Problemas de optimización

Descompón el número $24$ como suma de dos números positivos de modo que su producto sea máximo. Plantea la función que hay que optimizar y resuélvelo con la derivada.

¿Qué número positivo excede a su cuadrado en la mayor cantidad posible? Expresa esa cantidad en función del número y maximízala con la derivada.

Halla dos números positivos que sumen $18$ y cuya suma de cuadrados sea mínima.

Entre todos los rectángulos de perímetro $36\ \text{m}$, halla las dimensiones del que tiene área máxima y calcula dicha área.

Un hortelano quiere vallar un huerto rectangular apoyado en el muro de su casa, de modo que solo necesita vallar tres lados. Dispone de $60\ \text{m}$ de valla.

1. a) Expresa el área del huerto en función del lado $x$ perpendicular al muro.

1. b) Halla las dimensiones que hacen máxima el área y el valor de dicha área.

Con una cartulina cuadrada de $24\ \text{cm}$ de lado se quiere construir una caja sin tapa recortando cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los laterales, como indica la figura.

1. a) Expresa el volumen de la caja $V(x)$ en función de $x$ e indica el dominio de validez de $x$.

1. b) Halla el valor de $x$ que hace máximo el volumen.

1. c) Calcula el volumen máximo y comprueba, con el signo de $V'(x)$ a ambos lados, que se trata de un máximo.

Un ganadero dispone de $240\ \text{m}$ de valla para construir un corral rectangular dividido en dos parcelas por una valla interior paralela a uno de los lados, como en la figura.

1. a) Expresa el área total del corral en función de uno de sus lados.

1. b) Determina las dimensiones que hacen máxima el área total y calcula dicha área.

Un negocio de ropa vende cada semana $80$ remeras a $\$12$ la unidad. Estima que por cada pesos que rebaje el precio venderá $10$ remeras más a la semana.

1. a) Expresá el ingreso semanal $I(x)$ en función de la rebaja $x$ en pesos.

1. b) Hallá el precio que maximiza el ingreso y el ingreso máximo semanal.

De un tronco de sección circular de diámetro $d$ se quiere cortar una viga de sección rectangular, como muestra la figura. La resistencia de la viga a la flexión es proporcional al producto de su base por el cuadrado de su altura: $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Expresa la resistencia en función de la base $b$ usando la relación que liga $b$, $h$ y $d$.

1. b) Halla las dimensiones de la viga de máxima resistencia.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «El valor máximo de una función continua en un intervalo cerrado siempre se alcanza en un punto donde $f'(x) = 0$». Si es falsa, pon un contraejemplo con una función sencilla en un intervalo concreto.

Para el problema de la caja sin tapa construida con una cartulina cuadrada de $32\ \text{cm}$ de lado, cuyo volumen es $V(x) = x \cdot (32 - 2x)^2$ con $0 < x < 16$, un alumno escribe: «$V'(x) = 12x^2 - 256x + 1024 = 0$ da $x = 16$ y $x = \frac{16}{3}$; como el volumen crece con el tamaño del recorte, elijo $x = 16\ \text{cm}$». Señala los dos errores cometidos en la conclusión (uno de dominio y otro de justificación) y resuelve correctamente el problema.

Demuestra, usando la derivada, el siguiente resultado general: de todos los rectángulos de perímetro $4p$, el de área máxima es el cuadrado de lado $p$. Plantea la función área en función de uno de los lados, justifica que el valor crítico es un máximo y concluye.