno consumidor ($\text{R\$}\ /kWh$) de ontem em 3 horários distintos: madrugada, meio-dia e noite.

2. Aproximação e cálculo: Os preços oficiais têm até cinco casas decimais (por exemplo, $0,14823$ reais). Arredonde cada um para os centésimos (centavos). Depois, calcule o custo de usar um forno de $2$ kW durante $1,25$ horas em cada período, multiplicando potência, tempo e preço arredondado.

3. Divisão e fração geratriz: Some os três custos e divida o valor total pelas $3$ pessoas da residência. Identifique que tipo de dízima resulta (finita, infinita periódica simples ou composta) e determine sua fração geratriz irredutível para expressar a cota exata sem erros de arredondamento.

4. Proposta: Elabore uma breve proposta fundamentada para a sua família com uma tabela comparativa, aconselhando o horário mais econômico para cozinhar e calculando a economia semanal.

Será valorizado:

• Obtenção de dados reais da REE e precisão no arredondamento aos centésimos.

• Correção nas operações combinadas com números decimais.

• Identificação do tipo de dízima e cálculo exato da fração geratriz.

• Justificativa econômica clara e coerente na proposta final.