Proporcionalidade direta

Em matemática, dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra é multiplicada por esse mesmo número. Analise as seguintes situações do dia a dia e indique quais são de proporcionalidade direta:

1. a) O número de seguidores de um streamer e a quantidade de curtidas (likes) que ele recebe em um vídeo (supondo que todos os seus seguidores curtam o vídeo).
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
3. c) O número de caixas de pizza encomendadas e o preço total pago (se todas as pizzas custarem o mesmo).
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que ele leva para chegar ao seu destino.
5. e) Os quilogramas de maçãs comprados e o dinheiro que custam.

No seu videogame favorito, você pode comprar "Gemas" para conseguir novos visuais para o seu personagem. Sabemos que as gemas têm sempre o mesmo preço unitário. Complete a seguinte tabela de proporcionalidade no seu caderno para saber quanto custam diferentes quantidades de gemas:

O Mateo acompanha o pai dele para comprar ingressos para um festival de teatro escolar. Na bilheteria observam o cartaz: «$3$ ingressos custam $\text{R\$}\ 21$». O Mateo precisa calcular quanto custarão $5$ ingressos para toda a sua família e raciocina da seguinte maneira: «Como $5$ ingressos são mais $2$ ingressos do que $3$, ao preço de $\text{R\$}\ 21$ só preciso somar $\text{R\$}\ 2$. Portanto, os $5$ ingressos custarão $\text{R\$}\ 23$».

1. a) Explique detalhadamente por que o raciocínio aditivo do Mateo está errado e o que significa realmente que o número de ingressos e o preço sejam grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Corrija o cálculo utilizando o método de redução à unidade: encontre o preço de um ingresso e calcule o preço real que a família deve pagar pelos $5$ ingressos.

Um pacote de figurinhas do campeonato de futebol contém $6$ figurinhas, e $3$ destes pacotes custam $3,60$ reais. Se quisermos completar o álbum e decidirmos comprar $8$ pacotes iguais, quanto dinheiro gastaremos no total? Utilize o método de redução à unidade (calcule primeiro quanto custa um único pacote).

Para cozinhar panquecas para $4$ pessoas, são necessários exatamente $200$ gramas de farinha. Se neste fim de semana vierem convidados e o total for de $6$ pessoas, que quantidade de farinha será necessária para que as panquecas fiquem perfeitas? Lembre-se de que as quantidades da receita são diretamente proporcionais ao número de pessoas.

Um skatista percorre uma pista com velocidade constante. Na primeira parte do circuito, percorreu $150$ metros em $30$ segundos. Se mantiver o mesmo ritmo durante todo o trajeto:

1. a) Que distância percorrerá em $1$ minuto ($60$ segundos)?
2. b) Qual é a sua constante de proporcionalidade (quantos metros percorre por cada segundo)?

Na papelaria do bairro tem uma promoção de material escolar: um pacote com $3$ cadernos idênticos custa $\text{R\$}\ 5,40$. O seu grupo de trabalho precisa comprar $7$ desses mesmos cadernos para um projeto da escola.

1. a) Antes de fazer contas com lápis e papel, estime mentalmente se o preço total dos $7$ cadernos será maior ou menor do que $\text{R\$}\ 12$ e entre quais dois números inteiros de reais ele deve se situar. Explique como você chegou a essa estimativa.
2. b) Calcule o custo exato dos $7$ cadernos aplicando a redução à unidade (obtendo primeiro o preço de $1$ caderno).
3. c) Compare o valor numérico obtido com a sua estimativa prévia e raciocine se o seu resultado é coerente com o preço de partida.

Para comemorar o final do trimestre, um grupo de amigos quer comprar "gemas" para o seu videogame favorito. Eles viram que um pacote de $1200$ gemas custa $\text{R\$}\ 14,40$. Se um amigo tem economizados exatamente $\text{R\$}\ 21$, quantas gemas poderá comprar se a relação for diretamente proporcional?

Para cozinhar uma paella gigante para $12\text{ personas}$, o chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz e $3\text{ litros}$ de caldo. Se de repente mais pessoas confirmarem presença e agora forem $18$ no total, calcule pelo método de redução à unidade que quantidade de arroz e de caldo o chef precisará agora.

Observe a imagem a seguir que representa duas balanças em equilíbrio. Na primeira balança, $3$ cubos azuis pesam exatamente $450$ gramas. Na segunda balança, queremos saber quanto pesam $5$ cubos iguais aos anteriores. Calcule o valor da incógnita $x$.

Encontre o valor do termo desconhecido $x$ nas seguintes proporções para que a igualdade entre as razões seja satisfeita:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

Em um mapa da Serra da Mantiqueira, a escala indica que $2\text{ cm}$ no papel representam $5\text{ km}$ na realidade. Se para realizar uma caminhada entre dois vilarejos a distância medida no mapa é de $8,5\text{ cm}$, quantos quilômetros os caminhantes percorrerão na realidade?

Por $3$ ingressos de cinema pagamos $\text{R\$}\ 25,50$. Queremos comprar $7$ ingressos para toda a turma. Resolva o problema das duas formas a seguir:

1. a) Por redução à unidade: calcule o preço de um ingresso e depois o de $7$.
2. b) Com uma regra de três direta: monte a proporção $\frac{3}{25,50} = \frac{7}{x}$ e isole $x$.
3. c) Os dois resultados coincidem? Qual método parece mais prático e por quê?

Uma impressora 3D leva $4,5$ horas para imprimir uma peça de $270$ gramas de filamento. Queremos saber quanto tempo levará para imprimir outra peça de $420$ gramas, supondo o mesmo ritmo.

1. a) Explique por que o peso da peça e o tempo de impressão são grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Monte a regra de três direta e calcule o tempo que a peça de $420$ gramas levará.
3. c) Quantos gramas a máquina imprime em uma hora? Verifique o seu resultado do item b) usando esse dado.

Nos gráficos de proporcionalidade direta, a relação entre as duas grandezas é sempre representada por uma reta que passa pelo ponto $(0,0)$. Observe o gráfico a seguir que relaciona o número de canetas compradas e o seu custo total. Se $4$ canetas custam $6$ reais, identifique o ponto no gráfico e calcule quanto custariam $10$ canetas.

Copie e complete a seguinte tabela de valores diretamente proporcionais que relaciona a quantidade de quilogramas de tinta com a superfície que se pode cobrir. Calcule também a constante de proporcionalidade $k$ expressa em $m^2/kg$.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo que uma fonte de água fica aberta e os litros que ela jorra. Observe o ponto marcado e determine quantos litros a fonte jorrará se for mantida aberta durante $15\text{ minutos}$.

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo de carga de um novo modelo de celular e a porcentagem de bateria recuperada. O fabricante afirma que a carga é diretamente proporcional durante os primeiros $40$ minutos.

1. a) Observando o ponto destacado, calcule quantos minutos o celular leva para carregar $1\%$ de bateria.
2. b) Se o celular tem atualmente $12\%$ de bateria e é necessário sair de casa em $18$ minutos, com que porcentagem de bateria sairá?