Técnicas de conteo y recuento
Cuatro amigos suben al colectivo y cada uno se baja en la parada que quiere. ¿Qué probabilidad hay de que se bajen todos en paradas distintas? La regla de Laplace, $P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$, es fácil de enunciar, pero contar a mano uno por uno es imposible en cuanto los números crecen. En esta página usamos el principio multiplicativo, el factorial y los números combinatorios para contar rápido. El apartado de Combinatoria les pondrá nombre formal (permutaciones, variaciones, combinaciones); acá los usamos como herramienta.
Diagramas de árbol y principio multiplicativo
Un restaurante ofrece $4$ primeros platos, $3$ segundos y $2$ postres. Si un cliente elige su menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija exactamente la ensalada…
Un restaurante ofrece $4$ primeros platos, $3$ segundos y $2$ postres. Si un cliente elige su menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija exactamente la ensalada de primero, el salmón de segundo y la tarta de postre?
Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $4$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número $5$ en todos los lanzamientos?
Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $4$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el número $5$ en todos los lanzamientos?
Contar ordenaciones: cuando el orden importa
Cuando se eligen y ordenan elementos sin repetirlos (un podio, un orden de llegada, cargos distintos), la cantidad de casos es un producto de factores decrecientes, ligado al factorial.
Los dígitos también se ordenan. Si pedimos que un número de cifras distintas sea par, conviene empezar por la restricción: primero se elige la última cifra y después el resto.
En una carrera de $100$ metros lisos participan $6$ atletas. Si todos tienen la misma probabilidad de ganar y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que el orden de…
En una carrera de $100$ metros lisos participan $6$ atletas. Si todos tienen la misma probabilidad de ganar y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que el orden de llegada sea exactamente A, B, C, D, E, F?
En un club de ajedrez de $10$ miembros se va a elegir al azar un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana sea elegida presidenta,…
En un club de ajedrez de $10$ miembros se va a elegir al azar un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana sea elegida presidenta, Carlos secretario y Elena tesorera?
Con los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ se forman números de $4$ cifras distintas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea par?
Con los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6$ se forman números de $4$ cifras distintas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número formado sea par?
Contar selecciones: cuando el orden no importa
Cuando se eligen elementos sin importar el orden (una comisión, una muestra, una mano de cartas), la cantidad de casos es el número combinatorio:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$Se obtiene de dividir las ordenaciones por las $k!$ formas de ordenar el grupo elegido.
Cuando hay dos grupos, se elige en cada uno y se multiplica.
Otro uso muy frecuente: elegir en qué lugares ocurre algo. Si se repite $n$ veces una experiencia con dos resultados (cara o cruz, acierto o error), para que un resultado ocurra exactamente $k$ veces se elige cuáles son esos $k$ lugares: $\binom{n}{k}$ formas. Cada forma tiene su propia probabilidad, y se suman todas.
De un grupo de $8$ estudiantes se eligen $3$ al azar para formar una comisión representativa. ¿Cuál es la probabilidad de que los elegidos sean exactamente los $3$…
De un grupo de $8$ estudiantes se eligen $3$ al azar para formar una comisión representativa. ¿Cuál es la probabilidad de que los elegidos sean exactamente los $3$ estudiantes de mayor edad del grupo?
En una caja hay $5$ bolas rojas y $4$ bolas azules. Se extraen $2$ bolas al azar simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
En una caja hay $5$ bolas rojas y $4$ bolas azules. Se extraen $2$ bolas al azar simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean rojas?
Se lanzan $5$ monedas equilibradas al aire simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente $2$ caras y $3$ cruces?
Se lanzan $5$ monedas equilibradas al aire simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente $2$ caras y $3$ cruces?
En una empresa tecnológica trabajan $7$ ingenieros y $5$ economistas. Se debe formar un equipo de proyecto de $4$ personas elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de…
En una empresa tecnológica trabajan $7$ ingenieros y $5$ economistas. Se debe formar un equipo de proyecto de $4$ personas elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo esté formado por exactamente $2$ ingenieros y $2$ economistas?
Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un estudiante responde todas las…
Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un estudiante responde todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente $6$ preguntas?
De una baraja francesa de $52$ cartas (compuesta por $13$ valores diferentes en $4$ palos) se extraen $5$ cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "Full…
De una baraja francesa de $52$ cartas (compuesta por $13$ valores diferentes en $4$ palos) se extraen $5$ cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un "Full House" (es decir, tres cartas de un mismo valor y dos cartas de otro valor distinto)?
Extracciones con y sin reposición
Cuando un suceso es difícil de contar, conviene usar el complemento: $P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$.
De un mazo de cartas españolas de $40$ cartas se extraen $3$ cartas al azar sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo?
De un mazo de cartas españolas de $40$ cartas se extraen $3$ cartas al azar sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo?
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Se selecciona una muestra aleatoria de $3$ microchips para su inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que en la…
Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Se selecciona una muestra aleatoria de $3$ microchips para su inspección. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya al menos un microchip defectuoso?
Un departamento universitario está formado por $6$ profesores titulares y $8$ profesores asociados. Se elige al azar un comité de $5$ personas. ¿Cuál es la probabilidad…
Un departamento universitario está formado por $6$ profesores titulares y $8$ profesores asociados. Se elige al azar un comité de $5$ personas. ¿Cuál es la probabilidad de que en el comité haya una mayoría de profesores titulares (es decir, $3$ o más)?
Restricciones: elementos juntos, repetidos y con reparto
Algunos enunciados piden que ciertos elementos queden juntos, o cuentan anagramas con letras repetidas. También aparecen situaciones donde cada uno de $k$ objetos elige libremente entre $m$ opciones (paradas, pisos, urnas): ahí cada uno tiene $m$ opciones y se multiplica $m^k$.
Cuando hay letras repetidas, las ordenaciones se dividen por las repeticiones: una palabra de $n$ letras con una letra repetida $a$ veces y otra repetida $b$ veces tiene $\dfrac{n!}{a!\,b!}$ anagramas distintos.
Se forman todas las palabras posibles, tengan o no sentido, reordenando las letras de la palabra "ROMA". Si se elige una de estas palabras al azar, ¿cuál es la…
Se forman todas las palabras posibles, tengan o no sentido, reordenando las letras de la palabra "ROMA". Si se elige una de estas palabras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que empiece por la letra "M"?
En una estantería se van a colocar al azar $5$ libros de matemáticas y $3$ de física. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los libros de física queden colocados juntos?
En una estantería se van a colocar al azar $5$ libros de matemáticas y $3$ de física. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los libros de física queden colocados juntos?
Cuatro amigos suben a un colectivo en el que quedan $6$ paradas hasta el final del trayecto. Si cada uno tiene la misma probabilidad de bajarse en cualquiera de las…
Cuatro amigos suben a un colectivo en el que quedan $6$ paradas hasta el final del trayecto. Si cada uno tiene la misma probabilidad de bajarse en cualquiera de las paradas, ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro amigos se bajen en paradas distintas?
Se forman todas las palabras posibles reordenando las letras de la palabra "BANANA". ¿Cuál es la probabilidad de que las tres letras "A" aparezcan juntas…
Se forman todas las palabras posibles reordenando las letras de la palabra "BANANA". ¿Cuál es la probabilidad de que las tres letras "A" aparezcan juntas consecutivamente?
En la planta baja de un edificio de $8$ pisos suben al ascensor $5$ personas. Si cada persona elige al azar el piso en el que se va a bajar (del $1$ al $8$), ¿cuál es la…
En la planta baja de un edificio de $8$ pisos suben al ascensor $5$ personas. Si cada persona elige al azar el piso en el que se va a bajar (del $1$ al $8$), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos personas se bajen en el mismo piso y las otras tres se bajen en pisos distintos entre sí y distintos al de la pareja?
Repartos sin urnas vacías: inclusión y exclusión
Si $k$ objetos distinguibles se reparten al azar en $m$ urnas distinguibles, hay $m^k$ casos posibles. Pero ¿cuántos dejan todas las urnas ocupadas? Contar directamente es incómodo; es más fácil contar los casos con urnas vacías y restarlos. Hay que cuidar de no restar dos veces los casos donde quedan vacías varias urnas a la vez.
La razón: si la urna $1$ queda vacía, cada objeto tiene $2$ urnas posibles, o sea $2^k$ repartos; lo mismo para cada una de las $3$ urnas. Al sumar $3\cdot 2^k$, el reparto donde dos urnas quedan vacías (todo en la tercera) se contó dos veces, así que se resta una vez cada uno de esos $3$ repartos.
Se distribuyen al azar $5$ bolas distinguibles en $3$ urnas distinguibles. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres urnas quede vacía?
Se distribuyen al azar $5$ bolas distinguibles en $3$ urnas distinguibles. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las tres urnas quede vacía?
Problemas más finos: círculo, geometría y complementos
En los problemas difíciles se combinan las técnicas anteriores. Algunas ideas útiles:
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Mesa circular: al sentar $n$ personas en círculo, se fija una persona y las otras $n-1$ se ordenan: $(n-1)!$ formas. Para dos hermanos contiguos, se cuenta el bloque y se usa el complemento para "no contiguos".
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Geometría: un triángulo inscripto en una circunferencia es rectángulo si y solo si uno de sus lados es un diámetro. Se cuentan los diámetros y el tercer vértice.
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Probabilidad condicional por conteo: si ya se sabe algo (por ejemplo, que los tres primeros lanzamientos fueron pares), los casos posibles son solo los compatibles con ese dato.
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Desarreglos: para que nadie reciba su propio abrigo, o que exactamente uno lo reciba, se cuenta con casos: se elige quién acierta y se cuentan los reordenamientos de los demás en los que ninguno acierta.
Ocho personas, entre las que se encuentran dos hermanos, se sientan al azar alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos hermanos no se…
Ocho personas, entre las que se encuentran dos hermanos, se sientan al azar alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos hermanos no se sienten en sillas contiguas?
Se eligen al azar $3$ vértices distintos de un decágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por estos $3$ vértices sea un triángulo rectángulo?
Se eligen al azar $3$ vértices distintos de un decágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado por estos $3$ vértices sea un triángulo rectángulo?
Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $6$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan todos los números del $1$ al $6$ exactamente una vez,…
Se lanza un dado equilibrado de $6$ caras $6$ veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan todos los números del $1$ al $6$ exactamente una vez, sabiendo que en los tres primeros lanzamientos se obtuvieron exclusivamente números pares?
Cuatro personas dejan sus abrigos en el guardarropa de un teatro. Al salir, debido a un apagón, el encargado les devuelve los cuatro abrigos al azar. ¿Cuál es la…
Cuatro personas dejan sus abrigos en el guardarropa de un teatro. Al salir, debido a un apagón, el encargado les devuelve los cuatro abrigos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una persona reciba su propio abrigo?
Vuelta al principio: para los cuatro amigos del colectivo, contamos con $6^4$ casos posibles y $6\cdot5\cdot4\cdot3$ favorables, y la probabilidad de que se bajen en paradas distintas es $\frac{5}{18}$. Según el orden importe o no, la cuenta cambia: en una mano de $5$ cartas de un mazo español de $40$ el orden no cuenta y hay $\binom{40}{5} = 658.008$ manos, mientras que en una fila de $n$ personas el orden sí cuenta y hay $n!$ colocaciones.