Números primos e decomposição em fatores primos

Na aula de Educação Física, o professor quer organizar os $13$ alunos em filas e colunas perfeitas para fazer um exercício (por exemplo, $2$ filas de $6$ pessoas).

1. a) Por que ele não pode fazer isso com $13$ alunos de nenhuma outra forma a não ser uma única fila de $13$?
2. b) Que tipo de número é o $13$ de acordo com os seus divisores?

Classifique os seguintes números na tabela conforme sejam primos (têm apenas dois divisores: o $1$ e eles mesmos) ou compostos (têm mais de dois divisores):

$11, 14, 19, 21, 23, 27, 31, 33$

A Sofia quer averiguar se o número $91$ é primo. Para verificar isso, ela aplica os critérios de divisibilidade mais comuns: observa que não é par (logo não é divisível por $2$), que seus algarismos somam $9 + 1 = 10$, que não é múltiplo de $3$ (logo não é divisível por $3$), e que não termina nem em $0$ nem em $5$ (logo não é divisível por $5$). Com esses dados, a Sofia conclui em seu caderno: «Como não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, o 91 é um número primo».

1. a) Localize e explique o erro de raciocínio que a Sofia cometeu segundo a regra para determinar se um número é primo.
2. b) Indique que verificação faltou à Sofia realizar antes de dar a sua resposta e justifique por que era imprescindível fazê-la.
3. c) Corrija o exercício: determine se o número $91$ é primo ou composto e, se for composto, escreva a sua decomposição em fatores primos.

Em uma convenção de colecionadores de cartas, os estandes foram numerados do $10$ ao $25$. Os organizadores querem destacar os estandes que têm um número primo com um cartaz laranja. Escreva a lista de todos os números de estande que deveriam levar o cartaz laranja.

O Crivo de Eratóstenes funciona como um filtro que deixa passar apenas os números primos. Se despejarmos os números de $1$ a $10$ no filtro, explique por que o número $1$ não é considerado primo e por que o número $9$ fica preso no filtro dos números compostos.

Você quer verificar se o número $173$ é primo ou composto sem realizar divisões desnecessárias.

1. a) Estime o valor de $\sqrt{173}$ indicando entre quais dois números inteiros consecutivos ele se encontra (dica: pense nos quadrados perfeitos mais próximos de $173$).
2. b) A partir da sua estimativa, escreva a lista completa e ordenada dos números primos pelos quais é estritamente necessário verificar a divisibilidade. Quantas divisões você terá de fazer no máximo?
3. c) Realize as divisões necessárias e determine se $173$ é primo ou composto. Justifique por que você pode parar o processo sem precisar testar com números primos maiores.

Classifique os seguintes números em primos ou compostos, justificando a sua resposta por meio dos critérios de divisibilidade. Para os números compostos, indique pelo menos um divisor diferente de $1$ e dele próprio:

$47, 51, 67, 87, 91, 101$

Em uma aula de matemática, o professor diz que, para saber se um número menor que $100$ é primo, basta verificar que não é divisível por $2, 3, 5$ e $7$.

Justifique por que não é necessário verificar se é divisível por $11$ ou por outros números primos maiores. Aplique essa ideia para verificar se o número $97$ é primo.

Dois colegas de turma, o Hugo e a Valéria, discutem sobre a forma mais rápida e segura de averiguar se o número $221$ é primo ou composto:

• Método do Hugo: propõe verificar um a um todos os números ímpares desde o $3$ até o $110$ (cerca de metade de $221$).

• Método da Valéria: calcula mentalmente que $\sqrt{221} \approx 14{,}8$ e afirma que só é necessário tentar dividir $221$ pelos números primos menores ou iguais a $14$ (ou seja: $2, 3, 5, 7, 11$ e $13$).

1. a) Compare ambos os métodos: quantas divisões teria de realizar o Hugo em comparação com as que a Valéria precisa? Explique por que a Valéria descarta com razão os números compostos como o $9$.
2. b) Explique o fundamento matemático do método da Valéria: por que é impossível que $221$ tenha um divisor maior do que $14$ se não se encontrar nenhum divisor menor do que $14$?
3. c) Aplique o método da Valéria para classificar o número $221$ em primo ou composto.

Numa prova de cross-country dos Jogos Escolares de um estado participam $119$ atletas da categoria infantil. A organização quer dividir os atletas em baterias classificatórias iguais, de modo que em cada bateria compita o mesmo número de corredores, com mais de $1$ corredor por bateria e sem que haja uma única bateria com todos os participantes.

O árbitro principal garante que é impossível fazer grupos iguais porque «o número 119 não é par nem termina em 0 ou 5, por isso com certeza é primo».

1. a) Modele a situação por meio da divisibilidade: traduza a afirmação do árbitro e a necessidade da organização em uma condição sobre os divisores de $119$.
2. b) Aplique o critério de verificação de números primos (delimitando $\sqrt{119}$) para demonstrar se o árbitro tem razão ou se está enganado.
3. c) Se for possível organizar as baterias, indique todas as formas distintas de agrupar os atletas, detalhando o número de baterias e a quantidade de corredores por bateria.

Para verificar se o número $601$ é primo, um estudante afirma que só precisa dividi-lo pelos números primos menores que $25$.

1. a) Justifique por que o estudante escolheu o número $25$ como limite.
2. b) Realize as divisões necessárias seguindo o seu raciocínio e determine se $601$ é primo ou composto.
3. c) Qual é o maior número primo que seria necessário testar para saber se $1009$ é primo?

Observe a seguinte "torre de divisão" (decomposição em fatores primos) e identifique os números que faltam nos espaços em branco para que esteja correta:

Decomponha em fatores primos o número $40$ utilizando o método da barra vertical e expresse o resultado como um produto de potências.

Descubra de qual número se trata em cada caso resolvendo as potências e multiplicando os fatores:

1. a) $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = $
2. b) $2 \cdot 3^3 = $
3. c) $3^2 \cdot 11 = $

O número $12$ pode ser representado de forma retangular de várias maneiras (por exemplo, $2 \times 6$ ou $3 \times 4$). No entanto, um número primo só pode formar uma fila.

Observe o desenho e faça a decomposição em fatores primos do número total de pontos que formam o retângulo:

Faça a decomposição em fatores primos (fatoração) dos seguintes números utilizando o método da barra vertical. Expresse o resultado final utilizando potências quando possível:

1. a) $180$
2. b) $252$
3. c) $450$

Preencha os espaços em branco nesta árvore de fatores do número $120$. Lembre-se de que cada ramo deve terminar em um número primo para que a decomposição esteja completa. Escreva depois o resultado final usando potências.

Às vezes, para decompor números terminados em zero, podemos usar "atalhos" mentais. Por exemplo, sabemos que $10 = 2 \cdot 5$, de modo que cada zero final contribui com um fator $2$ e um fator $5$.

Fatore os seguintes números utilizando este truque para economizar passos na linha vertical (você pode retirar de uma só vez cada zero final, anotando $2 \cdot 5$ à direita):

1. a) $1.200$
2. b) $4.500$
3. c) $18.000$

No laboratório de matemática, deixaram uma decomposição em fatores primos incompleta no quadro. Ajude a reconstruí-la sabendo que o número original é menor que $500$.

Calcule o valor do número original $X$, o quociente intermediário $Y$ e o fator primo $P$ sabendo que $P$ é o menor número primo possível que faz com que $X$ seja múltiplo de $3$.

A área de um jardim retangular é de $252$ $m^2$. Se sabemos que as medidas de seus lados (em metros) são números naturais e que o lado mais longo é múltiplo de $3$ e de $7$, mas não de $2$, utilize a decomposição em fatores primos do número $252$ para encontrar todas as possíveis dimensões do jardim.

Encontre todos os divisores do número $N$ sabendo que a sua decomposição em fatores primos é $N = 2^2 \cdot 13$. O número $N$ é composto ou primo? Justifique a sua resposta com base na definição desses tipos de números.

Encontre todos os divisores dos seguintes números utilizando a decomposição deles em fatores primos. Mostre o processo de combinação de fatores:

1. a) $28$
2. b) $42$

Larissa tem uma coleção de moedas antigas. Se ela as agrupa de $6$ em $6$, sobram $3$. Se ela as agrupa de $10$ em $10$, também sobram $3$.

Sabendo que ela tem mais de $50$ moedas, mas menos de $80$, quantas moedas Larissa tem exatamente em sua coleção? (Dica: relacione o problema com o conceito de mínimo múltiplo comum).

Um número natural $N$ tem a seguinte particularidade: sua decomposição em fatores primos é da forma $2^a \cdot 3^b$. Sabemos que se multiplicarmos $N$ por $2$, o número de seus divisores aumenta em $3$, e se o multiplicarmos por $3$, o número de seus divisores aumenta em $4$.

Calcule o valor dos expoentes $a$ e $b$ e encontre o número $N$.

Um número "perfeito" é aquele que é igual à soma de todos os seus divisores próprios (todos os seus divisores exceto ele mesmo). Por exemplo, o $6$ é perfeito porque os seus divisores próprios são $1, 2$ e $3$, e $1 + 2 + 3 = 6$.

1. a) Verifique se o número $28$ é um número perfeito.

1. b) O próximo número perfeito é maior que $400$ e menor que $500$. Sabendo que é múltiplo de $16$ e de $31$, utilize a decomposição em fatores para encontrá-lo.

Em cibersegurança, são utilizados números primos muito grandes para criar chaves. Suponha que uma chave de segurança é gerada multiplicando dois números primos distintos, $p$ e $q$. O resultado é $N = p \cdot q$.

Se sabemos que $N = 1591$ e que um dos números primos é próximo da raiz quadrada de $N$:

1. a) Encontre os valores de $p$ e $q$.
2. b) Quantos divisores no total tem o número $N$? Justifique sua resposta sem listá-los.

Encontre o menor número que tem exatamente $6$ divisores, sabendo que na sua decomposição em fatores primos aparecem apenas os dois primeiros números primos. Explique o seu raciocínio analisando os expoentes da sua decomposição.

Dados os números $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$ e $B = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7$.

Sem calcular o valor numérico de $A$ nem de $B$, responda justificadamente:

1. a) O produto $A \cdot B$ é divisível por $55$?
2. b) O produto $A \cdot B$ é um múltiplo de $54$?
3. c) Qual é a decomposição em fatores primos do número que resulta de calcular $M.C.D.(A, B)$?

Procuramos um número natural desconhecido $N$ que cumpre simultaneamente três condições:

1. A sua decomposição fatorial contém apenas os dois menores números primos ímpares.

2. Tem exatamente $6$ divisores positivos distintos.

3. É estritamente menor que $100$ ($N < 100$).

1. a) Deduza algebricamente quais formas possíveis pode ter a decomposição fatorial de qualquer número que tenha exatamente $6$ divisores e apenas dois fatores primos distintos $p$ e $q$. Lembre-se de que, se um número se decompõe como $p^a \cdot q^b$, o seu número total de divisores é $(a + 1) \cdot (b + 1)$.
2. b) Identifique quais são os dois fatores primos concretos $p$ e $q$ do nosso problema.
3. c) Encontre todos os números naturais $N$ que cumprem todas as condições dadas. Para cada solução que encontrar, verifique o resultado escrevendo a lista ordenada de todos os seus divisores.

O responsável pela segurança de um centro comunitário programa o código numérico de três algarismos $C$ do almoxarifado de material esportivo. Para que seja fácil de lembrar por meio de dedução matemática, o código foi criado com as seguintes pistas:

1. O código $C$ é o produto de três números primos consecutivos: $C = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3$ (ordenados do menor para o maior).

2. A soma desses três números primos consecutivos é exatamente $23$, ou seja, $p_1 + p_2 + p_3 = 23$.

3. Se ao número do código somarmos $5$ unidades, o novo número obtido ($C + 5$) é divisível simultaneamente por $2$, por $3$ e por $5$, mas não é divisível por $9$.

1. a) Proponha uma pesquisa ordenada entre os números primos para encontrar $p_1$, $p_2$ e $p_3$. A partir deles, calcule o valor numérico do código $C$.
2. b) Verifique que o valor obtido para $C$ cumpre rigorosamente a terceira pista, analisando o número $C + 5$ por meio de critérios de divisibilidade (sem fazer divisões longas).
3. c) Justifique, a partir dos expoentes da decomposição em fatores primos de $C$, quantos divisores o código tem no total. Trata-se de um número primo ou composto?