Perímetros e áreas de polígonos

Calcule mentalmente:

1. a) O perímetro e a área de um quadrado de $9$ cm de lado.
2. b) O perímetro de um losango cujo lado mede $6,5$ m.
3. c) A área de um retângulo de $8$ m de base e $6$ m de altura.

Para delimitar uma zona retangular de jogos no pátio da escola, dispõe-se de um rolo completo de fita sinalizadora de $24\text{ m}$, sem cortar nem desperdiçar nada (isto é, o perímetro da zona deve ser exatamente de $24\text{ m}$). As dimensões dos lados devem ser números inteiros de metros.

1. a) Escreva todas as combinações possíveis de base e altura (valores inteiros) que este retângulo pode ter.
2. b) Calcule a área de cada um dos retângulos obtidos no item anterior.
3. c) Se o objetivo é que os alunos disponham do maior espaço possível para brincar dentro do recinto delimitado, qual das opções você deve escolher? Que nome específico recebe esse retângulo?

Calcule o perímetro e a área do retângulo da figura, de $12$ cm de base e $7$ cm de altura.

Um painel publicitário retangular tem uma área de $48\ \text{m}^2$ e a sua base mede $8$ m.

1. a) Quanto mede a sua altura?
2. b) Qual é o seu perímetro?
3. c) Se o painel tivesse a mesma área, mas forma quadrada, seria possível? Justifique a sua resposta.

Um campo de futebol mede $105$ m de comprimento e $68$ m de largura.

1. a) Calcule a sua área em $\text{m}^2$.
2. b) Expresse a área em hectares. Lembre-se de que $1\ \text{ha} = 10.000\ \text{m}^2$.
3. c) Quantos campos de futebol como este caberiam, aproximadamente, em um parque natural de $1\ \text{km}^2$?

Um condomínio quer cercar e plantar grama em um terreno retangular de $45$ m de comprimento e $28$ m de largura.

1. a) Quantos metros de cerca são necessários se for deixada uma entrada de $3$ m sem cercar?
2. b) Se a cerca custa $\text{R\$}\ 12,50$ o metro instalada, qual é o orçamento para fechar o terreno?
3. c) A grama é vendida em rolos de $5\ \text{m}^2$ a $\text{R\$}\ 18,95$ o rolo. Quantos rolos é preciso comprar e quanto custarão?

Deseja-se colocar um piso novo em uma varanda retangular de $6$ m de comprimento e $4$ m de largura usando ladrilhos quadrados de $40$ cm de lado, sem cortar nenhum.

1. a) Quantos ladrilhos cabem no comprimento e na largura? Quantos ladrilhos são necessários no total?
2. b) Os ladrilhos são vendidos em caixas de $12$ unidades a $\text{R\$}\ 18,95$ a caixa. Quantas caixas é preciso comprar? Quanto custará o piso?
3. c) Qual é a área de um ladrilho, em $\text{cm}^2$? Verifique se a área total dos ladrilhos usados coincide com a área da varanda (expresse ambas em $\text{m}^2$).

Calcule a área do triângulo da figura, de base $10$ m e altura $6$ m.

Um painel publicitário com forma triangular tem uma base de $4$ m e uma altura de $3$ m.

1. a) Qual é a sua área?
2. b) Se o painel for impresso dos dois lados, que superfície total deve ser impressa?

Para calcular a área de um triângulo de base $12$ cm e altura $7$ cm, um aluno fez $12 \cdot 7 = 84$ e respondeu: «a área é $84\ \text{cm}^2$».

1. a) Explique qual erro ele cometeu.
2. b) Calcule a área correta.
3. c) O mesmo aluno calcula a área de um losango de diagonais $10$ cm e $6$ cm e obtém $60\ \text{cm}^2$. Ele comete novamente o mesmo erro? Corrija-o.

A Lucía quer calcular a área de um paralelogramo de cartolina para um projeto de Educação Artística. Mede com a sua régua e anota: base $b = 12\text{ cm}$, lado inclinado $c = 7\text{ cm}$ e altura perpendicular à base $h = 5\text{ cm}$. No caderno, escreve:

«$A = b \cdot c = 12 \cdot 7 = 84\text{ cm}^2$».

1. a) Explique com clareza qual é o erro cometido pela Lucía e por que motivo, geometricamente, não faz sentido multiplicar a base pelo lado inclinado para calcular a superfície.
2. b) Calcule a área correta do paralelogramo e o seu perímetro.
3. c) Que figura geométrica com lados de $12\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$ teria uma área de exatamente $84\text{ cm}^2$? Justifique a sua resposta.

O paralelogramo da figura tem uma base de $9$ cm e uma altura de $5$ cm.

1. a) Calcule a sua área.
2. b) Se o lado inclinado do paralelogramo mede $6$ cm, calcule também o seu perímetro.

Calcule a área do trapézio da figura, cujas bases medem $14$ m e $8$ m e a altura $6$ m.

O tanque de uma piscina infantil em um complexo esportivo municipal tem a forma de um trapézio isósceles. A base maior mede $14,8\text{ m}$, a base menor mede $9,2\text{ m}$ e a distância perpendicular entre as duas bases (a altura) é de $6,1\text{ m}$. A prefeitura vai encomendar uma lona protetora sob medida para cobri-la no inverno.

1. a) Antes de efetuar cálculos com decimais, arredonde as três medidas para o metro mais próximo e faça uma estimativa mental da área da lona. Escreva a operação em que você pensou e o resultado estimado.
2. b) Calcule a área exata que a lona deve ter a partir das medidas reais do trapézio.
3. c) Verifique se a sua estimativa foi razoável calculando a diferença entre a área exata e a estimada. Se a lona custar $8,50\text{ \text{R\$}\ /m}^2$, quantos reais de diferença teria representado orçar a compra com a estimativa em vez de com o dado exato?

A área de um trapézio é $84\ \text{m}^2$, a sua altura mede $7$ m e a base maior $16$ m.

1. a) Substitua os dados na fórmula da área do trapézio, $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, e monte a equação correspondente.
2. b) Resolva a equação e calcule quanto mede a base menor.
3. c) Verifique o seu resultado confirmando que a área é igual a $84\ \text{m}^2$.

Calcule a área do losango da figura, cujas diagonais medem $16$ cm e $10$ cm.

As diagonais de um losango medem $20$ cm e $14$ cm.

1. a) Calcule a área do losango.
2. b) Se cortarmos o losango pelas duas diagonais, ele fica dividido em $4$ triângulos retângulos iguais. Quanto medem a base e a altura de cada um desses triângulos?
3. c) Calcule a área de um desses triângulos e verifique se as quatro áreas somam a área do losango.

No recreio de uma escola vai ser pintado um logotipo com a forma de um losango cujas diagonais medem $D = 8\text{ m}$ e $d = 6\text{ m}$. Dois alunos do 7º ano discutem sobre a melhor forma de calcular a sua superfície:

• O Marcos propõe: «Desenhamos um retângulo de $8\text{ m}$ de base por $6\text{ m}$ de altura que envolva o losango. A área dele é $8 \cdot 6 = 48\text{ m}^2$. Nos cantos ficam quatro triângulos retângulos iguais de base $4\text{ m}$ e altura $3\text{ m}$; se subtrairmos esses quatro triângulos do retângulo externo, obtemos a área do losango».

• A Sara propõe: «Podemos aplicar diretamente a fórmula $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$, porque o losango ocupa exatamente metade do retângulo que o contém».

1. a) Desenvolva por completo o procedimento do Marcos: calcule a área de um dos triângulos dos cantos, a soma dos quatro e a subtração final.
2. b) Aplique o método direto da Sara e verifique se os dois resultados coincidem.
3. c) Compare os dois métodos: qual é mais eficaz neste problema e por quê? Em que casos de figuras poligonais irregulares desenhadas sobre uma malha quadriculada se torna indispensável usar a estratégia do Marcos (envolver em um retângulo e subtrair os cantos que sobram)?

O hexágono regular da figura tem $6$ cm de lado e o seu apótema mede $5,2$ cm.

1. a) Calcule o seu perímetro.
2. b) Calcule a sua área usando a fórmula $A = \frac{P \cdot a}{2}$, onde $P$ é o perímetro e $a$ o apótema.

Uma associação de moradores de Salvador vai requalificar uma pracinha que tem a forma de um hexágono regular de $6\text{ m}$ de lado. As plantas da prefeitura indicam que o apótema deste polígono mede $5,2\text{ m}$. O projeto consiste em colocar uma borda de madeira em volta de todo o perímetro, a um preço de $\text{R\$}\ 4,20$ por cada metro linear, e cobrir todo o solo interno com grama rústica que custa $\text{R\$}\ 2,50$ por metro quadrado. Para a obra, eles dispõem de um apoio da prefeitura de $\text{R\$}\ 350$.

1. a) Modele a situação calculando os metros lineares de borda necessários e a superfície em metros quadrados que a grama ocupará.
2. b) Calcule o orçamento total necessário para a obra (borda mais grama).
3. c) Interprete o resultado obtido: o apoio da prefeitura de $\text{R\$}\ 350$ é suficiente para financiar o projeto? Se faltar ou sobrar dinheiro, indique a quantia exata.

Um criador de gado de Goiás dispõe de $120\text{ m}$ de cerca metálica para delimitar um cercado de descanso para as suas ovelhas e quer que tenha a máxima superfície possível. Ele hesita entre três desenhos, todos com um perímetro exato de $120\text{ m}$:

1. Um triângulo equilátero de $40\text{ m}$ de lado e cuja altura perpendicular mede $34,64\text{ m}$.

2. Um quadrado de $30\text{ m}$ de lado.

3. Um hexágono regular de $20\text{ m}$ de lado e cujo apótema mede $17,32\text{ m}$.

1. a) Calcule a área delimitada por cada uma das três opções propostas.
2. b) Compare os três resultados: com o mesmo perímetro ($120\text{ m}$), qual dos três polígonos regulares encerra maior superfície? Que conclusão geométrica você pode deduzir sobre como varia a área à medida que aumenta o número de lados de um polígono regular com perímetro constante?
3. c) A regulamentação de bem-estar animal exige que o cercado tenha pelo menos $1000\text{ m}^2$ para o tamanho do seu rebanho. Alguma das três opções cumpre o requisito? Se fosse construído um polígono regular com muito mais lados (por exemplo, um decágono regular ou uma figura quase circular com esses mesmos $120\text{ m}$ de cerca), você acha que seria possível ultrapassar essa barreira dos $1000\text{ m}^2$? Justifique a sua resposta a partir da tendência observada.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta ou apresentando um contraexemplo:

1. a) Se dobrarmos os lados de um retângulo, sua área também dobra.
2. b) Um paralelogramo e um retângulo com a mesma base e a mesma altura têm a mesma área.
3. c) Um triângulo tem metade da área de um retângulo com a mesma base e altura.
4. d) Duas figuras com o mesmo perímetro têm sempre a mesma área.