Conceitos de Estatística

Uma empresa de videogames quer saber qual é o gênero favorito dos alunos da sua escola. Para não perguntar aos $800$ alunos, decide fazer uma pesquisa com $10$ estudantes de cada turma da escola.

Identifique os seguintes elementos do estudo estatístico:

• População:

• Amostra:

• Indivíduo:

Para melhorar a qualidade da comida no refeitório de uma grande escola de $1200$ alunos, o conselho escolar decide perguntar a opinião dos $5$ primeiros alunos de cada turma que entram na escola na segunda-feira de manhã. Identifique os seguintes elementos deste estudo estatístico:

1. a) População.

1. b) Amostra.

1. c) Indivíduo.

Identifique a população e o indivíduo em cada um dos seguintes estudos estatísticos:

• 1. Deseja-se saber o peso médio dos pães de $250$ g produzidos por uma padaria em um dia de trabalho.

• 2. Deseja-se saber qual é a disciplina favorita dos estudantes do 1º ano do ESO de toda a Espanha.

• 3. Um veterinário analisa o tipo de alimentação dos gatos que vivem em uma colônia urbana do seu bairro.

• 4. Uma empresa de lâmpadas quer saber quantas horas as suas lâmpadas de baixo consumo duram acesas antes de queimarem.

Observe o seguinte esquema que representa um estudo sobre a saúde das árvores em um parque natural que possui $5000$ exemplares. A equipe florestal analisou $150$ deles.

• a) Qual é o tamanho da população?

• b) Qual é o tamanho da amostra?

• c) Se os pesquisadores anotarem se a árvore tem praga ou não, que tipo de variável estão estudando?

Às vezes é impossível estudar toda a população e, por isso, usamos uma amostra. Explique em qual destes casos você acha que é obrigatório usar uma amostra em vez de pesquisar toda a população:

1. a) Queremos saber a nota média da última prova de matemática da sua turma do 1º ano do Ensino Médio.
2. b) Uma fábrica de lâmpadas quer saber quantas horas elas duram acesas antes de queimarem.
3. c) O diretor da escola quer saber quantos alunos vieram hoje à aula.
4. d) Um hospital quer analisar o grupo sanguíneo de todos os habitantes de um estado.

Um fabricante de telefones celulares quer testar a resistência da tela de um novo modelo. A fábrica produz $10,000$ telefones por dia. Para o estudo, são selecionados $50$ telefones e deixados cair repetidamente de uma altura de $1,5$ metros até que a tela quebre, registrando quantas quedas cada um suporta.

• a) Explique por que neste caso é estritamente necessário utilizar uma amostra em vez de estudar toda a população.

• b) Identifique a variável estudada e classifique-a.

• c) O que aconteceria com a produção se o fabricante decidisse não usar uma amostra e analisar cada indivíduo da população?

Um fabricante de lâmpadas LED em Campinas produz $20.000$ unidades por dia. Para garantir a qualidade, devem verificar quantas horas uma lâmpada dura acesa antes de queimar (um ensaio que destrói o produto testado). Por outro lado, em um conjunto de escolas rurais com $24$ alunos no total, a equipe docente deseja conhecer a opinião dos seus estudantes sobre o destino da viagem de final de ano letivo.

1. a) Para cada um dos dois casos, compare as vantagens e desvantagens de realizar um censo em relação a coletar uma amostra. Justifique qual dos dois métodos é o único viável ou o mais recomendável em cada situação, avaliando o custo, o tempo e se o produto é destruído.
2. b) Para o controle de qualidade das $20.000$ lâmpadas, a equipe de engenheiros hesita entre dois métodos para selecionar uma amostra de $100$ lâmpadas diárias:

• Método 1: Escolher as primeiras $100$ lâmpadas que saem da máquina às 6:00 da manhã.

• Método 2: Selecionar ao acaso $1$ lâmpada de cada lote de $200$ que é fabricado ao longo dos três turnos de trabalho do dia.

Escolha o método mais adequado para que a amostra seja representativa e justifique a sua decisão explicando que fontes de erro ou viés o método descartado apresenta.

Analise a seguinte situação: A prefeitura de uma cidade quer saber se os cidadãos estão satisfeitos com a nova ciclovia. Para economizar custos, decide perguntar apenas às pessoas que circulam pela ciclovia em um sábado de manhã.

1. a) A amostra é aleatória?
2. b) Que tipo de viés você acha que este estudo apresentará? Os resultados superestimarão ou subestimarão a satisfação geral da cidade?
3. c) Proponha uma forma de escolher a amostra que inclua pessoas que não usam a bicicleta para que o estudo seja objetivo.
4. d) Se a variável for "Grau de satisfação (Nada, Pouco, Muito)", de que tipo de variável se trata? Seria possível calcular a média aritmética desses dados? Justifique o porquê.

Um famoso influencer quer saber o que os adolescentes brasileiros pensam sobre o novo limite de tempo em uma rede social. Para isso, publica uma enquete em seus "stories" do Instagram durante 24 horas. Participam $15.400$ pessoas.

1. a) Identifique a população objeto de estudo e a amostra utilizada.
2. b) Você acredita que a amostra seja representativa da população? Justifique sua resposta analisando dois possíveis fatores que possam invalidar os resultados (vieses).
3. c) Proponha um método mais confiável para escolher uma amostra de $500$ indivíduos que realmente represente todos os adolescentes do Brasil.

Em uma escola de Ensino Médio estão matriculados $800$ estudantes distribuídos da seguinte forma:

• 1º ano: $240$ alunos.

• 2º ano: $200$ alunos.

• 3º ano: $180$ alunos.

• 4º ano: $180$ alunos.

A escola está pensando em instalar armários individuais e decide consultar uma amostra de $80$ alunos. Para selecioná-los, colocam um entrevistador na porta da cantina durante o intervalo, que entrevista os primeiros $80$ alunos que entram. Ao revisar os dados, verificam que a amostra é formada por: $4$ alunos do 1º ano, $10$ do 2º ano, $31$ do 3º ano e $35$ do 4º ano.

1. a) Estime e verifique o viés: Antes de calcular porcentagens, estime de forma fundamentada se um aluno do 1º ano teve as mesmas chances de ser escolhido que um do 4º ano com esse procedimento. Depois, verifique numericamente o desajuste calculando que porcentagem o 1º ano representa em toda a escola ($240$ de $800$) e que porcentagem representa realmente na amostra obtida ($4$ de $80$). É razoável considerar que a amostra é representativa?
2. b) Justifique de que modo esse viés influencia os resultados da pesquisa sobre a necessidade de armários, considerando as diferenças de horário, disciplinas ou peso das mochilas entre os anos iniciais e finais.
3. c) Se fosse necessário desenhar uma amostra de $80$ estudantes que fosse estritamente proporcional à população de cada ano:

1. Estime mentalmente quantos alunos do 1º ano deveriam ser entrevistados, aproximadamente (observando que fração de $800$ os $240$ alunos representam).

2. Calcule o número exato de alunos que devem ser escolhidos de cada ano e verifique que a soma de todos os grupos totaliza exatamente os $80$ estudantes previstos.

A prefeitura de uma cidade de $60.000$ habitantes quer consultar os cidadãos sobre o traçado de uma nova rede de ciclovias. A cidade está dividida em três distritos com características demográficas e geográficas muito distintas:

• Distrito Centro: $15.000$ habitantes (ruas de pedestres e terreno plano).

• Distrito Ensanche: $30.000$ habitantes (avenidas largas, planas e com grande densidade de tráfego rodoviário).

• Distrito Colina: $15.000$ habitantes (bairro residencial situado sobre colinas com declives acentuados).

Para realizar o estudo, decide-se entrevistar uma amostra de $600$ cidadãos, e são propostas três alternativas de amostragem:

• Método A: Colocar dois entrevistadores na porta da maior loja de venda e conserto de bicicletas da cidade durante uma semana e entrevistar $600$ clientes.

• Método B: Realizar um sorteio com o cadastro eleitoral municipal para entrevistar exatamente $200$ pessoas no Distrito Centro, $200$ no Distrito Ensanche e $200$ no Distrito Colina.

• Método C: Realizar um sorteio com o cadastro eleitoral municipal distribuindo os $600$ indivíduos de forma proporcional à quantidade real de habitantes que reside em cada distrito.

1. a) Escolha qual dos três métodos é o ideal para obter conclusões válidas para o conjunto da cidade e justifique detalhadamente por que ele garante a representatividade.
2. b) Analise criticamente os dois métodos descartados:

1. Explique o viés de seleção que invalida o Método A.

2. Explique por que o Método B não é equitativo nem representativo, indicando qual distrito fica sobrerrepresentado e qual fica sub-representado em relação ao seu peso demográfico real.

1. c) Calcule quantos cidadãos de cada distrito devem ser selecionados exatamente com o Método C para que a amostra reproduza com total fidelidade a proporção populacional da cidade.

Imagine que você deseja realizar um estudo estatístico para convencer o diretor da sua escola de que as aulas deveriam começar 15 minutos mais tarde para melhorar o rendimento.

1. a) Defina claramente a população e uma amostra adequada que não seja viesada.
2. b) Crie três variáveis diferentes que você poderia medir: uma qualitativa, uma quantitativa que seja uma contagem (números inteiros) e outra quantitativa que seja uma medição (com decimais).
3. c) Indique qual instrumento de coleta de dados você usaria para cada uma (pesquisa, observação direta ou aparelho de medição).

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas (se expressam uma qualidade ou característica) ou quantitativas (se são expressas por meio de um número):

1. a) O nome dos aplicativos mais usados no celular dos seus amigos.
2. b) O número de irmãos que cada aluno da sua turma tem.
3. c) A marca dos tênis que os jogadores de uma equipe usam.
4. d) A temperatura máxima atingida na sua cidade a cada dia desta semana.
5. e) O esporte preferido dos sócios de um clube de atletismo.

Dentro das variáveis quantitativas, distinguimos entre discretas (quando assumem valores isolados, normalmente números inteiros) e contínuas (quando podem assumir qualquer valor em um intervalo, como decimais). A figura mostra a diferença: em cima, valores isolados; embaixo, um trecho da reta no qual cabe qualquer valor, também os decimais.

Classifique como discretas ou contínuas estas variáveis:

1. a) O número de gols que um time marca em cada jogo do campeonato.

1. b) O tempo exato que um nadador leva para percorrer $50$ metros.

1. c) A quantidade de livros que há nas mochilas dos alunos.

1. d) A altura dos componentes da seleção espanhola de basquete.

A Júlia classificou as seguintes variáveis estatísticas coletadas na ficha médica da sua escola, mas o seu professor indicou que ela cometeu dois erros conceituais:

1. Código postal do domicílio: A Júlia afirma que é quantitativa discreta «porque se escreve com números e não tem casas decimais».

2. Número de disciplinas aprovadas: A Júlia afirma que é quantitativa discreta «porque se contam com números naturais ($0, 1, 2...$)».

3. Cor dos olhos: A Júlia afirma que é qualitativa «porque descreve uma qualidade e não uma quantidade».

4. Altura do estudante: A Júlia afirma que é quantitativa discreta «porque na balança da enfermaria marca $154\text{ cm}$, que é um número inteiro sem vírgula».

Identifique os dois erros cometidos pela Júlia, explique detalhadamente por que o raciocínio dela é incorreto em cada caso e classifique adequadamente ambas as variáveis, fundamentando a diferença entre um código numérico e uma medida contínua.

Um streamer famoso quer saber qual é o videogame favorito dos seus seguidores na Espanha. Para isso, realiza uma pesquisa rápida durante uma transmissão ao vivo da qual participam $1500$ pessoas. Classifique as seguintes variáveis coletadas no estudo em qualitativas ou quantitativas:

• a) Título do videogame preferido.

• b) Número de horas que jogam por semana.

• c) Console ou plataforma utilizada (PC, PS5, Switch, etc.).

• d) Quantidade de dinheiro gasta em "skins" ou passes de batalha por mês.

• e) Avaliação da transmissão ao vivo de 1 a 10.

Uma loja de roupas online quer saber o grau de satisfação dos seus clientes (Muito insatisfeito, Insatisfeito, Neutro, Satisfeito, Muito satisfeito).

• a) Classifique esta variável. Ela é quantitativa ou qualitativa?

• b) Embora sejam usadas palavras, às vezes são atribuídos números ($1$ a $5$) para calcular a média. Você acha que isso transforma a variável em quantitativa? Justifique a sua resposta.

• c) Se a loja enviar a pesquisa a $500$ clientes que compraram ontem, quem é o "indivíduo" neste estudo?

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas ou quantitativas. No caso das quantitativas, reflita sobre se faz sentido realizar operações aritméticas (como a média) com seus valores:

1. a) O código postal da residência dos alunos de uma escola.
2. b) O número de série dos computadores da biblioteca.
3. c) A temperatura média diária registrada no pátio da escola durante o mês de janeiro.
4. d) O número da camisa dos jogadores de um time de basquete.
5. e) O tempo, expresso em segundos, que um grupo de nadadores leva para atravessar uma piscina de $50$ metros.

Nota: Pense se o "número" atua como uma etiqueta ou como uma medida real.

Estamos realizando um experimento sobre o crescimento de plantas de tomate sob diferentes tipos de luz. Temos $200$ plantas no total.

1. a) Se decidirmos analisar apenas as plantas que estão na fileira mais próxima da janela, estamos estudando a população ou uma amostra?
2. b) Defina o indivíduo deste estudo.
3. c) Queremos medir três variáveis: a altura da planta em $cm$, a cor das folhas (verde-escuro, verde-claro ou amarelado) e o número de tomates que cada planta produz. Classifique cada variável.
4. d) Este é um experimento aleatório ou determinístico? Justifique sua resposta.

Um grupo de amigos está discutindo sobre qual filme assistir no cinema. Eles anotaram suas preferências:

Aventura, Comédia, Terror, Aventura, Aventura, Terror, Comédia, Aventura, Comédia.

Responda às seguintes perguntas sobre os conceitos básicos:

1. a) Qual é a variável estatística que está sendo estudada?
2. b) De que tipo é essa variável?
3. c) Qual é a frequência absoluta (número de vezes que aparece) da categoria "Aventura"?

Observe o seguinte gráfico de barras que representa os animais de estimação dos alunos de uma turma e responda com base nos conceitos aprendidos:

1. a) Qual é o tamanho da amostra (número total de alunos pesquisados)?
2. b) Qual é a variável estudada e de que tipo ela é?
3. c) Qual é a frequência absoluta da variável "Gato"?

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um estudo sobre os hábitos de leitura dos adolescentes de uma cidade, a variável estatística é definida como: "Número de livros lidos durante o último verão".

• a) De que tipo é esta variável?

• b) Se o estudo for realizado com uma amostra de $200$ jovens e a soma de todos os livros lidos por eles for $450$, o que representa o valor $2,25$ neste contexto?

• c) Crie três possíveis valores que um indivíduo poderia assumir nesta variável.

Em um estudo sobre o consumo de frutas em uma turma de $30$ alunos, alguns dados da tabela de frequências foram perdidos. Sabemos que a frequência relativa ($h_i$) dos alunos que comem "3 porções por dia" é exatamente $0,2$ e que a frequência absoluta ($f_i$) dos que comem "1 porção por dia" é o triplo dos que comem "nenhuma".

Se há $2$ alunos que não comem nenhuma fruta por dia, complete fundamentadamente os seguintes dados:

1. a) Quantos alunos comem $3$ frutas por dia?
2. b) Quantos alunos comem $1$ fruta por dia?
3. c) Qual é a frequência absoluta dos que comem "2 frutas por dia", sabendo que todas as opções anteriores juntas somam o total da turma?

Foi realizada uma pesquisa sobre o número de filhos por família em um condomínio de $200$ famílias. Sabe-se que $15\%$ das famílias têm $3$ ou mais filhos.

1. a) Qual é a frequência absoluta do evento "ter 3 ou mais filhos"?
2. b) Se o ângulo em um gráfico de setores para as famílias com "1 filho" é de $144^\circ$, quantas famílias têm exatamente um filho?
3. c) Calcule a frequência relativa do grupo de famílias que têm "1 filho".

Imagine que você quer realizar um estudo sobre os hábitos de leitura dos adolescentes da sua cidade. Indique um exemplo de:

1. Uma pergunta cuja resposta seja uma variável qualitativa.

2. Uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa discreta.

3. Uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa contínua.

A comissão organizadora do dia da juventude do teu município quer conhecer as preferências dos $400$ estudantes do 1.º ano do ESO da localidade. Encarregaram-te de redigir quatro perguntas para o inquérito, mas cada uma deve corresponder a um tipo concreto de variável estatística:

1. a) Escreve uma pergunta cuja resposta seja uma variável qualitativa.
2. b) Escreve uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa discreta (especifica claramente que elemento concreto está a ser contado).
3. c) Escreve uma pergunta cuja resposta seja uma variável quantitativa contínua (indica que unidade de medida será utilizada para registar o dado).
4. d) Se a comissão decidir entregar o questionário apenas aos $30$ alunos que frequentam a oficina municipal de teatro, este grupo de $30$ constitui a população ou uma amostra? Justifica se esta seleção é representativa de todos os estudantes do 1.º ano do ESO do município ou se causará um viés.

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza um estudo sobre a sustentabilidade dos lares em um estado que conta com $600.000$ domicílios ocupados. Para isso, os pesquisadores selecionam aleatoriamente uma amostra de $1.200$ domicílios e registram os seguintes dados de cada um:

• Tipo de domicílio (apartamento, casa de vila ou casa unifamiliar isolada).

• Consumo médio de água no último trimestre (em metros cúbicos, $\text{m}^3$).

• Número de pessoas que moram no lar.

• Temperatura média programada no termostato no inverno (em graus Celsius, $^\circ\text{C}$).

• Se dispõem de sistema de reciclagem separada de matéria orgânica (Sim/Não).

1. a) Modele a situação identificando com exatidão a população, a amostra e o indivíduo deste estudo estatístico.
2. b) Classifique cada uma das cinco variáveis registradas em: qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua. Justifique por que o consumo de água e a temperatura são contínuas, diferenciando-as do número de moradores.
3. c) Suponha que, para reduzir custos de deslocamento, se decida pesquisar os $1.200$ domicílios unicamente no condomínio mais abastado da capital. A amostra continuaria sendo representativa de toda a população estudada? Explique dois motivos concretos pelos quais os resultados sobre o consumo de água e a reciclagem estariam enviesados.

Em nossa vida diária acontecem muitas coisas, mas nem todas dependem do acaso. Indique quais das seguintes situações são experimentos aleatórios e quais são determinísticos:

1. a) Lançar uma moeda ao ar e observar se sai cara ou coroa.
2. b) Calcular quanto custarão $3$ ingressos de cinema se cada um custar $8$ reais.
3. c) Perguntar a um colega qual é a sua cor favorita.
4. d) Deixar cair uma pedra de uma varanda e ver se cai para baixo.
5. e) Retirar uma carta de um baralho sem olhar.

Indique se os seguintes fenômenos são aleatórios ou determinísticos, justificando brevemente a sua resposta:

• a) Saber se vai chover na sua cidade exatamente no dia do seu aniversário no ano que vem.

• b) Calcular o preço de $5$ ingressos de cinema se você sabe que cada um custa $8,50$ reais.

• c) Prever o número que sairá ao lançar um dado de 10 faces em um jogo de RPG.

• d) Saber a nota de uma prova de matemática se você deixou todas as questões em branco.

• e) Retirar uma carta de um baralho e tirar o ás de ouros.

Identifique se os seguintes fenômenos são aleatórios ou determinísticos, explicando o motivo em cada caso. Para os aleatórios, descreva o seu espaço amostral:

1. a) Lançar uma pedra de uma varanda e cronometrar o tempo que demora para chegar ao chão (supondo que não há vento e a altura é fixa).
2. b) O número que ganhará o primeiro prêmio no sorteio da Mega da Virada.
3. c) Retirar uma carta de um baralho e observar se é uma "figura" (Valete, Dama ou Rei).
4. d) Misturar um ácido com uma base em um laboratório de química seguindo uma proporção exata para obter um sal.
5. e) O tempo exato que o próximo ônibus demorará para chegar ao ponto.