Exercícios: O conjunto dos números racionais

Em uma pizzaria, dividiram uma pizza familiar em $8$ fatias idênticas. Se Marcos comeu $3$ fatias, expresse por meio de uma fração a parte da pizza que ele consumiu e identifique claramente qual é o numerador e qual é o denominador. Como se lê essa fração?

Observe a seguinte figura geométrica e escreva em seu caderno a fração que representa a região sombreada em cor laranja.

Classifique as seguintes frações em próprias, impróprias ou iguais à unidade:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Estamos preparando uma festa e compramos pacotes de refrigerantes. Cada pacote tem $6$ latas. Se para a festa precisamos utilizar $\dfrac{12}{6}$ de pacotes, quantos pacotes inteiros de refrigerantes temos que comprar? Essa fração é um número natural?

Represente graficamente em seu caderno, utilizando quadrados ou retângulos, as seguintes frações:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Dica: você precisará desenhar mais de uma figura inteira).

Você pode fazer isso em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Indique que fração de hora representam os seguintes intervalos de tempo (lembre-se de que uma hora tem $60$ minutos):

1. a) $15$ minutos.

1. b) $30$ minutos.

1. c) $10$ minutos.

1. d) $60$ minutos.

Copie no seu caderno a reta numérica da figura (com o 0, o 1 e o 2, e cada unidade dividida em 4 partes iguais) e localize nela os seguintes números racionais:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Você pode fazer isso em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Escreva os seguintes números naturais em forma de fração (você pode usar o denominador que preferir, desde que o resultado seja correto):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

A Maria Eduarda precisa determinar que tipo de dízima a fração $\frac{21}{60}$ gera sem realizar a divisão. Na prova dela, escreveu o seguinte: «Decomponho o denominador em fatores primos: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Como na decomposição aparece o número primo 3, que é diferente de 2 e de 5, a fração gera obrigatoriamente uma dízima periódica». a) Explique detalhadamente o erro que a Maria Eduarda cometeu no raciocínio dela. b) Corrija o procedimento simplificando previamente a fração e conclua, justificando a sua resposta, que tipo de número decimal se obtém na realidade.

Elabore duas frações distintas que cumpram ao mesmo tempo as três condições seguintes: 1) O denominador de cada fração deve ser um número inteiro compreendido entre $10$ e $20$. 2) O valor de ambas as frações deve estar compreendido estritamente entre $0,4$ e $0,6$. 3) Uma das frações deve gerar uma dízima finita e a outra deve gerar uma dízima periódica. Justifique a sua resposta verificando a fatoração dos denominadores depois de reduzidas as frações a irredutíveis e calcule a sua expressão decimal.

O Pedro está estudando os números racionais e afirma o seguinte no caderno dele:

1) «O número $A = \frac{-18}{-3}$ não pertence ao conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$) porque a divisão dá $+6$, e $+6$ é um número inteiro, não uma fração».

2) «O número $B = -\frac{5}{-2}$ é negativo porque tem dois sinais de menos».

Identifique o erro conceitual que o Pedro comete em cada uma das afirmações dele, explique com suas palavras por que ele está enganado (lembrando a relação entre os números inteiros e os racionais, bem como a regra dos sinais nas frações) e escreva o valor simplificado e o sinal definitivo de $A$ e de $B$.

Um número racional pode ser escrito na forma de fração $\frac{a}{b}$, em que $a$ e $b$ são números inteiros com $b \neq 0$. Encontre um número racional que cumpra simultaneamente as seguintes quatro condições:

1) É um número estritamente negativo.

2) Seu valor está compreendido entre $-2$ e $-1$ na reta numérica.

3) Seu denominador $b$ é um número primo menor do que $6$.

4) O valor absoluto do seu numerador é igual ao oposto de $-5$.

Escreva a fração que cumpre estas condições, verifique passo a passo que ela satisfaz cada uma delas e explique entre quais duas divisões da reta numérica ela ficaria situada se você dividisse cada unidade em tantas partes quantas indica o seu denominador.

Em matemática, os números se organizam em "famílias" ou conjuntos. Observe o seguinte diagrama de Venn que representa os conjuntos dos números Naturais ($\mathbb{N}$), Inteiros ($\mathbb{Z}$) e Racionais ($\mathbb{Q}$).

Posicione cada um dos seguintes números em seu lugar correspondente dentro do diagrama:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Três amigos estão completando o "Passe de Batalha" do seu videogame favorito. Cada um progrediu uma fração diferente do total:

• Marcos: completou $\frac{12}{18}$ do total.

• Sara: completou $\frac{20}{30}$ do total.

• Alex: completou $\frac{2}{3}$ do total.

Raciocine se os três amigos estão no mesmo nível do jogo encontrando a fração irredutível de cada um.

Represente na seguinte reta numérica os pontos $A$, $B$, $C$ e $D$ que correspondem a estes números racionais. Cada unidade está dividida em 4 partes iguais.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Em um estudo sobre o uso do celular, foi analisado qual fração do armazenamento total é ocupada por diferentes aplicativos no celular de Ana:

• Redes Sociais: $\frac{3}{10}$ do total.

• Jogos: $\frac{2}{5}$ do total.

• Fotos e Vídeos: $\frac{1}{4}$ do total.

1. a) Reduza as frações ao denominador comum.
2. b) Ordene as categorias da maior para a menor ocupação.
3. c) Resta espaço livre no celular? Explique sua resposta.

Um influencer tem $120.000$ seguidores. Na segunda-feira, $\frac{2}{5}$ dos seus seguidores curtiram a sua foto. Na terça-feira, o mesmo foi feito por $\frac{3}{4}$ dos que curtiram na segunda-feira.

1. a) Quantas pessoas curtiram a foto na segunda-feira?
2. b) Quantas pessoas curtiram a foto na terça-feira?
3. c) Que fração do total de seguidores representa as pessoas que curtiram a foto na terça-feira?

Para uma festa de aniversário foram compradas várias pizzas do mesmo tamanho. Ao final da festa, sobraram os seguintes pedaços:

• $\frac{3}{4}$ de uma pizza de presunto.

• $\frac{5}{4}$ de pizzas de calabresa.

• $\frac{1}{2}$ de uma pizza vegetariana.

1. a) Expresse a fração de pizza de calabresa como um número misto.
2. b) Se juntarmos todas as sobras, temos mais ou menos de 3 pizzas inteiras? Justifique a resposta realizando a soma.

Identifique quais das seguintes frações darão origem a um número decimal exato e quais a uma dízima periódica (simples ou composta), sem realizar a divisão, observando apenas a decomposição dos seus denominadores:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Dica: Lembre-se da regra dos fatores 2 e 5 no denominador).

Numa competição de saltos, os juízes anotam as distâncias de quatro atletas. Alguns resultados são dados em forma de fração e outros em decimal:

• Atleta 1: $6,4$ metros.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metros.

• Atleta 3: $6,35$ metros.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metros.

1. a) Passe todas as medidas para a forma decimal.

1. b) Quais dois atletas saltaram exatamente a mesma distância?

1. c) Ordene os atletas do que saltou menos até o que saltou mais (se houver empate, indique).

Numa estação meteorológica da Serra da Mantiqueira (INMET) registraram-se as seguintes anomalias térmicas em quatro dias consecutivos: $-\frac{9}{4}$ ºC, $-\frac{8}{3}$ ºC, $0,75$ ºC e $\frac{7}{5}$ ºC. a) Sem fazer divisões com decimais, estime de forma fundamentada entre quais dois números inteiros consecutivos se encontra cada uma das duas anomalias negativas e deduza qual delas corresponde à temperatura mais baixa (menor valor). b) Passe todas as frações para a sua expressão decimal finita ou periódica para verificar com exatidão a sua estimativa prévia. c) Ordene os quatro registros do menor para o maior utilizando o símbolo $<$ e indique a qual conjunto numérico mais específico (naturais $\mathbb{N}$, inteiros $\mathbb{Z}$ ou racionais $\mathbb{Q}$) pertenceria o resultado se você somasse as duas anomalias positivas.

Para ordenar do menor para o maior os números racionais $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ e $-\frac{7}{10}$, dois alunos propõem estratégias diferentes: - O Lucas diz: «É melhor calcular a expressão decimal de cada fração fazendo a divisão e comparar todos os números na forma decimal». - A Sara diz: «É preferível escrever $-0,8$ na forma de fração irredutível, reduzir as quatro frações a um denominador comum positivo e comparar os seus numeradores». a) Aplique o método do Lucas e escreva a ordem obtida. b) Aplique o método da Sara para verificar o resultado. c) Qual dos dois métodos você considera mais adequado e preciso neste caso particular? Justifique a sua resposta analisando o tipo de dízima que a fração $-\frac{5}{6}$ produz e o eventual risco de arredondamento.

Em uma estação de monitoramento da bacia do rio São Francisco, registra-se a queda da vazão em um canal de irrigação durante um período de seca. O relatório técnico indica que a variação acumulada do nível é de $-\frac{37}{8}$ metros.

1. a) Antes de calcular qualquer casa decimal, estime, de forma fundamentada, entre quais números inteiros consecutivos se encontra este número racional na reta numérica e justifique de qual dos dois inteiros ele estará mais próximo.
2. b) Faça a divisão para obter a sua expressão decimal exata e verifique se a sua estimativa estava correta.
3. c) Desenhe mentalmente ou descreva como você localizaria exatamente este ponto na reta numérica: explique em quantas partes iguais você dividiria o segmento entre os dois inteiros e quantas dessas partes você contaria a partir do inteiro correspondente.

O Instituto Nacional de Meteorologia (INMET) registrou durante quatro dias consecutivos em Cuiabá (Mato Grosso) as seguintes anomalias térmicas (variações em relação à temperatura média habitual):

• Segunda-feira: $-\frac{7}{2}$ ºC

• Terça-feira: $+\frac{5}{4}$ ºC

• Quarta-feira: $-\frac{11}{4}$ ºC

• Quinta-feira: $-\frac{8}{5}$ ºC

1. a) Modele a evolução térmica ordenando os quatro dias em ordem crescente de anomalia (do dia com o desvio mais frio até o dia com o mais quente) utilizando o símbolo $<$.
2. b) Na sexta-feira, mediu-se uma anomalia térmica cujo valor absoluto foi exatamente metade do de segunda-feira, mas com sinal oposto ao de quarta-feira. Expresse a anomalia de sexta-feira na forma de fração irredutível e justifique qual dos quatro dias anteriores esteve mais próximo do registro térmico de sexta-feira.

Em uma escavação arqueológica em um sítio paleontológico da Serra da Capivara, foram classificados diferentes achados por meio de etiquetas numéricas. Você deve ajudar os pesquisadores a organizar essas peças em suas caixas correspondentes (Conjuntos numéricos).

Dada a seguinte lista de etiquetas:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ e $F = \sqrt{144}$

Indique fundamentadamente quais desses números pertencem a cada um dos seguintes conjuntos, levando em conta que um número pode pertencer a vários:

1. Números Naturais ($\mathbb{N}$)

2. Números Inteiros ($\mathbb{Z}$)

3. Números Racionais ($\mathbb{Q}$)

No projeto de um novo chip de memória, um engenheiro precisa posicionar três sensores em uma linha lógica. O sensor A está na posição $\frac{2}{5}$ e o sensor B na posição $\frac{3}{5}$.

O engenheiro precisa colocar um terceiro sensor C exatamente no ponto médio entre A e B. Além disso, deve colocar um sensor D que esteja no ponto médio entre A e C.

Calcule as frações que representam as posições de C e D e represente-as em uma reta numérica dividida adequadamente.

Observe a seguinte figura geométrica. Se o quadrado grande representa a unidade ($1$), determine qual fração representa a parte sombreada em laranja. Para resolver, identifique primeiro qual fração do total representa cada uma das peças que compõem a figura.

Três amigos, Ioana, Marcos e Rayan, estão baixando um videogame. Ao fim de uma hora, Ioana baixou $\frac{13}{20}$ do total, Marcos $\frac{19}{30}$ e Rayan completou $\frac{5}{8}$.

1. Ordene os amigos da maior para a menor quantidade baixada utilizando o método do mínimo múltiplo comum para comparar as frações.

2. Se o videogame ocupa $120$ GB, quantos GB faltam para cada um baixar? Expresse os resultados com frações e números inteiros.

Encontre os valores das incógnitas $x$, $y$ e $z$ para que todas as frações da seguinte sequência sejam equivalentes entre si:

Uma vez encontrados os valores, explique qual número natural foi utilizado como fator de amplificação ou simplificação em cada passo em relação à fração irredutível do conjunto.

Um alfaiate tem uma peça de tecido de $15$ metros. Corta um primeiro pedaço que mede $3$ metros e $\frac{3}{4}$ de metro. Depois, corta um segundo pedaço que mede a metade do que media o primeiro.

1. Expresse o comprimento de cada corte como uma fração imprópria e como um número misto.

2. Que fração do tecido original ainda resta no rolo?

Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso porque sempre podemos encontrar uma fração entre outras duas, por mais próximas que estejam.

Encontre três frações compreendidas entre $\frac{4}{7}$ e $\frac{5}{7}$ que tenham como denominador $28$. Ordene as cinco frações resultantes da menor para a maior.

Em um concurso de robótica, os protótipos devem percorrer uma pista de $10$ metros. O robô "Zeta" parou quando faltava percorrer $\frac{1}{5}$ do total da pista. O robô "Sigma" parou quando tinha percorrido $\frac{7}{9}$ do total.

1. a) Represente em uma mesma reta numérica as posições de ambos os robôs, tomando o $0$ como a partida e o $1$ como a chegada (a pista completa). Divida a unidade da reta de modo a poder localizar ambos os pontos com exatidão.

1. b) Qual dos robôs ficou mais perto da chegada? Justifique a sua resposta comparando as frações por meio da multiplicação cruzada.

De acordo com dados do Ministério para a Transição Ecológica sobre a reserva hídrica na Espanha, dois reservatórios apresentam a seguinte situação no início da primavera: - O reservatório A contém $175\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $250\text{ hm}^3$. - O reservatório B contém $210\text{ hm}^3$ sobre uma capacidade total de $336\text{ hm}^3$. a) Modele a proporção de água retida em relação ao total em cada caso por meio de uma fração irredutível. b) Sem fazer a divisão completa, demonstre, mediante a fatoração dos denominadores irredutíveis, se a porcentagem decimal de enchimento de cada reservatório corresponde a uma dízima finita ou periódica. c) Após um episódio de chuvas, o reservatório A aumenta o seu volume em $25\text{ hm}^3$ e o reservatório B em $42\text{ hm}^3$. Expresse as novas frações de enchimento, compare-as de forma fundamentada e determine qual dos dois reservatórios está agora proporcionalmente mais cheio.

Num debate de turma sobre as propriedades do conjunto $\mathbb{Q}$, dois estudantes lançam as seguintes afirmações: - O Marcos afirma: «Qualquer fração irredutível cujo denominador termine em algarismo par dá sempre origem a uma dízima finita, porque o 2 é divisor da base decimal». - A Elena afirma: «Se você somar dois números racionais que são dízimas periódicas simples, o resultado nunca pode ser um número inteiro». a) Demonstre que a afirmação do Marcos é falsa propondo um contraexemplo concreto e explique que condição ele esqueceu de exigir dos fatores primos do denominador. b) Demonstre que a afirmação da Elena também é falsa encontrando duas frações com desenvolvimento decimal periódico simples cuja soma seja exatamente igual ao número inteiro $2$. c) Construa uma fração $\frac{p}{q}$ com denominador $q = 60$ cujo valor esteja estritamente entre $1$ e $2$, e que dê origem a uma dízima finita. Explique que condição matemática o numerador $p$ teve necessariamente de cumprir em relação à decomposição fatorial de $60$.

Numa aula prática de laboratório, analisam-se as perdas de carga de dois circuitos elétricos, expressas como números racionais negativos: $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ e $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Para determinar qual dos dois circuitos sofre uma perda maior (ou seja, qual dos dois números racionais é menor), dois membros da equipe propõem estratégias distintas:

• Método de Alba: Dividir o numerador pelo denominador em cada fração para obter as suas expressões decimais e comparar algarismo a algarismo.

• Método de Bruno: Reduzir ambas as frações ao mesmo denominador por meio do mínimo múltiplo comum e comparar diretamente os seus numeradores inteiros.

1. a) Aplique ambos os métodos passo a passo para descobrir qual das duas tensões é menor.
2. b) Reflita sobre os dois procedimentos: que dificuldade adicional a divisão de Alba apresenta em relação aos períodos decimais? Justifique por que razão o método de Bruno se revela mais seguro, exato e representativo das propriedades algébricas do conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$.

Uma das propriedades fundamentais do conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$ em relação ao dos inteiros $\mathbb{Z}$ é a densidade: entre dois números racionais distintos é sempre possível encontrar outro número racional, ao passo que entre dois inteiros consecutivos não existe nenhum outro inteiro.

1. a) Escreva os números inteiros $-3$ e $-2$ como duas frações que tenham o mesmo denominador positivo, de modo a poder encontrar imediatamente pelo menos três números racionais distintos situados estritamente entre eles. Escreva esses três racionais na forma de fração irredutível.
2. b) Resolva o seguinte problema inverso: encontre uma fração irredutível $x = \frac{p}{q}$ que esteja estritamente compreendida entre $-\frac{4}{5}$ e $-\frac{3}{5}$ sabendo que:

1. O seu denominador $q$ é um número primo compreendido entre $10$ e $15$.

2. A soma do seu numerador inteiro com o seu denominador é exatamente $3$ (ou seja, $p + q = 3$).

3. O valor absoluto do seu numerador é estritamente menor do que $10$.

Demonstre detalhadamente que o número racional que você encontrou cumpre todas e cada uma das condições.