Valor absoluto de un número real
En una fábrica, en un laboratorio o en un partido de fútbol, muchas veces importa cuánto te desviaste de lo ideal, no hacia qué lado. Un tiro libre que pasa 30 cm a la izquierda del palo y otro que pasa 30 cm a la derecha fallan por lo mismo. El valor absoluto (o módulo) es la herramienta que mide esa desviación sin mirar el signo. Al final de la página vamos a usarlo para resolver un problema de tolerancia en una pieza.
Definición por casos
Geométricamente, $|x|$ es la distancia de $x$ al $0$ en la recta real. Su gráfico tiene forma de V.
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.
Determina qué valores reales de $x$ cumplen la ecuación $|x| = -5$ y justifica tu respuesta.
Determina qué valores reales de $x$ cumplen la ecuación $|x| = -5$ y justifica tu respuesta.
Ecuaciones con valor absoluto
Como $|A|$ es la distancia de $A$ al cero, buscar $|A| = k$ es buscar los puntos que están a distancia $k$ del origen.
Cuando hay un módulo a cada lado, $|A| = |B|$ significa que $A$ y $B$ están a la misma distancia del cero: son iguales u opuestos.
Resuelve la ecuación con valor absoluto: $|3x| = 12$.
Resuelve la ecuación con valor absoluto: $|3x| = 12$.
Resuelve la ecuación $|x - 4| = 3$.
Resuelve la ecuación $|x - 4| = 3$.
Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.
Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.
Distancia entre puntos y entornos
La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ de la recta real es $|a - b|$ (da lo mismo $|b - a|$). Por eso $|x - c| = r$ significa «$x$ está a distancia $r$ del punto $c$».
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.
Halla todos los números reales $x$ tales que su distancia al punto $7$ es exactamente el doble de su distancia al punto $-2$.
Halla todos los números reales $x$ tales que su distancia al punto $7$ es exactamente el doble de su distancia al punto $-2$.
Inecuaciones con valor absoluto
Si $|A|$ es una distancia, «$|A| \le r$» significa «estar cerca» y «$|A| \ge r$» significa «estar lejos».
Con las mismas reglas se pasa de un intervalo a una inecuación con módulo: el centro es el punto medio y el radio es la mitad de la longitud. Por ejemplo, $(-8; 8)$ tiene centro $0$ y radio $8$, así que es $|x| < 8$.
Expresa la desigualdad $|x| \le 5$ en forma de intervalo.
Expresa la desigualdad $|x| \le 5$ en forma de intervalo.
Expresa la desigualdad $|x + 2| > 4$ como una unión de intervalos.
Expresa la desigualdad $|x + 2| > 4$ como una unión de intervalos.
Resuelve la inecuación $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ y representa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $\left| \frac{2x - 3}{4} \right| \le 1$ y representa la solución en forma de intervalo.
Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud…
Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud difiera de la ideal en más de $1,2 \text{ mm}$. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de longitudes válidas.
Desigualdad triangular
Otra aplicación: acotar errores. Si $|y - 15| \le 1{,}5$ y $|t - 15| \le 2{,}5$, entonces $|y - t| = |(y-15) - (t-15)| \le |y-15| + |t-15| \le 4$.
Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad…
Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad $|a - b| \ge ||a| - |b||$.
En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo…
En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo que $|y - 15| \le 1,5$ y $|t - 15| \le 2,5$, determina una cota superior para el error máximo posible $E$ utilizando las propiedades del valor absoluto, y encuentra el intervalo de valores posibles para la diferencia $y - t$.
Funciones y expresiones a trozos
Toda expresión con módulos se puede reescribir sin barras estudiando el signo de cada expresión interior en cada tramo. Así se ve el gráfico de $f(x) = |x-3| + |x+2|$:
Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.
Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.
Resuelve la siguiente ecuación que contiene valores absolutos anidados: $||x - 2| - 5| = 3$.
Resuelve la siguiente ecuación que contiene valores absolutos anidados: $||x - 2| - 5| = 3$.
La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y…
La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y los tramos constantes en la figura, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$, y escribe la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos sin usar valores absolutos.