Sistema sexagesimal

O sistema sexagesimal se baseia no número $60$. Realize as seguintes conversões de tempo:

1. a) Quantos minutos são $3$ horas e $15$ minutos?
2. b) Um vídeo do TikTok dura $150$ segundos. Expresse-o em minutos e segundos (forma composta).
3. c) Se uma série de televisão dura $0,5$ horas, quantos minutos são?

O treinador de uma equipe de natação anota os tempos das sessões em unidades diferentes. Expresse cada tempo na unidade solicitada:

1. a) A sessão de segunda-feira durou $1,5$ horas. Quantos minutos são?

1. b) O melhor revezamento da equipe foi feito em $210$ segundos. Quantos minutos e segundos são?

1. c) Uma nadadora aguentou $2$ minutos e $40$ segundos em apneia. Expresse esse tempo apenas em segundos.

1. d) A sessão de sexta-feira durou $2,25$ horas. Quantos minutos são?

O Marcos treina atletismo e registra as suas marcas com um aplicativo de celular. Ao terminar uma sessão de corrida, a tela do seu celular indica um tempo de $1,45\ h$. O Marcos anota no seu diário esportivo: «Hoje corri durante 1 hora e 45 minutos».\n\na) Explique detalhadamente qual é o erro que o Marcos comete ao interpretar o número $1,45\ h$. Em que sistema de numeração está expressa a parte decimal e em que base se medem habitualmente os minutos?\n\nb) Corrija o cálculo do Marcos e determine a duração exata do seu treino expressa em forma complexa (horas e minutos).

Marta começou a estudar às $17:45$ e terminou às $19:10$.

1. a) Quanto tempo ela ficou estudando no total? (Expresse o resultado em horas e minutos).
2. b) Se ela fez uma pausa de $15$ minutos no meio da tarde, quanto tempo real de estudo ela teve?

Expresse em segundos as seguintes durações e depois ordene-as da maior para a menor:

• $t_1 = 2,5\text{ horas}$

• $t_2 = 145\text{ minutos e } 30\text{ segundos}$

• $t_3 = 9.200\text{ segundos}$

• $t_4 = 2\text{ h } 30\text{ min } 15\text{ s}$

No festival de música da escola, o show final é dividido em três partes: a apresentação do grupo do primeiro ano dura $25$ minutos, a do grupo do segundo $35$ minutos e a do grupo do terceiro $45$ minutos.

1. a) Quantos minutos dura o show no total?

1. b) Expresse essa duração em horas e minutos.

Um torneio de eSports consiste em três fases. A primeira fase durou $2\text{ h } 45\text{ min } 15\text{ s}$, a segunda fase durou $1\text{ h } 58\text{ min } 50\text{ s}$ e a grande final durou $55\text{ min } 20\text{ s}$.

1. a) Qual foi a duração total do torneio em formato complexo?
2. b) Se o torneio foi gravado na íntegra e o arquivo de vídeo ocupa $12\text{ MB}$ para cada minuto de gravação, quantos $GB$ o vídeo total ocupa, aproximadamente? (Dado: $1\text{ GB} = 1.024\text{ MB}$).

Uma família faz uma viagem de trem com uma escala. O primeiro trecho dura $1\text{ h } 45\text{ min } 30\text{ s}$, a espera na estação de conexão é de $50\text{ min } 40\text{ s}$ e o segundo trecho dura $2\text{ h } 15\text{ min } 50\text{ s}$.

1. a) Quanto tempo dura a viagem completa, desde o momento em que sobem no primeiro trem até descerem do segundo?

1. b) Se saíram de casa às $8:30$ da manhã e levaram $10$ minutos a pé até a primeira estação, a que horas chegaram ao destino final?

Em uma prova de contrarrelógio de ciclismo escolar, a largada de uma corredora é registrada às $10\text{ h } 15\text{ min } 30\text{ s}$ e a chegada dela à linha de chegada às $11\text{ h } 2\text{ min } 15\text{ s}$.

1. a) Quanto tempo levou para completar o percurso?

1. b) Se o vencedor da prova levou $42\text{ min } 10\text{ s}$, quanto tempo separa a nossa corredora do primeiro lugar?

Um corredor de maratona mantém um ritmo constante de $4\text{ minutos e } 15\text{ segundos}$ para cada quilômetro percorrido.

1. a) Quanto tempo total levará para completar uma corrida de $15\text{ km}$? Expresse o resultado em horas, minutos e segundos.
2. b) Se a corrida começou às $10:45\text{ h}$, a que horas cruzará a linha de chegada?

Um satélite de comunicações orbita a Terra e completa uma volta exata a cada $103\text{ minutos e } 24\text{ segundos}$. Se o satélite começou sua primeira órbita em uma segunda-feira às $08:15:00$, a que horas exatas, expressa em horas, minutos e segundos, terá completado sua décima primeira volta? Indique também se ainda será segunda-feira ou se terá mudado de dia.

Um relógio de parede adianta $18\text{ segundos}$ a cada $4\text{ horas}$. Se for acertado na hora exata no dia $1$ de março às $12:00$ do meio-dia, que horas marcará este relógio quando o tempo real for exatamente $12:00$ do meio-dia do dia $11$ de março? Dê a resposta em horas, minutos e segundos.

Uma patinadora completou uma maratona sobre rodas de $42$ km em $2\text{ h } 20\text{ min}$ exatos.

1. a) Qual foi o seu ritmo médio por quilômetro? Expresse-o em minutos e segundos.

1. b) Na próxima corrida quer melhorar sua marca mantendo um ritmo de $3\text{ min } 10\text{ s}$ por quilômetro. Em quanto tempo completaria a mesma distância? Expresse o resultado em horas e minutos.

De acordo com os registros do INMET para o dia do solstício de verão, na cidade de Porto Alegre o Sol nasce às $06:38$ e se põe às $21:57$. Nesse mesmo dia, em Fortaleza, o amanhecer ocorre às $06:55$ e o pôr do sol às $21:30$.\n\na) Modele a duração das horas de luz diurna de cada cidade por meio de uma subtração de tempos no sistema sexagesimal. Expresse a duração do dia de Porto Alegre e a de Fortaleza em horas e minutos.\n\nb) Quanto tempo a mais de luz solar direta tem Porto Alegre em relação a Fortaleza nesse dia? Realize a operação em forma complexa, indicando passo a passo como você lida com as unidades se precisar pedir emprestada uma hora.\n\nc) Expresse a duração do dia de Porto Alegre em forma incomplexa, em horas com duas casas decimais, e explique que vantagem prática tem utilizar a forma complexa ($h$ e $min$) na vida cotidiana.

Observe os quatro ângulos desenhados a seguir. Sem usar o transferidor, classifique-os em agudo, reto, obtuso ou raso. Depois, ordene-os da menor para a maior abertura.

Um designer gráfico está desenhando o logotipo de um novo aplicativo. O logotipo utiliza um ângulo principal de $125^\circ \ 40' \ 12''$.

1. a) O designer precisa dividir esse ângulo em três partes iguais para criar um efeito de leque. Quanto medirá cada um dos três ângulos resultantes?
2. b) Qual é o ângulo suplementar do ângulo original?

Em uma oficina de tecnologia precisam dividir um ângulo de $50^\circ$ em três setores iguais para construir um molde de corte. Dois estudantes propõem caminhos distintos para calcular quanto deve medir exatamente cada setor:\n\n- Método do Sergio (decimal): Divide diretamente $50$ por $3$ com a calculadora em graus decimais e depois tenta converter as décimas em minutos.\n- Método da Irene (sexagesimal): Realiza a divisão inteira $50^\circ : 3$, passa o resto de graus que sobra para minutos multiplicando por $60$, e reparte esses minutos por $3$.\n\na) Aplique o método do Sergio indicando que resultado decimal você obtém ao fazer $50 : 3$ e que inconveniente encontra ao tentar expressar a solução exata.\n\nb) Aplique o método da Irene passo a passo e obtenha a medida exata do ângulo em graus e minutos sexagesimais.\n\nc) Compare ambos os caminhos: qual é mais conveniente e preciso neste caso? Justifique a sua resposta relacionando-a com a razão histórica pela qual se escolheu a base 60 (a grande quantidade de divisores do número 60 em relação à base 10).

Calcule a medida do ângulo interno de um polígono regular de $9$ lados (eneágono). Expresse o resultado em forma complexa (graus, minutos e segundos). Lembre-se de que a soma dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados é calculada com a fórmula: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Dois ângulos são complementares se a soma deles é $90^\circ$. Calcule o ângulo que falta a cada um dos seguintes para ser complementar:

1. a) $\hat{A} = 35^\circ$
2. b) $\hat{B} = 52^\circ$ $30'$
3. c) $\hat{C} = 89^\circ$

Dois ângulos são suplementares se a soma deles é $180^\circ$. Calcule o ângulo suplementar de cada um dos seguintes:

1. a) $65^\circ$

1. b) $110^\circ$

1. c) $90^\circ$

1. d) $179^\circ$

1. e) $45,5^\circ$

Numa aula de Educação Artística, você está desenhando um esquadro unindo duas peças triangulares por um dos seus vértices. As peças têm dois ângulos agudos que medem $\alpha = 38^\circ\ 47'$ e $\beta = 51^\circ\ 24'$. O professor pergunta se, ao juntar ambos os ângulos em posição consecutiva, formarão um canto reto ($90^\circ$, ou seja, se são complementares).\n\na) Antes de fazer a soma com minutos sexagesimais, arredonde cada ângulo para o grau inteiro mais próximo e faça uma estimativa mental: parece que a soma estará exatamente em $90^\circ$, acima ou abaixo?\n\nb) Faça agora a soma exata dos dois ângulos no sistema sexagesimal.\n\nc) A partir do resultado exato, determine se são verdadeiramente complementares. Em caso negativo, calcule quanto falta ou quanto sobra para formar um ângulo reto de $90^\circ$ e avalie se a sua estimativa inicial foi acertada.

Lembre-se de que dois ângulos são complementares quando somam $90^\circ$. Na oficina de tecnologia, uma guia de corte forma um ângulo de $67^\circ \ 25' \ 40''$ com a borda da mesa. Para que o corte fique perpendicular à borda, deve-se colocar uma cunha cujo ângulo seja o complementar.

1. a) Calcule o ângulo da cunha expressando o resultado em graus, minutos e segundos.

1. b) Se a guia for ajustada depois para $45^\circ \ 30'$, qual seria então o ângulo da cunha?

No logotipo triangular de um clube de caminhada, dois dos ângulos do triângulo medem $45^\circ \ 30'$ e $72^\circ \ 45' \ 30''$.

1. a) Encontre a medida do terceiro ângulo expressando o resultado em graus, minutos e segundos.

1. b) Classifique o triângulo segundo seus ângulos (acutângulo, retângulo ou obtusângulo) e justifique sua resposta.

Observe a figura do logotipo, onde falta o valor do terceiro ângulo:

Queremos encontrar dois ângulos agudos, $\hat{A}$ e $\hat{B}$, expressos em forma complexa com graus, minutos e segundos (isto é, com a estrutura $g^\circ\ m'\ s''$, onde $m \neq 0$ e $s \neq 0$), que cumpram simultaneamente estas três condições:\n\n1. São ângulos complementares (a soma deles é exatamente $90^\circ$).\n2. Ambos os ângulos têm a mesma quantidade de segundos ($s_{\hat{A}} = s_{\hat{B}}$).\n3. A medida do ângulo $\hat{A}$ é maior do que o dobro da do ângulo $\hat{B}$ ($\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$).\n\na) Raciocine sobre por que, para que a soma total dê exatamente $00''$ sem que nenhum dos dois ângulos tenha $0''$, é matematicamente obrigatório que os segundos de ambos os ângulos sejam exatamente $30''$.\n\nb) Deduza quanto devem somar os minutos de ambos os ângulos ($m_{\hat{A}} + m_{\hat{B}}$) e quanto devem somar os graus deles ($g_{\hat{A}} + g_{\hat{B}}$), levando em conta o transporte entre ordens sexagesimais.\n\nc) Proponha um par de ângulos $\hat{A}$ e $\hat{B}$ que cumpra todas as condições e justifique detalhadamente, por meio de cálculos, que se verificam tanto a complementaridade como a condição $\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$.

A sua amiga Aisha foi fazer intercâmbio em Tóquio. No verão, em Tóquio são $7$ horas a mais do que na Espanha peninsular (quando lá na Espanha são $12:00$, em Tóquio são $19:00$).

1. a) Se na Espanha são $18:30$, que horas são em Tóquio? Leve em consideração que já pode ser o dia seguinte.

1. b) Aisha só pode conversar por videochamada antes de ir dormir, às $22:15$ no horário japonês. A que horas, no horário espanhol, é preciso se conectar?

1. c) Um canal de música transmite um show ao vivo de Tóquio que começa às $9:00$ no horário japonês e dura $1\text{ h } 45\text{ min}$. A que horas, no horário espanhol, termina a transmissão?

A Terra completa uma rotação em torno do seu próprio eixo de $360^\circ$ a cada $24\text{ horas}$. Graças a esse movimento de rotação, existe uma relação direta entre as medidas angulares de longitude geográfica e as unidades de tempo do sistema sexagesimal.\n\na) Deduza a quantos graus de rotação terrestre equivale $1\text{ hora}$ de tempo e demonstre que a rotação de apenas um grau ($1^\circ$) equivale exatamente a $4\text{ minutos}$ de tempo. Em seguida, calcule a quantos segundos de tempo equivale a rotação de um minuto de arco angular ($1'$).\n\nb) Na Espanha peninsular, a cidade de Castelló de la Plana situa-se aproximadamente a uma longitude de $0^\circ\ 04'\text{ E}$ (a leste do meridiano de Greenwich), enquanto A Coruña se encontra a $8^\circ\ 24'\text{ O}$ (a oeste do meridiano de Greenwich). Calcule a separação angular total entre as duas cidades somando suas distâncias ao meridiano zero.\n\nc) Com as equivalências obtidas no item a), calcule a diferença exata em tempo solar (em minutos e segundos) que existe entre as duas cidades. Se em Castelló de la Plana o meio-dia solar (o instante em que o Sol está no ponto mais alto do céu) ocorre às $13:42:00$ de relógio, deduza a que hora solar de relógio ocorrerá em A Coruña, tendo em conta que a Terra gira de oeste para leste.

Desafio do tema. Elabore um relatório de «Auditoria hídrica doméstica» para otimizar o consumo de água na sua casa.

1. Espaço e tempo: Meça com uma fita métrica o comprimento e a largura da base do seu box de chuveiro em $\text{cm}$ e calcule a sua área em $\text{m}^2$. Depois, cronometre um banho habitual anotando a duração exata em minutos e segundos usando o sistema sexagesimal (por exemplo, $4\text{ min } 35\text{ s}$) e converta-a para segundos.

2. Capacidade e massa: Coloque uma garrafa de $1,5\text{ l}$ debaixo da torneira; se demorar $10\text{ s}$ para encher completamente, estime a vazão em $\text{l/s}$. Calcule os litros gastos no seu banho e a massa dessa água em $\text{kg}$ sabendo que $1\text{ l} = 1\text{ kg}$.

3. Monômios e planilha: Se cada minuto de banho consome uma vazão fixa $c$, expresse o consumo como o monômio $c \cdot t$. Modele o consumo diário familiar somando os monômios semelhantes do tempo de cada membro (exemplo: $3c + 5c + 4c = 12c$). Passe os dados para uma planilha para projetar o volume mensal em $\text{m}^3$ e a sua massa em toneladas.

Entregue um relatório breve com uma proposta fundamentada para reduzir o consumo familiar em pelo menos $15\,\%$.

Será valorizado:

• Precisão na conversão de unidades de comprimento, área, capacidade e massa.

• Tratamento correto do sistema sexagesimal na medição do tempo.

• Expressão e soma adequada dos monômios para modelar o consumo.

• Coerência e rigor da proposta final a partir dos dados obtidos.