Frações equivalentes

Verifique se as seguintes frações são equivalentes utilizando o método dos produtos cruzados:

Mostre os cálculos realizados.

O Lucas partiu uma barra de chocolate em $12$ quadrados iguais e comeu $4$. A sua amiga Sofia tem uma barra igual, mas dividida em apenas $3$ pedaços grandes. Quantos pedaços a Sofia deveria comer para ter comido a mesma quantidade de chocolate que o Lucas? Expresse isso usando frações equivalentes.

Na figura, os quadrados coloridos são os que o Lucas comeu. A barra da Sofia está sem colorir.

Dois amigos, Marcos e Letícia, estão comparando quanto avançaram na leitura de um mesmo livro. Marcos diz que leu $\frac{3}{4}$ do total, enquanto Letícia afirma ter completado $\frac{9}{12}$ das páginas. Utilize a representação gráfica para verificar se ambos leram a mesma proporção do livro e justifique sua resposta por meio do produto em cruz.

Obtenha três frações equivalentes a $\frac{2}{7}$ por ampliação. Para isso, multiplique o numerador e o denominador por $2$, por $3$ e por $10$.

O Mateo está procurando uma fração equivalente a $\frac{2}{5}$ cujo denominador seja $15$. No caderno dele, escreveu o seguinte: «Para passar do denominador $5$ para o $15$, tenho de somar $10$. Portanto, ao numerador também somo $10$, de modo que a fração equivalente é $\frac{12}{15}$». Explique de forma fundamentada por que o procedimento do Mateo está errado, apoiando-se no conceito de amplificação. Em seguida, corrija o erro dele, calcule a fração equivalente correta e demonstre formalmente que ela equivale a $\frac{2}{5}$ usando a regra dos produtos cruzados.

Em um videogame, a barra de energia de uma personagem está dividida originalmente em $8$ segmentos iguais. Se a personagem tem atualmente $\frac{6}{8}$ da sua energia, quantos segmentos estariam cheios se decidíssemos dividir a mesma barra em $24$ partes menores? Escreva a fração equivalente correspondente.

Na figura, a barra de cima é a original (com $6$ segmentos cheios em $8$) e a de baixo é a mesma barra dividida em $24$ partes iguais, ainda sem colorir.

Simplifique a seguinte fração até obter sua fração irredutível:

Indique por qual número você dividiu o numerador e o denominador em cada passo.

Em um time de basquete, $6$ dos $15$ jogadores são canhotos.

1. a) Escreva a fração de jogadores canhotos.
2. b) Qual das seguintes frações é equivalente à anterior?

• $\frac{1}{3}$

• $\frac{2}{5}$

• $\frac{3}{10}$

Obtenha a fração irredutível das seguintes expressões utilizando o método das divisões sucessivas ou calculando o Máximo Divisor Comum ($M.C.D.$):

1. a) $\dfrac{120}{180}$

1. b) $\dfrac{45}{105}$

1. c) $\dfrac{256}{512}$

Da seguinte lista de frações, agrupe aquelas que sejam equivalentes entre si:

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{10}{30}, \dfrac{7}{14}$

Em uma competição de robótica, o robô da Ana completou $\frac{18}{24}$ do circuito, enquanto o do Lucas completou $\frac{25}{30}$.

1. a) Simplifique ambas as frações até chegar à sua fração irredutível para saber qual robô está na frente.
2. b) Ana afirma que se seu robô percorrer um trecho a mais equivalente a $\frac{1}{12}$ do total, as frações de ambos os robôs passarão a ser equivalentes. Essa afirmação é verdadeira? Demonstre matematicamente.

Observe a seguinte figura e determine que fração representa a parte sombreada. Em seguida, escreva uma fração equivalente que tenha como denominador o número $16$.

Calcule o valor do número que falta para que o seguinte par de frações sejam equivalentes:

Observe a posição do ponto $P$ na reta numérica. Que fração ele representa? Escreva uma fração equivalente a ela cujo denominador seja $10$.

Calcule o valor da incógnita $x$ para que os seguintes pares de frações sejam equivalentes:

1. a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$

1. b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$

1. c) $\dfrac{18}{x} = \dfrac{6}{11}$

Para preparar uma vitamina de frutas, uma receita indica que são necessários $\frac{2}{5}$ de litro de leite. Se você dispõe apenas de um medidor graduado em mililitros ($1$ litro = $1000$ ml), que fração com denominador $1000$ seria equivalente a $\frac{2}{5}$? Quantos mililitros de leite você deve colocar exatamente?

Complete as seguintes cadeias de frações equivalentes:

1. a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{\square} = \dfrac{\square}{15} = \dfrac{20}{\square}$

1. b) $\dfrac{60}{48} = \dfrac{30}{\square} = \dfrac{\square}{12} = \dfrac{5}{\square}$

Assinale quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas, justificando a sua resposta no caderno:

1. a) Se multiplicarmos o numerador de uma fração por $2$ e o denominador por $2$, obtemos uma fração equivalente.

1. b) Ao somar $3$ ao numerador e $3$ ao denominador da fração $\frac{1}{2}$, obtemos outra fração equivalente.

1. c) A fração $\frac{17}{13}$ é irredutível porque tanto o numerador quanto o denominador são números primos.

Determine o valor da incógnita $n$ em cada uma das seguintes igualdades para que as frações sejam equivalentes, sabendo que $n$ deve ser um número inteiro positivo:

1. a) $\frac{n+2}{12} = \frac{15}{18}$

1. b) $\frac{8}{n-3} = \frac{32}{40}$

1. c) $\frac{3}{7} = \frac{n^2}{21}$

A partir dos dados publicados pela AEMET sobre a primavera em duas regiões agrícolas espanholas, sabe-se que na região A choveu $36$ dias de um total de $90$ dias observados, enquanto na região B choveu $24$ dias durante um período de $60$ dias registrados.

1. a) Escreva a fração de dias chuvosos em relação ao total de dias em cada uma das duas regiões.
2. b) Sem calcular os números decimais associados, demonstre, por meio da regra dos produtos cruzados, se a frequência relativa de dias de chuva foi exatamente equivalente em ambas as zonas.
3. c) Calcule a fração irredutível comum às duas regiões dividindo o numerador e o denominador pelo seu M.D.C. e explique que significado prático têm o numerador e o denominador dessa fração irredutível para um agricultor da zona.

Dois estudantes precisam averiguar se as frações $\frac{72}{108}$ e $\frac{60}{90}$ representam exatamente a mesma quantidade, mas não chegam a um acordo sobre como verificar isso:

• A Sofia propõe verificar diretamente através dos produtos cruzados ($72 \cdot 90$ e $108 \cdot 60$).

• O Lucas prefere simplificar cada fração dividindo os seus termos pelo Máximo Divisor Comum (M.D.C.) para compará-las na sua forma irredutível.

1. a) Aplique o procedimento da Sofia e determine se são equivalentes.
2. b) Aplique o procedimento do Lucas calculando o M.D.C. de cada fração e determinando as suas frações irredutíveis.
3. c) Compare ambos os caminhos: qual dos dois métodos você considera mais seguro e vantajoso se tiver de fazer os cálculos à mão e sem calculadora? Justifique a sua resposta analisando o que acontece com a grandeza das operações em cada caso.

Num inquérito sobre mobilidade sustentável realizado numa escola, $18$ dos $40$ alunos de uma turma de 1.º de ESO afirmam que vão para a escola a pé ou de bicicleta.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo exato, estima de forma fundamentada se essa proporção representa mais de metade, menos de metade ou exatamente metade da turma, tomando como referência a fração $\frac{1}{2}$.
2. b) Simplifica a fração $\frac{18}{40}$ até chegares à sua fração irredutível e verifica se a tua estimativa inicial estava correta.
3. c) Se em todo o ano de 1.º de ESO existirem $200$ estudantes e se mantivesse exatamente a mesma proporção, quantos alunos iriam a pé ou de bicicleta? Verifica que a nova fração obtida é equivalente à irredutível aplicando os produtos cruzados.

Em um ateliê de design gráfico, estão sendo comparados dois formatos de imagem. O primeiro formato ocupa $\frac{5}{8}$ da memória de um cartão, e o segundo ocupa $\frac{7}{12}$. Para um novo projeto, é necessário encontrar uma fração equivalente a cada uma delas que tenha como denominador o mínimo múltiplo comum de ambos os denominadores. Depois de encontrá-las, procure um número natural $x$ tal que a fração $\frac{x}{48}$ esteja exatamente entre as duas frações originais.

Três amigos, Ana, Marcos e Sofia, compraram um terreno retangular para cultivar uma horta urbana. Ana fica com $\frac{2}{5}$ do terreno, Marcos com $\frac{4}{15}$ e Sofia com o restante.

1. a) Calcule a fração simplificada que corresponde a Sofia.
2. b) Encontre uma fração equivalente à parte de Sofia cujo numerador seja o dobro do numerador da parte de Marcos.
3. c) Se o terreno total mede $300$ metros quadrados, é verdade que a parte de Marcos é equivalente a ter $20$ pedaços de $\frac{4}{1}$ metros quadrados cada um? Justifique sua resposta.

Um arquiteto divide uma grande janela retangular em $8$ seções iguais (distribuídas em duas linhas de quatro). Três destas seções estão sombreadas e representam a parte que terá vidro fumê. Determine:

1. a) Que fração irredutível do total representa a zona sombreada?
2. b) Procure uma fração equivalente à anterior cujo denominador seja igual ao denominador da fração irredutível obtida no item anterior multiplicado por $3$.

Dispomos de uma fração misteriosa. Sabemos que ela é equivalente a $\frac{45}{105}$. Além disso, valem as seguintes dicas:

1. Seu numerador é um número de dois algarismos que é múltiplo de $6$.

2. Se somarmos seu numerador e seu denominador, o resultado é um número menor que $100$.

Quais frações satisfazem todas as dicas? Encontre todas e indique os passos realizados.

Deseja-se construir uma cadeia de frações equivalentes começando por $\frac{12}{16}$.

1. a) Escreva a fração irredutível da cadeia.
2. b) Encontre o termo que falta na seguinte igualdade: $\frac{12}{16} = \frac{x}{x+5}$. (Dica: utilize a propriedade de que nas frações equivalentes os produtos cruzados são iguais).
3. c) Se multiplicarmos o numerador da fração irredutível por um número primo $p$ e o denominador pelo número primo seguinte, a nova fração obtida poderia ser equivalente à original? Justifique sua resposta com um exemplo.

Uma empresa de sucos utiliza dois recipientes diferentes. O recipiente A está cheio até $\frac{3}{4}$ da sua capacidade e o recipiente B até $\frac{12}{16}$ da sua.

1. a) Demonstre graficamente e por meio de produtos cruzados se as frações de enchimento são equivalentes.

1. b) Se o recipiente A tem uma capacidade de $2$ litros e o recipiente B tem uma capacidade de $1,5$ litros, eles contêm a mesma quantidade de suco em litros? Eles continuam representando a mesma proporção em relação aos seus próprios recipientes? Explique a diferença entre "fração equivalente" e "quantidade absoluta".

Descubra uma fração desconhecida a partir das seguintes pistas sobre os seus termos (ambos são números naturais):

1. A fração não está simplificada; o seu denominador supera o numerador em $24$ unidades.

2. A soma do seu numerador e do seu denominador é igual a $96$.

3. Ao simplificá-la até a sua forma irredutível, a soma dos novos termos é igual a $8$.

1. a) Modele as relações anteriores para deduzir o valor do numerador e do denominador da fração original sem simplificar.
2. b) Obtenha a sua fração irredutível dividindo os seus termos pelo M.D.C. e verifique que cumpre a terceira condição.
3. c) Determine qual foi o fator exato pelo qual se ampliou a fração irredutível para gerar a fração inicial e justifique, a partir da redução a um denominador comum, por que motivo ambas as frações representam rigorosamente a mesma parte da unidade.

Em uma auditoria de qualidade sobre o serviço de trens urbanos da CPTM, analisam-se os atrasos em duas linhas durante um trimestre:

• Na linha C-1 foram inspecionadas $140$ composições, das quais $119$ chegaram pontuais ao seu destino.

• Na linha C-2 foram inspecionadas $260$ composições, das quais $221$ chegaram com pontualidade.

1. a) Demonstre, por meio da igualdade de produtos cruzados, se ambas as linhas tiveram o mesmo nível de pontualidade.
2. b) Reduza a proporção de pontualidade à sua fração irredutível utilizando o M.D.C. e interprete o que representam ambos os números para uma pessoa que viaja habitualmente nesses trens.
3. c) Tendo em vista o próximo trimestre, em uma terceira linha (C-3) prevê-se realizar um total de $450$ trens.

1. Justifique de forma matemática por que é impossível que a linha C-3 registre exatamente a mesma proporção irredutível de pontualidade que as linhas C-1 e C-2 se todos os trens tiverem de ser considerados unidades inteiras.

2. Se fossem auditados $500$ trens em vez de $450$, quantos trens atrasados, no máximo, poderiam ser permitidos para igualar a proporção de pontualidade das linhas anteriores? Justifique o seu raciocínio por meio da amplificação de frações.