Vectores. Definiciones

Clasifica las siguientes magnitudes utilizadas en física y geometría en escalares o vectoriales, justificando brevemente tu respuesta basándote en su definición:

• Temperatura de un servidor de datos ($45^\circ \text{C}$).

• Velocidad del viento en un parque eólico ($20 \text{ km/h}$ en dirección Noroeste).

• Masa de un satélite artificial ($1200 \text{ kg}$).

• Desplazamiento de un dron desde su base hasta un punto de entrega.

Un brazo robótico en una cadena de montaje se desplaza en un plano cartesiano bidimensional. Si su posición inicial es el punto $A(3, -2)$ y su posición final tras un movimiento es $B(-1, 5)$, determina las componentes del vector desplazamiento $\vec{AB}$.

Un barco pesquero se encuentra en las coordenadas $P(-4, 2)$ de una carta náutica. Si el capitán programa el piloto automático para realizar un desplazamiento rectilíneo definido por el vector $\vec{v} = (8, -3)$, determina las coordenadas del punto de destino $Q$.

En el diseño de un videojuego, la velocidad de un personaje viene dada por el vector $\vec{v} = (-6, 8)$ en píxeles por frame. Calcula el módulo de dicho vector para determinar la rapidez real del personaje en la pantalla.

Dos aviones de aeromodelismo siguen trayectorias definidas por los vectores $\vec{u} = (4, -6)$ y $\vec{v} = (-2, 3)$. Comprueba, utilizando la definición de vectores paralelos, si ambos aviones vuelan en la misma dirección. ¿Tienen el mismo sentido?

Para instalar un cable de fibra óptica entre dos edificios, los topógrafos marcan las posiciones de las conexiones en un plano como $A(-3, 5)$ y $B(2, -7)$, con las unidades en metros. Calcula la distancia en línea recta entre ambos puntos.

La fuerza aplicada sobre un objeto viene dada por el vector $\vec{F} = (5, k)$ en Newtons. Si un sensor indica que la magnitud total de la fuerza es de $13 \text{ N}$, determina los posibles valores del parámetro $k$.

Para trazar una carretera recta, los ingenieros deben asegurarse de que tres puntos de control estén perfectamente alineados. Los dos primeros puntos están en $A(-1, 3)$ y $B(2, 5)$. Si el tercer punto tiene coordenada $y = 9$, halla su coordenada $x$ utilizando el concepto de vectores paralelos.

En un simulador de física, la dirección del viento está dada por el vector $\vec{w} = (-3, 4)$. Para aplicar correctamente las fórmulas aerodinámicas, el motor del juego necesita un vector unitario que mantenga exactamente la misma dirección y sentido que $\vec{w}$. Calcúlalo.

Halla un vector $\vec{v}$ que sea paralelo al vector $\vec{u} = (1, -2)$, que tenga sentido opuesto a $\vec{u}$, y cuyo módulo sea exactamente $10$.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que los vectores $\vec{u} = (a, 3)$ y $\vec{v} = (-2, b)$ tienen la misma dirección (son paralelos), sentido opuesto, y además se cumple que el módulo de $\vec{u}$ es $5$.

Observa los vectores representados en la siguiente cuadrícula. Identifica qué pares de vectores son equipolentes (iguales), cuáles tienen el mismo módulo pero distinta dirección, y cuáles tienen la misma dirección pero sentido opuesto.

Tres vértices consecutivos de un jardín urbano se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(6, 7)$, expresadas en decámetros. Se quiere que el jardín tenga forma de paralelogramo $ABCD$. Determina las coordenadas donde debe situarse el cuarto vértice $D$.

Se dan los puntos $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$ y $D(0, 4)$. Calcula los vectores que forman los lados del cuadrilátero $ABCD$ y las longitudes de sus diagonales. Con base en estos cálculos (y sin usar el producto escalar), justifica si la figura es un rombo, un cuadrado, un rectángulo o ninguna de estas figuras regulares.

Se va a colocar un pilar de soporte exactamente en el centro de una viga de acero. Si los extremos de la viga se sitúan en las coordenadas $M(-1, 4)$ y $N(7, -2)$, determina las coordenadas del punto donde debe ir el pilar.

Un arquitecto diseña una escalera recta que une el punto $P(-2, 1)$ del suelo con el punto $Q(7, -5)$ de una plataforma. Si desea colocar dos soportes intermedios que dividan la escalera en tres tramos de igual longitud, calcula las coordenadas donde deben anclarse dichos soportes.

Dado el hexágono regular $ABCDEF$ de la figura, cuyo centro es el origen de coordenadas $O(0,0)$ y el vértice $A$ tiene coordenadas $(2,0)$. Expresa los vectores $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ como combinación lineal de los vectores de posición de los vértices (por ejemplo, operando con puntos o sumando vectores conocidos de la figura).

Un robot de exploración marciana realiza dos desplazamientos consecutivos. Primero se mueve desde su base $O(0,0)$ hasta el punto $P$ definido por el vector $\vec{v_1} = (12, 5)$. Luego, desde $P$, realiza un segundo desplazamiento $\vec{v_2} = (-4, 10)$ hasta llegar al punto $Q$. Calcula las coordenadas del punto $Q$ y la distancia total en línea recta desde la base $O$ hasta $Q$.

Dado un cuadrilátero cualquiera de vértices $A, B, C$ y $D$. Sean $M, N, P$ y $Q$ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente. Demuestra, utilizando exclusivamente operaciones con vectores y coordenadas de puntos, que el cuadrilátero $MNPQ$ es siempre un paralelogramo.

Dados los puntos $A(1, -2)$ y $B(6, 3)$, halla las coordenadas de un punto $P$ situado en el segmento que los une, tal que se cumpla la relación vectorial $2\vec{PA} + 3\vec{PB} = \vec{0}$.

Encuentra las coordenadas de todos los puntos situados sobre el eje de abscisas (eje $X$) cuya distancia al punto $A(-2, 3)$ sea exactamente igual a $5$ unidades.

Un barco intenta cruzar un río perpendicularmente a las orillas con una velocidad propia dada por el vector $\vec{v_b} = (0, 12)$ km/h. Sin embargo, la corriente del río ejerce una velocidad constante representada por el vector $\vec{v_c} = (5, 0)$ km/h. Calcula el vector velocidad real del barco respecto a un observador en la orilla y determina su rapidez real (módulo del vector resultante).

Halla las coordenadas del punto simétrico $A'$ del punto $A(3, -1)$ con respecto al punto $P(1, 2)$. Plantea la resolución utilizando la definición de vector que une dos puntos e indica la relación geométrica entre los vectores $\vec{AP}$ y $\vec{PA'}$.

Dados los vectores $\vec{u} = (4, 0)$ y $\vec{v} = (0, 3)$. Se desea encontrar un vector $\vec{w}$ que sea la bisectriz del ángulo que forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Sabiendo que la suma de dos vectores unitarios da como resultado un vector en la dirección de la bisectriz, calcula las coordenadas exactas de un vector director $\vec{w}$ de dicha bisectriz.