Triângulos

Em um triângulo, conhecemos a medida de dois de seus ângulos internos: $\hat{A} = 45^\circ$ e $\hat{B} = 75^\circ$. Calcule quanto mede o terceiro ângulo $\hat{C}$ sabendo que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre $180^\circ$.

Na aula de Artes, a Ana está desenhando um vitral com peças de vidro triangulares. Em uma das peças, ela mediu com o transferidor dois dos seus ângulos internos, que resultam ser $27^\circ$ e $38^\circ$.\na) Antes de calcular o valor exato do terceiro ângulo, estime de forma fundamentada se esse ângulo será agudo, reto ou obtuso (observe se a soma dos dois conhecidos supera ou não os $90^\circ$). A partir da sua estimativa, indique que tipo de triângulo você espera obter quanto aos ângulos.\nb) Calcule o valor exato do terceiro ângulo utilizando a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo e verifique se a sua estimativa estava correta.\nc) Sabendo que os três lados desta peça têm comprimentos diferentes, classifique o triângulo quanto aos lados.

Durante uma travessia de alta montanha no Parque Nacional de los Picos de Europa, três abrigos ($A$, $B$ e $C$) estão conectados por trilhos retos formando um triângulo. O guia de montanha revê as fichas técnicas:

• O ângulo no abrigo $A$ mede o triplo do ângulo no abrigo $B$.

• O ângulo no abrigo $C$ mede exatamente $20^\circ$.

• A distância em linha reta entre o abrigo $A$ e o abrigo $B$ é de $7\text{ km}$.

• A distância em linha reta entre o abrigo $B$ e o abrigo $C$ é de $18\text{ km}$.

1. a) Modela a situação estabelecendo uma equação com os ângulos internos do triângulo e determina a medida exata dos ângulos no abrigo $A$ e no abrigo $B$.
2. b) Classifica o triângulo que os três abrigos formam tanto pelos seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) quanto pelos seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno).
3. c) Um caminhante afirma: «Para ir diretamente do abrigo $C$ ao abrigo $A$ em linha reta teremos de caminhar mais de $25\text{ km}$». Demonstra matematicamente, através da desigualdade triangular, por que razão a afirmação do caminhante é impossível.
4. d) O serviço de emergência 112 precisa de instalar uma antena de emergência que fique exatamente à mesma distância dos três abrigos. Identifica o ponto notável do triângulo que os técnicos devem localizar e explica que retas devem traçar sobre o mapa para encontrá-lo.

No logotipo de uma nova marca de roupas esportivas, aparecem dois retângulos que se cruzam formando vários triângulos. No triângulo central $ABC$, sabemos que o ângulo em $A$ mede $45^\circ$ e que o ângulo externo ao vértice $B$ mede $115^\circ$.

1. Calcule os três ângulos internos do triângulo $ABC$.

2. Classifique o triângulo segundo seus lados e segundo seus ângulos.

Para decorar seu quarto, Ana recortou uma bandeirola de tecido com forma de triângulo. Ao medir seus lados, viu que medem $15\text{ cm}$, $15\text{ cm}$ e $20\text{ cm}$. Como se classifica esse triângulo segundo o comprimento de seus lados?

Observe a placa de trânsito de "Dê a preferência". Ela tem a forma de um triângulo equilátero. Indique quanto deve medir cada um de seus ângulos internos sem a necessidade de usar um transferidor. Justifique sua resposta com base nas propriedades desse tipo de polígono.

Em uma oficina de design de jogos eletrônicos, um programador precisa criar um personagem com a forma de um triângulo isósceles. O ângulo diferente do vértice superior mede o triplo de um dos ângulos da base, menos $20^\circ$. Calcule a medida dos três ângulos do personagem para que o design seja geometricamente correto.

Classifique os seguintes triângulos segundo a medida de seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo):

• Triângulo 1: Seus ângulos medem $90^\circ$, $40^\circ$ e $50^\circ$.

• Triângulo 2: Seus ângulos medem $110^\circ$, $30^\circ$ e $40^\circ$.

• Triângulo 3: Seus ângulos medem $60^\circ$, $60^\circ$ e $60^\circ$.

Em uma oficina de design gráfico, estão criando um novo logotipo que tem a forma de um triângulo. Sabemos que dois de seus ângulos internos medem $42^\circ$ e $68^\circ$.

1. a) Calcule quanto mede o terceiro ângulo do logotipo.
2. b) Classifique o triângulo quanto aos seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo).
3. c) Classifique o triângulo quanto aos seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno).

Em um jardim, deseja-se colocar uma cerca que delimite uma área de flores com formato de triângulo isósceles. O ângulo desigual mede $100^\circ$.

1. a) Quanto mede cada um dos outros dois ângulos da área de flores?
2. b) Se traçarmos a mediana a partir do vértice do ângulo de $100^\circ$ até o lado oposto, em quais dois tipos de triângulos a área fica dividida? Classifique-os de acordo com seus ângulos.

O Marcos tem três varetas de madeira para construir uma estrutura triangular. Os comprimentos das varetas são $12\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ e $4\text{ cm}$. A figura mostra as três varetas desenhadas na mesma escala.

Explique de forma fundamentada se o Marcos conseguirá formar um triângulo com elas ou se será impossível para ele.

Um carpinteiro tem três ripas de madeira para fabricar uma moldura triangular para um espelho. As ripas medem $15\text{ cm}$, $8\text{ cm}$ e $24\text{ cm}$.

1. a) Explique, utilizando a propriedade da soma dos lados de um triângulo, se é possível construir a moldura com essas medidas.
2. b) Se decidir trocar a ripa de $24\text{ cm}$ por uma de $20\text{ cm}$, poderia construí-la agora? Justifique sua resposta.

Um arquiteto está desenhando uma rampa para um skatepark. Ele calculou que o suporte principal deve formar um triângulo de lados $x + 2$ metros, $2x - 1$ metros e $10$ metros.

1. Se o triângulo deve ser isósceles, com os lados $x + 2$ e $2x - 1$ iguais, quanto deve valer $x$?

2. Se $x = 3$, é possível construir esse triângulo? Justifique a sua resposta utilizando a propriedade da soma dos lados de um triângulo.

Em um triângulo retângulo, os dois lados que formam o ângulo de $90^\circ$ medem $6\text{ cm}$ e $8\text{ cm}$. Como se chamam esses dois lados na terminologia matemática dos triângulos retângulos? E como se chama o lado mais longo que fica oposto ao ângulo reto?

Um parquinho tem uma caixa de areia em forma de triângulo retângulo. Sabemos que o lado mais longo (a hipotenusa) mede $13\text{ metros}$ e um dos lados que formam o ângulo reto mede $5\text{ metros}$.

1. a) Calcule o comprimento do outro lado da caixa de areia.
2. b) Determine o perímetro total da caixa de areia.
3. c) Calcule a área ocupada pela areia.

Um explorador colocou uma corda de $24$ metros cercando um terreno triangular para montar seu acampamento.

1. Se o terreno for um triângulo isósceles e um dos lados iguais medir $9 \text{ metros}$, quanto mede o lado restante?

2. Se o explorador quisesse que o triângulo fosse retângulo com lados de $6 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ e $10 \text{ m}$, a mesma corda serviria? Verifique também se o Teorema de Pitágoras é válido neste último caso.

Três localidades, Altea ($A$), Belmonte ($B$) e Calar ($C$), estão situadas de forma a formar um triângulo escaleno, como mostra a figura. Pretende-se instalar uma torre de telecomunicações que esteja exatamente à mesma distância das três localidades.

1. a) Que ponto notável do triângulo representa a localização da torre?

1. b) Que retas notáveis você precisou traçar para encontrar esse ponto? Desenhe um esquema aproximado da situação.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Projetou-se uma placa de trânsito triangular que é um triângulo equilátero de $60\text{ cm}$ de lado.

1. a) Se quisermos colocar uma borda refletiva ao redor da placa, quantos metros de material refletivo serão necessários?
2. b) Se traçarmos as três bissetrizes do triângulo, como se chama o ponto onde elas se cruzam? Que propriedade especial esse ponto tem com relação aos lados da placa?

Três povoados da serra, Alpedrete, Becerril e Cercedilla, querem construir uma torre de telefonia que esteja exatamente à mesma distância dos três para que todos tenham a mesma cobertura.

1. a) Como se chama o ponto notável do triângulo onde devem colocar a torre?

1. b) Se o triângulo formado pelos povoados for obtusângulo, explique de forma fundamentada se a torre ficará dentro ou fora da área delimitada pelos três povoados.

1. c) Desenhe um esquema aproximado da situação: o triângulo obtusângulo com os três povoados, as linhas que você usa para encontrar o ponto e a posição da torre.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um jardim tem a forma de um retângulo de $12 \times 8$ metros. Para instalar um sistema de irrigação, o jardim foi dividido traçando uma diagonal. Em um dos dois triângulos resultantes, quer-se colocar um aspersor circular no incentro.

1. Explique o que são as bissetrizes e por que o aspersor no incentro é a melhor opção para ficar à mesma distância dos três lados do triângulo (as duas bordas do jardim e a diagonal).

2. Desenhe o retângulo, a diagonal e o incentro de um dos triângulos de maneira esquemática.

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Em uma prova de geometria avançada, apresenta-se um triângulo onde as três medianas se intersectam em um ponto $G$ (Baricentro). Se a mediana que sai do vértice $A$ mede um total de $12 \text{ cm}$, calcule a medida dos dois segmentos nos quais o ponto $G$ divide essa mediana. (Lembre-se da propriedade: o baricentro divide a mediana em duas partes, sendo uma o dobro da outra).

Observe a seguinte figura composta por dois triângulos. O triângulo $ABC$ é retângulo em $B$ e o triângulo $ACD$ é isósceles com $\overline{AC} = \overline{AD}$.

Se $\overline{AB} = 8\text{ cm}$ e $\overline{BC} = 6\text{ cm}$, calcule:

1. a) O comprimento do lado $\overline{AC}$.
2. b) O perímetro total da figura sombreada $ABCD$ sabendo que $\overline{CD} = 7\text{ cm}$.

Observe a figura junta, que representa uma peça metálica. Ela é formada por um triângulo retângulo grande e outro menor em seu interior. Sabemos que o cateto horizontal do grande mede $15 \text{ cm}$ e sua área é de $60 \text{ cm}^2$. O triângulo pequeno é semelhante e tem uma base de $5 \text{ cm}$.

1. Calcule a altura do triângulo grande.

2. Utilizando a lógica das proporções, calcule a área do triângulo pequeno. (Dica: se a base é a terça parte, o que acontecerá com a altura?).