Ecuaciones con valor absoluto
Una fábrica de Rosario corta cables y acepta los que miden "75 m, con un error de hasta 0,75 m para un lado o para el otro". ¿Cómo se escribe eso con una ecuación, y cuáles son los dos largos extremos? El valor absoluto (o módulo) $|x|$ mide la distancia de $x$ al $0$ sin importar el signo, y por eso una ecuación con módulo esconde dos ecuaciones a la vez: lo de adentro puede ser positivo o negativo.
Definición y el caso básico $|ax+b|=k$
Resuelve la siguiente ecuación lineal con valor absoluto: $|3x - 5| = 7$
Resuelve la siguiente ecuación lineal con valor absoluto:
$|3x - 5| = 7$
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación: $2|x + 4| - 10 = 0$
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación:
$2|x + 4| - 10 = 0$
Encuentra los números cuya distancia al número $4$ en la recta real es exactamente $9$. Plantea y resuelve la ecuación con valor absoluto correspondiente.
Encuentra los números cuya distancia al número $4$ en la recta real es exactamente $9$. Plantea y resuelve la ecuación con valor absoluto correspondiente.
Casos sin solución y dos módulos iguales
Resuelve la ecuación considerando que los argumentos de los valores absolutos son iguales u opuestos: $|2x - 1| = |x + 3|$
Resuelve la ecuación considerando que los argumentos de los valores absolutos son iguales u opuestos:
$|2x - 1| = |x + 3|$
Analiza y resuelve la siguiente ecuación. Justifica tu respuesta: $|5x + 2| = -4$
Analiza y resuelve la siguiente ecuación. Justifica tu respuesta:
$|5x + 2| = -4$
Resuelve la siguiente ecuación con coeficientes fraccionarios: $\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$
Resuelve la siguiente ecuación con coeficientes fraccionarios:
$\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$
Módulo de expresiones cuadráticas
Para resolver $|x^2-5x|=6$ buscá en el gráfico dónde la curva corta a la recta $y=6$: son cuatro puntos.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática con valor absoluto: $|x^2 - 9| = 0$
Halla los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática con valor absoluto:
$|x^2 - 9| = 0$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación: $|x^2 - 5x| = 6$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación:
$|x^2 - 5x| = 6$
Resuelve la siguiente ecuación igualando el valor absoluto de una expresión cuadrática al valor absoluto de una expresión lineal: $|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$
Resuelve la siguiente ecuación igualando el valor absoluto de una expresión cuadrática al valor absoluto de una expresión lineal:
$|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$
Cuando el otro miembro lleva la incógnita
Resuelve la siguiente ecuación y comprueba la validez de las soluciones obtenidas, descartando aquellas que no tengan sentido: $|x - 5| = 2x - 1$
Resuelve la siguiente ecuación y comprueba la validez de las soluciones obtenidas, descartando aquellas que no tengan sentido:
$|x - 5| = 2x - 1$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación, comprobando las soluciones en la ecuación original: $|x^2 - 4x| = 3x - 6$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación, comprobando las soluciones en la ecuación original:
$|x^2 - 4x| = 3x - 6$
Una partícula oscila alrededor de un punto de equilibrio. Su posición $x$ en ciertos instantes críticos satisface la ecuación $|x^2 - 10| = 3x$. Encuentra las posiciones…
Una partícula oscila alrededor de un punto de equilibrio. Su posición $x$ en ciertos instantes críticos satisface la ecuación $|x^2 - 10| = 3x$. Encuentra las posiciones exactas $x$ donde esto ocurre, asegurándote de descartar las soluciones no válidas.
Durante un experimento químico, el margen de error en la medición del pH de una solución tampón viene dado por la ecuación $|2p - 14| = p - 4$, donde $p$ es el valor del…
Durante un experimento químico, el margen de error en la medición del pH de una solución tampón viene dado por la ecuación $|2p - 14| = p - 4$, donde $p$ es el valor del pH. Calcula los posibles valores de $p$ y descarta aquellos que carezcan de sentido físico o matemático en esta ecuación.
Fracciones, cambio de variable y gráficos
Con una fracción adentro del módulo se separa igual en dos casos, pero además hay que descartar los valores que anulan el denominador.
Si aparece $|x|$ junto con $x^2$, como en $x^2-4|x|-5=0$, usá que $x^2=|x|^2$ y llamá $t=|x|$ con $t\ge0$: queda $t^2-4t-5=0$, con $t=5$ o $t=-1$. Solo sirve $t=5$, y entonces $x=5$ o $x=-5$.
Para ecuaciones del tipo $|f(x)|=k$ con un parámetro, el gráfico de $y=|f(x)|$ cuenta las soluciones: son los cortes con la recta horizontal $y=k$.
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación: $2|x + 4| - 10 = 0$
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación:
$2|x + 4| - 10 = 0$
Halla las soluciones de la siguiente ecuación realizando un cambio de variable adecuado o distinguiendo casos según el signo de $x$: $x^2 - 4|x| - 5 = 0$
Halla las soluciones de la siguiente ecuación realizando un cambio de variable adecuado o distinguiendo casos según el signo de $x$:
$x^2 - 4|x| - 5 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación racional con valor absoluto: $\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$
Resuelve la siguiente ecuación racional con valor absoluto:
$\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$
Determina el valor del parámetro $k$ para el cual la ecuación $|x^2 - 4x + 3| = k$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas. En la figura tienes la gráfica de…
Determina el valor del parámetro $k$ para el cual la ecuación $|x^2 - 4x + 3| = k$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas.
En la figura tienes la gráfica de $f(x)=|x^2-4x+3|$. Úsala para razonar cuántas soluciones tiene la ecuación según la altura de la recta horizontal $y=k$, y justifica el valor de $k$ con cálculos.
Resuelve la siguiente ecuación racional que involucra un valor absoluto. Presta especial atención a los valores que anulan el denominador:…
Resuelve la siguiente ecuación racional que involucra un valor absoluto. Presta especial atención a los valores que anulan el denominador:
$\left| \frac{x^2 - x - 2}{x^2 + x} \right| = 1$
Módulos anidados y por intervalos
Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados: $||2x - 1| - 4| = 5$
Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados:
$||2x - 1| - 4| = 5$
Halla las soluciones de la ecuación dividiendo la recta real en intervalos según las raíces de los argumentos de los valores absolutos: $|x - 2| + |x + 3| = 7$
Halla las soluciones de la ecuación dividiendo la recta real en intervalos según las raíces de los argumentos de los valores absolutos:
$|x - 2| + |x + 3| = 7$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación combinada: $x^2 - 2|x - 1| = 2$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación combinada:
$x^2 - 2|x - 1| = 2$
Aplicaciones
Una máquina corta cables de acero para un puente colgante. La longitud $L$ (en metros) de un cable se considera aceptable si satisface la ecuación de tolerancia…
Una máquina corta cables de acero para un puente colgante. La longitud $L$ (en metros) de un cable se considera aceptable si satisface la ecuación de tolerancia $|2L - 150| = 1,5$. Calcula las longitudes máxima y mínima aceptables para el cable.
En un modelo económico, la desviación del precio $P$ de una acción respecto a su valor de referencia de $120\,000$ pesos es proporcional al propio precio, modelado por…
En un modelo económico, la desviación del precio $P$ de una acción respecto a su valor de referencia de $120\,000$ pesos es proporcional al propio precio, modelado por la ecuación $|P - 120\,000| = \frac{P}{5}$. Calculá los precios exactos que cumplen esta condición.
El perfil de la entrada de una tienda de campaña de diseño moderno se modeliza mediante la ecuación $y = |x - 4| + |x - 8|$, donde $x$ e $y$ están en metros. Para…
El perfil de la entrada de una tienda de campaña de diseño moderno se modeliza mediante la ecuación $y = |x - 4| + |x - 8|$, donde $x$ e $y$ están en metros. Para colocar una viga de soporte horizontal a una altura de $y = 6$ metros, resuelve la ecuación $|x - 4| + |x - 8| = 6$ para encontrar las coordenadas $x$ de los extremos del soporte.
Un brazo robótico se mueve a lo largo de un riel lineal. Su distancia a dos balizas ubicadas en las posiciones $x=0$ y $x=10$ debe satisfacer la restricción dada por la…
Un brazo robótico se mueve a lo largo de un riel lineal. Su distancia a dos balizas ubicadas en las posiciones $x=0$ y $x=10$ debe satisfacer la restricción dada por la ecuación $2|x| - |x - 10| = 5$. Encuentra las coordenadas exactas $x$ donde el robot puede detenerse.