Ejercicios de derivadas
En el laboratorio, Valentina mide cómo se enfría una pieza de cerámica y la profe le pide la velocidad de enfriamiento en un instante. La función tiene una exponencial, un cociente y una raíz, todo junto. ¿Por dónde se empieza? Ya conocés las reglas por separado. Acá practicás a combinarlas sin dudar y a dejar el resultado prolijo.
Tabla y reglas básicas
Las raíces y los cocientes de potencias se derivan pasándolos a exponente fraccionario o negativo antes de empezar.
Para derivadas sucesivas se deriva el resultado otra vez: $f''$ es la derivada de $f'$.
Calcula la primera y la segunda derivada de la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.
Calcula la primera y la segunda derivada de la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Expresa el resultado en forma de potencia fraccionaria o raíz.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Expresa el resultado en forma de potencia fraccionaria o raíz.
Decidir qué regla va primero
Obtén la derivada de la función $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.
Obtén la derivada de la función $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.
Determina la derivada de la función racional $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.
Determina la derivada de la función racional $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.
La intensidad de la corriente en un circuito de corriente alterna fluctúa según la función $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula…
La intensidad de la corriente en un circuito de corriente alterna fluctúa según la función $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula la derivada $I'(t)$ aplicando la regla del cociente y la regla de la cadena.
Cadenas de varias capas
Algunas funciones piden la cadena varias veces seguidas: una potencia de un seno de un exponencial, por ejemplo. Se deriva de fuera hacia dentro, capa por capa, sin saltear ninguna.
Calcula la derivada de la función $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ aplicando la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la función $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ aplicando la regla de la cadena.
Halla la derivada de la función trigonométrica $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.
Halla la derivada de la función trigonométrica $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, prestando atención a la aplicación sucesiva de la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, prestando atención a la aplicación sucesiva de la regla de la cadena.
Exponenciales, logaritmos y raíces
Calcula la derivada de la función $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.
Obtén la derivada de la función irracional $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.
Obtén la derivada de la función irracional $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.
Calcula la derivada de la siguiente función, aplicando la regla del producto y la regla de la cadena: $f(x) = e^{x\sin(x)} \cdot \ln(x^2 + 4)$.
Calcula la derivada de la siguiente función, aplicando la regla del producto y la regla de la cadena: $f(x) = e^{x\sin(x)} \cdot \ln(x^2 + 4)$.
Simplificar antes y después de derivar
Para $\arcsen u$ la derivada es $\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$. Muchas veces conviene calcular $1-u^2$ con denominador común y recordar que $\sqrt{a^2} = |a|$: si $x>0$, el signo del valor absoluto se resuelve.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ y simplifica el resultado lo máximo posible, expresándolo con un único denominador.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ y simplifica el resultado lo máximo posible, expresándolo con un único denominador.
Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos y las reglas de derivación, que la derivada de la función $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ es…
Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos y las reglas de derivación, que la derivada de la función $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ es $f'(x) = \frac{1}{\cos x}$.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ para $x > 0$ y simplifica la expresión resultante al máximo.
Calcula la derivada de la función $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ para $x > 0$ y simplifica la expresión resultante al máximo.
Evaluar la derivada en un punto
Muchas veces no pedimos la fórmula de $f'$, sino su valor en un punto. Primero se deriva y después se reemplaza.
Cuando las funciones no están dadas por fórmula sino por datos, la cadena dice: si $f(x) = g(h(x))$, entonces $f'(a) = g'(h(a))\cdot h'(a)$.
Dada la función $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$, calcula su derivada y evalúala en el punto $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.
Dada la función $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$, calcula su derivada y evalúala en el punto $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.
Dadas dos funciones derivables $g(x)$ y $h(x)$, se define una nueva función $f(x) = g(h(x^2))$. Sabiendo que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ y $g'(2) = -4$, calcula…
Dadas dos funciones derivables $g(x)$ y $h(x)$, se define una nueva función $f(x) = g(h(x^2))$. Sabiendo que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ y $g'(2) = -4$, calcula el valor exacto de $f'(1)$ detallando los pasos de la regla de la cadena.
La derivada como tasa de cambio
La derivada mide con qué rapidez cambia una magnitud en un instante: intensidad de corriente (carga por segundo), velocidad de crecimiento de una población, costo marginal (cuánto más cuesta producir una unidad más).
Cuando el enunciado pide el instante en que la tasa es nula, se resuelve $f'(t) = 0$. Un producto es cero solo si algún factor lo es, y una exponencial nunca vale cero.
La carga eléctrica que atraviesa un circuito en función del tiempo viene dada por la expresión $q(t) = 5t e^{-0,2t}$ culombios. Calcula la intensidad de corriente…
La carga eléctrica que atraviesa un circuito en función del tiempo viene dada por la expresión $q(t) = 5t e^{-0,2t}$ culombios. Calcula la intensidad de corriente $I(t) = q'(t)$ y determina en qué instante exacto la intensidad es nula.
La población de una especie de alga marina en millones de individuos sigue la función $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Determina la…
La población de una especie de alga marina en millones de individuos sigue la función $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Determina la tasa de crecimiento instantánea de la población en la tercera semana ($t=3$).
El costo total en pesos de producir $x$ buzos personalizados para el viaje de egresados está dado por $C(x) = \frac{150\,000x}{\sqrt{x^2+100}} + 200\,000$. Calculá la…
El costo total en pesos de producir $x$ buzos personalizados para el viaje de egresados está dado por $C(x) = \frac{150\,000x}{\sqrt{x^2+100}} + 200\,000$. Calculá la función de costo marginal $C'(x)$.
Parámetros y enfriamiento
Si una función tiene letras sin valor (parámetros) y el enunciado da datos sobre ella o sus derivadas, se deriva con las letras como si fueran números y se plantean ecuaciones.
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que la función $f(x) = a e^{bx}$ cumpla simultáneamente que $f(0) = 3$ y que su derivada segunda…
Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ (con $b > 0$) para que la función $f(x) = a e^{bx}$ cumpla simultáneamente que $f(0) = 3$ y que su derivada segunda evaluada en el origen sea $f''(0) = 12$.
La ley de enfriamiento de un material cerámico en un horno industrial sigue la función $T(t) = 20 + 800 e^{-0,05t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$…
La ley de enfriamiento de un material cerámico en un horno industrial sigue la función $T(t) = 20 + 800 e^{-0,05t}$, donde $T$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ el tiempo en minutos. Calcula la tasa de variación de la temperatura con respecto al tiempo, $T'(t)$, y determina cuánto tiempo debe transcurrir para que la temperatura descienda a un ritmo exacto de $10^\circ \text{C/min}$.
Derivadas sucesivas y signo de la derivada
Para hallar la derivada enésima se deriva varias veces buscando un patrón (signos, factoriales, potencias) y se expresa con una fórmula en $n$.
Para probar que una función crece siempre, se calcula $f'$ y se muestra que es positiva en todo el dominio.
Calcula la derivada enésima de la función $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Expresa el resultado $f^{(n)}(x)$ mediante una fórmula general que dependa de $n$.
Calcula la derivada enésima de la función $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Expresa el resultado $f^{(n)}(x)$ mediante una fórmula general que dependa de $n$.
Demuestra, calculando la derivada y estudiando su signo, que la función $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ es estrictamente creciente en todo su dominio.
Demuestra, calculando la derivada y estudiando su signo, que la función $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ es estrictamente creciente en todo su dominio.