Ejercicios
Tres situaciones: tres estaciones sismológicas en San Juan que registran un temblor, un satélite que gira alrededor de la Tierra y el cable de un puente colgante. En cada una aparece una curva distinta. Si te dan solo la ecuación o solo el enunciado, ¿cómo decidís cuál es, qué datos te da y cómo seguís? Ese es el trabajo de esta página.
Circunferencia: de la ecuación general al centro y el radio
La circunferencia es el conjunto de puntos que están a una distancia $r$ de un centro $C(h;\,k)$. Si escribís esa distancia con la fórmula de distancia entre dos puntos y elevás al cuadrado, queda la ecuación reducida:
¿Por qué? Cada paréntesis $(x-h)^2=x^2-2hx+h^2$ aporta un término $-2hx$. Por eso el coeficiente de $x$ en la ecuación general es $D=-2h$, y el centro sale de la mitad de $D$ con el signo cambiado.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma…
Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en kilómetros). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo a las tres estaciones, halla las coordenadas del epicentro y el radio de la zona afectada (distancia a las estaciones).
Reconocer la cónica y leer sus elementos
Con la ecuación en la mano, mirá primero los términos cuadráticos $Ax^2+By^2$ de $Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0$. Pasá todo a un solo miembro antes de comparar.
¿Por qué? Al completar cuadrados no cambian los signos de $A$ y $B$. Si son iguales, se suman cuadrados (circunferencia o elipse). Si son opuestos, se restan (hipérbola). Si falta uno de los cuadrados, queda una variable de primer grado y la curva es una parábola.
Una vez que sabés cuál es, estos son los elementos (con centro en el origen y eje focal sobre el eje $x$):
| Cónica | Ecuación reducida | Elementos |
|---|---|---|
| Elipse ($a>b$) | $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | vértices $(\pm a;\,0)$, focos $(\pm c;\,0)$ con $c^2=a^2-b^2$, excentricidad $e=\dfrac ca<1$ |
| Hipérbola | $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | vértices $(\pm a;\,0)$, focos $(\pm c;\,0)$ con $c^2=a^2+b^2$, $e=\dfrac ca>1$, asíntotas $y=\pm\dfrac bax$ |
| Parábola | $y^2=4px$ | vértice $(0;\,0)$, foco $(p;\,0)$, directriz $x=-p$ |
Si el denominador mayor de la elipse está debajo de $y^2$, el eje focal es el eje $y$ y los focos son $(0;\,\pm c)$. Lo mismo pasa con la hipérbola $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$: el eje focal es vertical, los vértices son $(0;\,\pm a)$ y las asíntotas son $y=\pm\dfrac abx$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.
Cónicas desplazadas e hipérbola equilátera
Si el centro no está en el origen, $x$ e $y$ se reemplazan por $x-h$ e $y-k$. Por ejemplo, $\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1$ es la elipse de centro $(h;\,k)$: la misma curva, corrida $h$ en horizontal y $k$ en vertical. Todos los elementos (vértices, focos) se corren igual. Para llegar a esta forma desde la ecuación general, completás cuadrados en $x$ y en $y$ por separado.
Hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes
Una hipérbola con $a=b$ se llama equilátera. Si además sus asíntotas son los ejes coordenados, su ecuación es $xy=k$. Está girada $45^\circ$ respecto de las que vimos. Sus ramas están en los cuadrantes I y III si $k>0$, y en el II y el IV si $k<0$. El eje focal es la recta $y=x$ (o $y=-x$), y por eso los vértices y los focos están sobre esa recta.
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos…
Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos y el valor de su excentricidad.
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas.…
Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas. Sabiendo que la partícula pasa por el punto $P(4, 2)$, resuelve:
- a) Halla la ecuación de la trayectoria.
- b) Determina las coordenadas exactas de los vértices y de los focos.
- c) Representa gráficamente la curva (en la figura tienes los ejes y el punto $P$; puedes copiarla en tu cuaderno).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Problemas de contexto con varios pasos
Los problemas de contexto casi nunca te dan $a$, $b$ o $p$ de forma directa. El paso clave es elegir los ejes (conviene el centro o el vértice en el origen) y traducir el enunciado a datos de la curva.
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta…
Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a…
La sección transversal de una torre de refrigeración nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$…
El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.
Mediatriz y bisectriz
Dos lugares geométricos de rectas se usan todo el tiempo.
¿Por qué dos bisectrices? Al igualar las dos distancias aparece el valor absoluto, y se puede sacar con $+$ o con $-$. Cada signo da una de las dos rectas que dividen en partes iguales los ángulos que forman las rectas dadas.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.
Del enunciado a la ecuación
Si no hay ecuación, fijate qué condición describe el problema:
| La condición dice… | Curva |
|---|---|
| distancia constante a un punto | circunferencia |
| suma de distancias a dos puntos constante (mayor que la distancia focal) | elipse |
| diferencia en valor absoluto de distancias a dos puntos constante (menor que la distancia focal) | hipérbola |
| igual distancia a un punto y a una recta | parábola |
| $d(P,A)=k\cdot d(P,B)$ con $k\neq1$ | circunferencia (de Apolonio) |
Para escribir la ecuación, tomás $P(x;\,y)$, escribís las distancias con la fórmula, operás y simplificás.
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$.…
Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la…
Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.
Más lugares: producto de pendientes y directriz
Producto de pendientes. Si $P(x;\,y)$ se une con dos puntos fijos, las pendientes son $\dfrac{y-y_A}{x-x_A}$ y $\dfrac{y-y_B}{x-x_B}$. Al plantear que su producto vale una constante $m$ y operar, aparece una cónica con centro en el punto medio.
En general, $y^2=m(x^2-a^2)$ da una elipse si $m<0$ (circunferencia si $m=-1$) y una hipérbola si $m>0$.
Directriz. Cada punto de una cónica cumple $d(P,F)=e\cdot d(P,\text{directriz})$, donde $F$ es un foco y $e$ la excentricidad. Si $e<1$ es una elipse, si $e=1$ es una parábola y si $e>1$ es una hipérbola.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y…
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical…
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cónica resultante, halla sus semiejes y represéntala gráficamente ilustrando la propiedad de la directriz.
Recta y circunferencia: la distancia decide
Para saber cómo está una recta respecto de una circunferencia de centro $C$ y radio $r$, calculá la distancia $d$ de $C$ a la recta:
¿Por qué? El punto de la recta más cercano al centro está justo a distancia $d$. Si $d
Para un radar o una zona de cobertura dada por $x^2+y^2+Dx+Ey+F\leq0$ (el círculo con su interior), un objeto que se mueve sobre una recta es detectado en algún momento si $d\leq r$.
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación…
Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación $3x + 4y + k = 0$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el barco es detectado por el radar en algún momento de su trayectoria.
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación…
Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Halla las ecuaciones de las dos trayectorias rectilíneas tangentes a la órbita desde la estación de control.
Cortes entre curvas
Para hallar los puntos en común entre dos curvas, resolvés el sistema formado por sus ecuaciones. Con una recta, despejás una variable de la recta y la reemplazás en la cónica: queda una ecuación de segundo grado cuyo discriminante $\Delta$ decide cuántos puntos hay ($\Delta>0$: dos, $\Delta=0$: uno, $\Delta<0$: ninguno).
Dos cónicas. Se despeja o se elimina una variable. Después hay que comprobar cada solución en las dos ecuaciones.
Dos circunferencias. Si restás las dos ecuaciones generales, desaparecen $x^2$ e $y^2$ y queda una recta, el eje radical. Los puntos comunes están sobre esa recta, y para hallarlos la cortás con una de las circunferencias.
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando…
Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las…
Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la…
Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la ecuación del eje radical, demuestra analíticamente que las circunferencias son secantes y calcula la distancia exacta entre sus puntos de intersección.
Recta tangente a una cónica
Para la tangente en un punto $P(x_0;\,y_0)$ que pertenece a la cónica se "desdobla" la ecuación (un factor $x$ se reemplaza por $x_0$ y el otro queda $x$, y lo mismo con $y$):
| Cónica | Tangente en $(x_0;\,y_0)$ |
|---|---|
| $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ | $(x_0-h)(x-h)+(y_0-k)(y-k)=r^2$ |
| $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ |
| $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ | $\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ |
| $y^2=4px$ | $y_0y=2p(x+x_0)$ |
¿Por qué funciona? Es el resultado de pedir $\Delta=0$ al cortar la cónica con una recta que pasa por $P$. Si no querés usar la fórmula, ese método siempre sirve.
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y…
Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto.
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de…
Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Un rayo de luz sale de la bombilla, incide en la parábola en un punto de ordenada $y = 6$ y se refleja. Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de incidencia y halla el ángulo que forma el rayo incidente con dicha tangente.
Resumen
Volvé al principio: el epicentro sale de la circunferencia por tres puntos, la órbita del satélite es una elipse con el planeta en un foco, y el cable del puente es una parábola. En los tres casos, los datos del enunciado se traducen a $a$, $b$, $c$ o $p$ y de ahí sale la ecuación.