Operações com números decimais

Em uma loja de acessórios para celulares, Lucas quer comprar uma capinha que custa $12,45$ reais e uma película protetora de tela que vale $8,90$ reais. Se Lucas pagar com uma nota de $50$ reais, quanto dinheiro vão devolver a ele no caixa?

Copie e complete as seguintes igualdades colocando o número decimal que falta para que a operação esteja correta:

1. a) $15,45 + \dots = 20$
2. b) $7,2 - \dots = 4,55$
3. c) $\dots \cdot 3 = 12,9$

A Sofia tem uma ripa de madeira de $14,2\text{ m}$ e precisa cortar um pedaço de $3,75\text{ m}$ para construir uma estante. Para calcular quanta madeira sobra, ela arma a subtração $14,2 - 3,75$ na vertical e afirma que o resultado é $11,55\text{ m}$, justificando da seguinte maneira: «na coluna dos centésimos, como em cima não há nada, baixo diretamente o $5$; nos décimos subtraio o algarismo maior menos o menor, $7 - 2 = 5$; e nas unidades subtraio $14 - 3 = 11$».

1. a) Identifique e explique os dois erros conceituais cometidos pela Sofia relacionados ao valor posicional dos algarismos e à operação de subtrair.
2. b) Explique por que é imprescindível acrescentar zeros à direita da parte decimal do minuendo antes de operar.
3. c) Arme corretamente a operação em coluna e calcule o comprimento exato de ripa que resta para a Sofia.

Três amigos decidem lanchar juntos. Compram um pacote de refrigerantes por $4,85$ reais, um saco de batatas fritas de tamanho família que custa $2,30$ reais e uma caixa de bolinhos por $5,45$ reais. Se pagarem com uma nota de $20$ reais, quanto dinheiro sobrou para comprarem balas na saída?

Vocês vão à mercearia do seu bairro com uma única nota de $\text{R\$}\ 15$ e colocam na cesta os seguintes artigos:

• $1$ pacote de café por $\text{R\$}\ 3,95$,

• $2$ pacotes de leite a $\text{R\$}\ 1,05$ cada um,

• $1$ pão artesanal por $\text{R\$}\ 0,98$ e

• $3$ pacotes de biscoitos a $\text{R\$}\ 1,99$ cada um.

1. a) Antes de fazer qualquer conta escrita com decimais, faça uma estimativa mental arredondando o preço de cada artigo para a unidade inteira de reais mais próxima. Com essa estimativa, avalie se você terá dinheiro suficiente com a nota de $\text{R\$}\ 15$ para pagar a compra.
2. b) Efetue agora as operações exatas em coluna, passo a passo, para calcular o valor total registrado no caixa.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial foi acertada, calcule quanto dinheiro exato sobra ou falta e reflita sobre em que situações do cotidiano é útil estimar antes de calcular.

Calcule mentalmente estas operações utilizando a unidade seguida de zeros. Lembre-se de deslocar a vírgula para o lado correto conforme se multiplique ou se divida:

1. a) $34,57 \cdot 10$
2. b) $0,23 \cdot 100$
3. c) $458,2 : 10$
4. d) $12,5 : 1000$

Marta foi à quitanda e comprou $2,5$ kg de maçãs a um preço de $1,80$ reais o quilo. Ao chegar em casa, percebeu que uma das maçãs estava estragada e decidiu devolvê-la. Se a maçã pesava $0,25$ kg, quanto dinheiro devem devolver a Marta?

Uma atleta está treinando em uma pista circular. Cada volta na pista tem um comprimento de $0,45$ km. Se hoje ela completou um total de $12$ voltas, quantos quilômetros percorreu no total? Se o seu objetivo era percorrer $6,3$ km, quantas voltas a mais ela deveria ter dado?

Em uma oferta de "Volta às Aulas", um pacote de $5$ cadernos custa $8,25$ reais, enquanto se forem comprados avulsos, cada um custa $1,80$ reais.

Qual é a economia total se decidirmos comprar $15$ cadernos utilizando a oferta dos pacotes em vez de comprá-los separadamente?

Para fazer uma receita de culinária, precisamos dividir um pacote de farinha de $1,5$ kg em $6$ porções exatamente iguais para fazer muffins. Quantos quilogramas de farinha cada porção terá? Expresse o resultado também em gramas.

Um grupo de $4$ amigos vai ao cinema. O total dos ingressos e da pipoca foi de $45,80$ reais. Se todos decidiram pagar a mesma quantia, quanto dinheiro cada um deve colocar? Se um deles tem apenas uma nota de $10$ reais e uma moeda de $2$ reais, terá dinheiro suficiente?

Uma bobina de filamento para uma impressora 3D pesa exatamente $1,25$ kg. Se para fabricar uma peça pequena são utilizados $0,015$ kg de plástico, quantas peças completas podem ser fabricadas com uma única bobina? Que quantidade de filamento sobrará no final?

Um corredor de maratona completou uma etapa de $15,6$ km em uma hora e meia ($1,5$ horas).

1. a) Qual foi a sua velocidade média em km/h?
2. b) Se mantiver a mesma velocidade, quantos quilômetros percorrerá em $2,25$ horas?

Realize as seguintes operações combinadas respeitando a hierarquia das operações (parênteses, multiplicações/divisões e finalmente somas/subtrações):

1. a) $4,5 + 2,1 \cdot 3$
2. b) $(12,8 - 3,4) : 2$
3. c) $5 \cdot 0,25 + 1,75$

Valentina quer baixar três arquivos de jogos em seu console. O primeiro ocupa $4,35$ GB, o segundo o dobro do primeiro, e o terceiro $1,2$ GB a menos que o segundo. Se a sua conexão baixa a uma velocidade constante de $0,05$ GB por segundo, quantos segundos demorará para concluir o download dos três arquivos?

Calcule o resultado das seguintes operações combinadas respeitando a hierarquia das operações:

1. a) $12,5 + 3,8 \cdot (6,4 - 2,15)$

1. b) $(15,4 + 8,6) : 2,5 - 1,02 \cdot 4$

Uma prefeitura quer cercar um parque retangular que mede $25,4$ metros de comprimento e $12,75$ metros de largura. O preço da cerca é de $15,20$ reais por metro linear. Se o orçamento total disponível é de $1.200$ reais, há dinheiro suficiente para cercar todo o parque? Justifique a sua resposta com os cálculos necessários.

Uma empresa de entregas cobra uma taxa fixa de $4,50$ reais por envio, mais $0,85$ reais por cada quilograma de peso do pacote. Se quisermos enviar um pacote que pesa $3,4$ kg e aplicarmos um cupom de desconto de $1,25$ reais sobre o preço final, quanto nos custará o envio? Escreva a expressão com operações combinadas e resolva-a.

No cupom fiscal de uma frutaria, uma parte se apagou por causa de uma mancha de umidade. Os únicos dados legíveis com clareza são os seguintes:

• Maçãs: $3,5\text{ kg}$ a um preço desconhecido por quilograma.

• Bananas: $1,2\text{ kg}$ a $1,85\text{ \text{R\$}\ /kg}$.

• Pagamento entregue no caixa: uma nota de $\text{R\$}\ 20$.

• Troco exato recebido: $\text{R\$}\ 11,48$.

1. a) Utilize o método das operações inversas: calcule primeiro o gasto total da compra e, subtraindo o valor correspondente às bananas, determine quanto dinheiro as maçãs custaram no total.
2. b) A partir do custo total das maçãs, monte e resolva a divisão com decimais necessária para descobrir o preço exato de um quilograma de maçãs.
3. c) Reconstrua a conta completa no sentido direto para verificar se todas as operações e o troco recebido estão corretos.

Numa estação meteorológica do INMET situada na região de Barreirinhas (Maranhão), registraram-se os seguintes dados de precipitação durante quatro dias consecutivos:

• Segunda-feira: recolheram-se $16,5\text{ l/m}^2$.

• Terça-feira: choveu $4,2\text{ l/m}^2$ menos do que na segunda-feira.

• Quarta-feira: a chuva foi igual a $1,2$ vezes a quantidade registrada na terça-feira mais uma contribuição de tempestade de $0,84\text{ l/m}^2$.

• Quinta-feira: registrou-se exatamente a média aritmética do que choveu nos três dias anteriores.

1. a) Modele a situação expressando e calculando passo a passo a quantidade exata de chuva recolhida em cada um dos quatro dias (mostre com clareza a colocação da vírgula decimal em cada cálculo).
2. b) Calcule a precipitação total acumulada ao longo dos quatro dias.
3. c) Se cada litro por metro quadrado registrado nessa bacia hidrográfica contribui com um volume direto de $10\,000\text{ m}^3$ de água para um reservatório próximo, calcule quantos metros cúbicos de água entraram no total no reservatório durante esses quatro dias, aplicando a regra para multiplicar por potências de $10$.

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, respeitando rigorosamente a hierarquia das operações e trabalhando com todos os decimais obtidos:

Uma vez obtido o resultado final, aproxime-o por arredondamento aos centésimos e por truncamento aos décimos.

Em uma loja de tecnologia, um jogo custa $\text{R\$}\ 59,95$. Durante a semana da "Black Friday", oferecem um desconto de uma quarta parte do seu valor. Se um adolescente decide comprá-lo e entrega uma nota de $\text{R\$}\ 50$, calcule:

1. a) O preço final do jogo após aplicar o desconto (arredonde para os centavos de reais, se necessário).
2. b) Ele terá dinheiro suficiente? Se faltar, indique quanto. Se sobrar, indique o troco exato que receberá.

Um agricultor tem um reservatório de água com capacidade total de $1\,250,5$ litros. Devido a uma pequena fissura, o reservatório perde $0,75$ litros a cada hora. Simultaneamente, uma bomba de água despeja no reservatório $12,4$ litros a cada $15$ minutos. Se neste momento o reservatório contém $840,25$ litros:

Quantos litros haverá no reservatório exatamente após $4$ horas e meia? Expresse o resultado com duas casas decimais.

Observe o retângulo da figura, de base $b = 12,45 \text{ cm}$ e altura $h = 8,2 \text{ cm}$.

Calcule a sua área e o seu perímetro. Depois, imagine que reduzimos tanto a base quanto a altura pela metade. Qual será a nova área? A área resultante é a metade da original ou mudou de outra forma? Justifique a sua resposta realizando as operações necessárias.

Três amigos querem comprar uma assinatura de uma plataforma de streaming que custa $\text{R\$}\ 17,99$ por mês. Decidem dividir a despesa da seguinte forma: Lucas pagará a metade, Marta pagará um terço do restante e Ana pagará o que faltar.

Calcule a quantia exata (com todas as suas casas decimais) que cada um deve contribuir. Se o banco só permite pagar com duas casas decimais, quem deveria assumir o arredondamento do centavo restante para que a soma seja exatamente $\text{R\$}\ 17,99$?

Um carro de Fórmula 1 demorou $1 \text{ minuto}$ e $24,352 \text{ segundos}$ para dar uma volta no circuito. Se o principal rival dele demorou $84,12 \text{ segundos}$ para realizar o mesmo percurso:

1. a) Qual dos dois foi mais rápido?
2. b) Calcule a diferença de tempo entre os dois, expressa em segundos.
3. c) Se o primeiro carro mantiver o ritmo dele, quanto tempo demorará para dar $15$ voltas completas? Expresse o resultado em minutos e segundos.

Estamos preparando uma receita que requer $0,250 \text{ kg}$ de farinha para fazer $6$ muffins. Se quisermos convidar toda a turma ($28$ alunos) e quisermos que cada um coma $2$ muffins:

1. a) Quanta farinha precisaremos no total? Expresse o resultado em quilogramas.
2. b) Se comprarmos pacotes de farinha de $0,75 \text{ kg}$, quantos pacotes teremos que comprar no mínimo? Quanta farinha nos sobrará exatamente?

A tarifa de celular do Alex tem uma taxa fixa de $\text{R\$}\ 22,50$ por mês. Se ultrapassar os gigas incluídos, cada GB extra custa $\text{R\$}\ 0,50$, e cada minuto de chamada internacional custa $\text{R\$}\ 0,12$. Este mês ele realizou $45$ minutos de chamadas internacionais e o custo dos GB extra foi exatamente a quinta parte da taxa fixa:

1. a) Quantos GB extras ele consumiu?
2. b) Qual é o valor total da fatura antes dos impostos?
3. c) Se ao total for preciso adicionar $21\%$ de imposto (multiplicar por $0,21$ e somar ao total), qual será o preço final da fatura? (Arredonde o resultado final para os centavos de reais).

Para uma instalação de telecomunicações em uma escola, dispõe-se de uma bobina de cabo de rede de $45\text{ m}$ de comprimento. Devem ser cortados trechos idênticos de $0,75\text{ m}$ e cada trecho será faturado a um preço de $\text{R\$}\ 2,40$. Dois estudantes propõem métodos diferentes para calcular o dinheiro total que será obtido:

• Método da Alba: Trabalha diretamente em metros e reais com decimais. Primeiro divide $45 : 0,75$ aplicando a regra de multiplicar dividendo e divisor por $100$ ($4500 : 75$) para que o divisor seja inteiro, e depois multiplica o quociente por $2,40$.

• Método do Bruno: Converte previamente todas as quantidades em números inteiros mudando de unidade: passa os $45\text{ m}$ para centímetros ($4500\text{ cm}$), os $0,75\text{ m}$ para centímetros ($75\text{ cm}$) e o preço unitário para centavos ($240\text{ cêntimos}$). Resolve as operações com inteiros e no final passa o resultado para reais dividindo por $100$.

1. a) Desenvolva por completo ambos os métodos e comprove que com os dois se chega exatamente ao mesmo valor total.
2. b) Justifique matematicamente por que a regra de «retirar as casas decimais do divisor multiplicando por potências de $10$» equivale, no fundo, à mudança de unidades feita pelo Bruno.
3. c) Suponha agora que os trechos necessários deveriam medir $0,7\text{ m}$. Ao fazer a divisão inteira equivalente $450 : 7$, obtém-se quociente $64$ e resto $2$. Explique de forma fundamentada qual é o comprimento real de cabo que sobra da bobina ($2\text{ m}$, $0,2\text{ m}$ ou $0,02\text{ m}$) e que cuidado você deve ter sempre ao interpretar o resto de uma divisão com decimais.

Na fatura mensal de eletricidade de uma residência na Espanha, detalham-se os seguintes conceitos regulados:

• Termo fixo de potência: cobram-se $\text{R\$}\ 0,115$ por dia por cada quilowatt ($\text{kW}$) contratado. A residência tem contratados $4,6\text{ kW}$ e o período faturado é de $30\text{ dias}$.

• Termo de consumo de energia: cobra-se a um preço de $\text{R\$}\ 0,148$ por cada quilowatt-hora ($\text{kWh}$) consumido.

• Imposto especial sobre a eletricidade: calcula-se multiplicando o subtotal (a soma do termo de potência com o termo de consumo) pelo fator decimal $0,0511$.

1. a) Modele a fatura calculando o custo exato do termo fixo de potência para os $30$ dias, realizando as multiplicações com todas as suas casas decimais.
2. b) Se o subtotal da fatura desse mês (antes de aplicar o imposto sobre a eletricidade) foi exatamente de $\text{R\$}\ 60,27$, formule e resolva as operações inversas necessárias para deduzir quantos $\text{kWh}$ a família consumiu nesse período.
3. c) Calcule o montante do imposto sobre a eletricidade, arredondando o resultado final aos centavos de reais (duas casas decimais). Em seguida, justifique por que motivo as comercializadoras de eletricidade fixam os preços unitários com três ou mais casas decimais (milésimos de reais, como $\text{R\$}\ 0,148$) em vez de arredondá-los desde o início aos centavos ($\text{R\$}\ 0,15$).