Exercícios: Proporcionalidade direta

Em matemática, dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um número, a outra é multiplicada por esse mesmo número. Analise as seguintes situações do dia a dia e indique quais são de proporcionalidade direta:

1. a) O número de seguidores de um streamer e a quantidade de curtidas (likes) que ele recebe em um vídeo (supondo que todos os seus seguidores curtam o vídeo).
2. b) A idade de uma pessoa e a sua altura em centímetros.
3. c) O número de caixas de pizza encomendadas e o preço total pago (se todas as pizzas custarem o mesmo).
4. d) A velocidade de um carro e o tempo que ele leva para chegar ao seu destino.
5. e) Os quilogramas de maçãs comprados e o dinheiro que custam.

No seu videogame favorito, você pode comprar "Gemas" para conseguir novos visuais para o seu personagem. Sabemos que as gemas têm sempre o mesmo preço unitário. Complete a seguinte tabela de proporcionalidade no seu caderno para saber quanto custam diferentes quantidades de gemas:

Um pacote de figurinhas do campeonato de futebol contém $6$ figurinhas, e $3$ destes pacotes custam $3,60$ reais. Se quisermos completar o álbum e decidirmos comprar $8$ pacotes iguais, quanto dinheiro gastaremos no total? Utilize o método de redução à unidade (calcule primeiro quanto custa um único pacote).

Observe a imagem a seguir que representa duas balanças em equilíbrio. Na primeira balança, $3$ cubos azuis pesam exatamente $450$ gramas. Na segunda balança, queremos saber quanto pesam $5$ cubos iguais aos anteriores. Calcule o valor da incógnita $x$.

Para cozinhar panquecas para $4$ pessoas, são necessários exatamente $200$ gramas de farinha. Se neste fim de semana vierem convidados e o total for de $6$ pessoas, que quantidade de farinha será necessária para que as panquecas fiquem perfeitas? Lembre-se de que as quantidades da receita são diretamente proporcionais ao número de pessoas.

Um skatista percorre uma pista com velocidade constante. Na primeira parte do circuito, percorreu $150$ metros em $30$ segundos. Se mantiver o mesmo ritmo durante todo o trajeto:

1. a) Que distância percorrerá em $1$ minuto ($60$ segundos)?
2. b) Qual é a sua constante de proporcionalidade (quantos metros percorre por cada segundo)?

Encontre o valor do termo desconhecido $x$ nas seguintes proporções para que a igualdade entre as razões seja satisfeita:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

Nos gráficos de proporcionalidade direta, a relação entre as duas grandezas é sempre representada por uma reta que passa pelo ponto $(0,0)$. Observe o gráfico a seguir que relaciona o número de canetas compradas e o seu custo total. Se $4$ canetas custam $6$ reais, identifique o ponto no gráfico e calcule quanto custariam $10$ canetas.

O Mateo acompanha o pai dele para comprar ingressos para um festival de teatro escolar. Na bilheteria observam o cartaz: «$3$ ingressos custam $\text{R\$}\ 21$». O Mateo precisa calcular quanto custarão $5$ ingressos para toda a sua família e raciocina da seguinte maneira: «Como $5$ ingressos são mais $2$ ingressos do que $3$, ao preço de $\text{R\$}\ 21$ só preciso somar $\text{R\$}\ 2$. Portanto, os $5$ ingressos custarão $\text{R\$}\ 23$».

1. a) Explique detalhadamente por que o raciocínio aditivo do Mateo está errado e o que significa realmente que o número de ingressos e o preço sejam grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Corrija o cálculo utilizando o método de redução à unidade: encontre o preço de um ingresso e calcule o preço real que a família deve pagar pelos $5$ ingressos.

Na papelaria do bairro tem uma promoção de material escolar: um pacote com $3$ cadernos idênticos custa $\text{R\$}\ 5,40$. O seu grupo de trabalho precisa comprar $7$ desses mesmos cadernos para um projeto da escola.

1. a) Antes de fazer contas com lápis e papel, estime mentalmente se o preço total dos $7$ cadernos será maior ou menor do que $\text{R\$}\ 12$ e entre quais dois números inteiros de reais ele deve se situar. Explique como você chegou a essa estimativa.
2. b) Calcule o custo exato dos $7$ cadernos aplicando a redução à unidade (obtendo primeiro o preço de $1$ caderno).
3. c) Compare o valor numérico obtido com a sua estimativa prévia e raciocine se o seu resultado é coerente com o preço de partida.

Em um mapa da Serra da Mantiqueira, a escala indica que $2\text{ cm}$ no papel representam $5\text{ km}$ na realidade. Se para realizar uma caminhada entre dois vilarejos a distância medida no mapa é de $8,5\text{ cm}$, quantos quilômetros os caminhantes percorrerão na realidade?

Para comemorar o final do trimestre, um grupo de amigos quer comprar "gemas" para o seu videogame favorito. Eles viram que um pacote de $1200$ gemas custa $\text{R\$}\ 14,40$. Se um amigo tem economizados exatamente $\text{R\$}\ 21$, quantas gemas poderá comprar se a relação for diretamente proporcional?

Copie e complete a seguinte tabela de valores diretamente proporcionais que relaciona a quantidade de quilogramas de tinta com a superfície que se pode cobrir. Calcule também a constante de proporcionalidade $k$ expressa em $m^2/kg$.

Um carro híbrido consome uma média de $4,5\text{ litros}$ de combustível por cada $100\text{ km}$ percorridos. Se o tanque tem uma capacidade total de $54\text{ litros}$ e atualmente está cheio, qual é a distância máxima que o veículo poderá percorrer antes de ficar sem combustível?

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo que uma fonte de água fica aberta e os litros que ela jorra. Observe o ponto marcado e determine quantos litros a fonte jorrará se for mantida aberta durante $15\text{ minutos}$.

Para cozinhar uma paella gigante para $12\text{ personas}$, o chef utiliza $1,5\text{ kg}$ de arroz e $3\text{ litros}$ de caldo. Se de repente mais pessoas confirmarem presença e agora forem $18$ no total, calcule pelo método de redução à unidade que quantidade de arroz e de caldo o chef precisará agora.

Uma torneira que pinga perde aproximadamente $1,2\text{ centilitros}$ de água a cada $10\text{ segundos}$. Se não for consertada, quantos litros de água terá desperdiçado ao final de uma hora inteira? (Lembre-se de converter primeiro o resultado para a unidade de medida solicitada).

Três agricultores trabalharam na colheita de um pomar de laranjas de forma proporcional ao tempo que cada um dedicou. Se receberam no total $\text{R\$}\ 1500$ e os tempos de trabalho foram:

• Agricultor A: $12\text{ horas}$

• Agricultor B: $18\text{ horas}$

• Agricultor C: $20\text{ horas}$

Quanto dinheiro corresponde a cada um deles?

Por $3$ ingressos de cinema pagamos $\text{R\$}\ 25,50$. Queremos comprar $7$ ingressos para toda a turma. Resolva o problema das duas formas a seguir:

1. a) Por redução à unidade: calcule o preço de um ingresso e depois o de $7$.
2. b) Com uma regra de três direta: monte a proporção $\frac{3}{25,50} = \frac{7}{x}$ e isole $x$.
3. c) Os dois resultados coincidem? Qual método parece mais prático e por quê?

No laboratório de Ciências da Natureza estão estudando a perda de água por uma torneira com defeito que pinga em um ritmo constante. Utilizando uma proveta graduada, medem que a cada $12\text{ minutos}$ são recolhidos exatamente $0,36\text{ litros}$ de água.

1. a) Você quer descobrir quanta água será recolhida após $36\text{ minutos}$. Compare dois caminhos possíveis: aplicar uma regra de três simples completa ou usar as propriedades da proporcionalidade direta (observando a relação multiplicativa direta entre $12$ e $36$). Justifique qual dos dois métodos é mais rápido e calcule o referido volume.
2. b) Agora você precisa calcular o volume recolhido em um intervalo de $25\text{ minutos}$. O cálculo mental anterior continua sendo prático ou é melhor calcular previamente a constante de proporcionalidade (litros por minuto)? Justifique a sua escolha e calcule quantos litros terão sido perdidos nesses $25\text{ minutos}$.

Segundo dados técnicos de instalações de autoconsumo energético na Espanha, uma casa unifamiliar equipada com $4$ painéis solares idênticos gera, num dia ensolarado de primavera, uma média de $6,8\text{ kWh}$ de energia elétrica. Uma família vizinha quer instalar painéis idênticos para cobrir uma necessidade energética diária de $15,3\text{ kWh}$ nas mesmas condições climáticas.

1. a) Justifique por que o número de painéis solares e a quantidade de energia elétrica gerada são grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Determine a constante de proporcionalidade direta $k$, indicando que grandeza ela representa e em que unidades se expressa.
3. c) Escreva a fórmula algébrica que modela a energia produzida ($E$, em $\text{kWh}$) em função do número de painéis instalados ($n$).
4. d) Utilize o seu modelo para descobrir quantos painéis solares completos a família vizinha deve instalar para garantir essa produção diária.

Em uma oficina de robótica, os alunos estão programando um drone para inspecionar um parque natural. O drone consome bateria de forma diretamente proporcional à distância percorrida. Se para percorrer $2,5\ km$ o drone consome $15\%$ da sua bateria total:

1. a) Qual é a constante de proporcionalidade se expressarmos a relação como "porcentagem de bateria por quilômetro"?
2. b) Se o ponto de retorno está a $7.200\ metros$ da base, o drone terá bateria suficiente para ir e voltar se decolar com a carga completa? Justifique a resposta com cálculos.

Uma marca de roupas sustentáveis utiliza fibras recicladas para fabricar suas camisetas. A relação entre o peso das garrafas de plástico recolhidas e o fio obtido é diretamente proporcional. Sabe-se que com $3,6\ kg$ de garrafas é possível fabricar exatamente $8$ camisetas de tamanho L.

1. a) Se cada camiseta de tamanho L precisa de $225\ g$ de fio, quantos gramas de fio são obtidos por cada quilograma de garrafas de plástico?
2. b) A prefeitura de uma cidade recolheu $1,2\ toneladas$ de garrafas. Quantas camisetas poderiam ser fabricadas no total?

Para tingir tecidos com corantes naturais, uma artesã mistura extrato de beterraba e água. A quantidade de extrato é diretamente proporcional ao volume de água. Em seu caderno, ela tem anotado que para $1,5\ litros$ de água precisa de $120\ ml$ de extrato. No entanto, ela quer preparar um recipiente com um volume total de mistura (água + extrato) de $10,8\ litros$. Que quantidade exata de água e de extrato ela deve misturar para manter a proporção?

O gráfico a seguir mostra a relação entre o tempo de carga de um novo modelo de celular e a porcentagem de bateria recuperada. O fabricante afirma que a carga é diretamente proporcional durante os primeiros $40$ minutos.

1. a) Observando o ponto destacado, calcule quantos minutos o celular leva para carregar $1\%$ de bateria.
2. b) Se o celular tem atualmente $12\%$ de bateria e é necessário sair de casa em $18$ minutos, com que porcentagem de bateria sairá?

Em um mapa de alta montanha com escala $1:25.000$, a distância entre dois abrigos é de $14,4\ cm$. Um grupo de caminhantes sabe que sua velocidade média de subida é constante e que leva $45$ minutos para percorrer $1.500\ metros$ na realidade nesse terreno.

1. a) Calcule a distância real entre os dois abrigos em quilômetros.
2. b) A que horas chegarão ao segundo abrigo se saírem do primeiro às $08:30$ da manhã?

Um servidor de videogames distribui dados aos jogadores de forma diretamente proporcional ao tempo de conexão. Um jogador baixou $1,8\ GB$ nos últimos $12$ minutos.

1. a) Calcule a taxa de transferência em $MB$ por minuto (Lembre-se de que $1\ GB = 1.024\ MB$).
2. b) Se a atualização total do jogo tem $15\ GB$, quantas horas e minutos levará para concluir o download se a velocidade se mantiver constante?

Três turmas do 7º ano decidiram organizar uma campanha de arrecadação de alimentos. O número de quilos arrecadados é diretamente proporcional ao número de alunos de cada turma. A turma A tem $24$ alunos e arrecadou $36\ kg$.

1. a) Complete a tabela a seguir justificando os cálculos:

1. b) Qual é a constante de proporcionalidade que relaciona os quilos por aluno? Expresse-a como uma fração irredutível.

Uma empresa de entregas utiliza vans elétricas. O custo do consumo elétrico é diretamente proporcional aos quilômetros percorridos. No mês passado, uma van percorreu $1.250\ km$ com um custo total de $\text{R\$}\ 37,50$ em eletricidade.

1. a) Este mês o preço da eletricidade subiu $20\%$. Qual será a nova constante de proporcionalidade (custo por quilômetro)?
2. b) Com o novo preço, quanto custará percorrer uma rota de $420\ km$?

Uma impressora 3D leva $4,5$ horas para imprimir uma peça de $270$ gramas de filamento. Queremos saber quanto tempo levará para imprimir outra peça de $420$ gramas, supondo o mesmo ritmo.

1. a) Explique por que o peso da peça e o tempo de impressão são grandezas diretamente proporcionais.
2. b) Monte a regra de três direta e calcule o tempo que a peça de $420$ gramas levará.
3. c) Quantos gramas a máquina imprime em uma hora? Verifique o seu resultado do item b) usando esse dado.

Em um engenho do interior de Minas Gerais comercializa-se azeite de oliva extravirgem. O preço final é estritamente proporcional ao volume de azeite adquirido, sem custos fixos de embalagem nem descontos por quantidade. Dois clientes coincidem na loja:

• O primeiro cliente compra um determinado número de garrafões de $5\text{ litros}$ e paga uma nota fiscal de $\text{R\$}\ 135$.

• O segundo cliente compra exatamente mais $7\text{ litros}$ de azeite do que o primeiro e paga um total de $\text{R\$}\ 198$.

1. a) Deduza o preço de um único litro de azeite (a constante de proporcionalidade $k$) sem conhecer previamente quantos litros cada um adquiriu. Justifique com rigor o raciocínio que permite calculá-lo a partir das diferenças de volume e de preço.
2. b) Construa a expressão matemática que relaciona o custo total $C$ (em reais) em função do volume total $V$ (em litros).
3. c) A partir do seu modelo, reconstrua os dados da compra do primeiro cliente: calcule quantos litros de azeite ele levou e quantos garrafões completos de $5\text{ litros}$ comprou.

O serviço municipal de aluguel de bicicletas de uma cidade oferece duas modalidades de pagamento:

• Modalidade A (Sem passe): Não há taxa fixa inicial; paga-se $\text{R\$}\ 0,60$ por cada fração de meia hora de utilização.

• Modalidade B (Com passe anual): Paga-se uma taxa fixa anual de $\text{R\$}\ 24$ e depois paga-se $\text{R\$}\ 0,20$ por cada fração de meia hora de utilização.

1. a) Verifique se o valor total pago por ano é diretamente proporcional ao tempo de utilização em cada uma das duas modalidades. Para justificar, calcule o quociente (custo total / meias horas) para $1$, $2$ e $10$ meias horas em ambas as opções e analise se ele se mantém constante.
2. b) Um ciclista com passe na Modalidade B afirma: «Se este ano eu utilizar a bicicleta o dobro do tempo do ano passado, o meu gasto anual duplicará exatamente». Demonstre com um contraexemplo numérico que a afirmação dele é falsa e explique qual elemento da tarifa impede a proporcionalidade direta.
3. c) Uma pessoa calcula que utilizará o serviço exatamente $80$ meias horas durante o ano. Modele algebricamente o custo de ambas as tarifas para esse valor e determine qual delas é mais econômica para ela, calculando a diferença de economia em reais.