Operaciones con números complejos en forma binómica

Realiza las siguientes operaciones de suma y resta con números complejos: dados $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ y $z_3 = 5i$, calcula en forma binómica el resultado de la expresión $z_1 - z_2 + z_3$.

Dado el número complejo $z = -7 + 8i$, determina su conjugado $\bar{z}$ y su opuesto $-z$. A continuación, efectúa la operación $z + \bar{z}$ y comprueba algebraicamente que el resultado es un número real.

Determina los valores de los números reales $x$ e $y$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre números complejos:

$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$

Halla el valor del número real $x$ para que el producto de los números complejos $(x - 3i)$ y $(2 + 5i)$ dé como resultado un número imaginario puro (es decir, con parte real igual a cero).

Multiplica los siguientes números complejos expresados en forma binómica y simplifica el resultado agrupando la parte real y la parte imaginaria: $(2 + 5i)(-3 + i)$.

Calcula el valor numérico del polinomio $P(z) = z^2 - 4z + 5$ cuando se evalúa en el número complejo $z = 2 + i$.

En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje en el plano se representa mediante el número complejo $z = 5 + 2i$. Para aplicar una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario respecto al origen y, posteriormente, una traslación definida por el vector $(-1, 3)$, el motor gráfico realiza la operación $z' = z \cdot i + (-1 + 3i)$. Calcula la nueva posición $z'$ del personaje.

Simplifica las siguientes potencias de la unidad imaginaria $i$ aplicando la periodicidad de sus valores:

• $i^{45}$

• $i^{102}$

• $i^{2024}$

• $i^{-13}$

Desarrolla y simplifica la expresión $(1 - i)^4$ operando exclusivamente en forma binómica. Puedes utilizar el desarrollo del binomio de Newton o aplicar propiedades de las potencias $( (1-i)^2 )^2$.

Efectúa la siguiente división de números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Expresa el resultado final en la forma $a + bi$:

$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$

Determina el valor del parámetro real $k$ para que el resultado del siguiente cociente sea un número real puro (es decir, su parte imaginaria sea nula):

$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$

Efectúa las operaciones combinadas indicadas a continuación, respetando la jerarquía de las mismas, y expresa el resultado final en forma binómica:

$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$

En un modelo matemático simplificado de mecánica cuántica, el estado de una partícula se describe mediante la amplitud de probabilidad $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Comprueba si este estado cumple la condición de normalización, la cual requiere que el producto del número complejo por su conjugado sea exactamente la unidad ($\psi \cdot \bar{\psi} = 1$).

En el estudio de los fractales y el conjunto de Mandelbrot, se analiza el comportamiento de la sucesión iterativa definida por $z_{n+1} = z_n^2 + c$, partiendo de la condición inicial $z_0 = 0$. Para la constante compleja $c = -1 + i$:

1. Calcula los términos $z_1$, $z_2$ y $z_3$ operando en forma binómica.

2. Determina el módulo $|z_3|$ y comprueba si supera el valor umbral de escape (es decir, si $|z_3| > 2$).

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado en el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ y expresa sus dos soluciones:

$x^2 + 25 = 0$

En teoría de control de sistemas dinámicos, un sistema se considera estable si todas las raíces de su polinomio característico tienen parte real negativa. Dada la ecuación característica $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$:

1. Comprueba sustituyendo algebraicamente si $z_1 = 1 + i$ es una solución de la ecuación.

2. Sabiendo que los polinomios con coeficientes reales tienen raíces complejas conjugadas, halla las otras dos soluciones de la ecuación.

3. Concluye si el sistema descrito es estable o inestable.

En un circuito eléctrico de corriente alterna, dos componentes se conectan en paralelo. Sus impedancias complejas vienen dadas por $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ y $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calcula la impedancia equivalente del circuito, expresada en forma binómica, utilizando la fórmula física:

$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$

En el estudio del flujo de fluidos ideales alrededor de un obstáculo cilíndrico, la función de potencial complejo viene dada por la expresión $W(z) = V \cdot z + \frac{m}{z}$. Sabiendo que la velocidad del fluido es $V = 2$ y el parámetro $m = 8$, evalúa el potencial en el punto $z = 2 + 2i$. Expresa el resultado final $W(2+2i)$ en la forma $a + bi$.

Encuentra los números complejos $z = x + yi$ que son raíces cuadradas del número complejo $-5 + 12i$. Para ello, plantea la ecuación $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, iguala las partes reales y las partes imaginarias para formar un sistema de ecuaciones no lineal, y resuélvelo en $\mathbb{R}$.

Demuestra algebraicamente, definiendo los números complejos en forma binómica como $z = a + bi$ y $w = c + di$, que el conjugado del producto de dos números complejos es idéntico al producto de sus conjugados respectivos. Es decir, prueba paso a paso que $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.