Crecimiento y extremos con la derivada

Se sabe que la derivada de una función $f$ cumple $f'(3) = -2$. Sin conocer la expresión de $f$, razona si la función es creciente o decreciente en el punto $x = 3$ y explica qué significa ese valor para la recta tangente en ese punto.

Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f(x) = x^3 - 3x$ estudiando el signo de su derivada.

La derivada de una función es $f'(x) = (x - 1) \cdot (x - 4)$. Estudiando el signo de cada factor en la recta real, determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y localiza sus extremos relativos.

Halla el extremo relativo de la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$ utilizando la derivada, y razona si se trata de un máximo o de un mínimo.

Calcula los puntos singulares de la función $f(x) = x^3 - 12x + 1$, es decir, los puntos en los que su derivada se anula.

Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «Si $f'(a) = 0$, entonces $f$ tiene un máximo o un mínimo relativo en $x = a$». La figura, que muestra la función $f(x) = x^3$ y su tangente en el origen, puede ayudarte a decidir.

Sea la función $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. a) Calcula su derivada y halla sus puntos singulares.

1. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

1. c) Clasifica cada punto singular como máximo o mínimo relativo e indica el valor de la función en ellos.

La figura muestra la gráfica de la derivada $f'$ de una función $f$, que corta al eje de abscisas en $x = -1$ y en $x = 3$. Observando el signo de $f'$ en la figura, indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$ y en qué puntos tiene extremos relativos.

La figura muestra la gráfica de una función $f$ definida en $[-3, 4]$, con sus dos extremos relativos señalados. Leyendo la gráfica:

1. a) Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

1. b) Estima las coordenadas del máximo y del mínimo relativos.

1. c) Indica también el máximo y el mínimo absolutos de $f$ en $[-3, 4]$.

La figura muestra la gráfica de la derivada $f'$ de cierta función $f$ derivable en todo $\mathbb{R}$; la curva corta al eje de abscisas exactamente en $x = -2$, $x = 1$ y $x = 4$.

1. a) Indica en qué puntos tiene $f$ extremos relativos y clasifícalos estudiando el signo de $f'$.

1. b) ¿Es posible conocer el valor que toma $f$ en esos extremos a partir de la gráfica de $f'$? Razona tu respuesta.

Sea $f(x) = x^3 - 3x + 1$ definida en el intervalo cerrado $[-2, 3]$.

1. a) Localiza sus puntos singulares dentro del intervalo.

1. b) Calcula el valor de $f$ en los puntos singulares y en los extremos del intervalo.

1. c) Determina el máximo y el mínimo absolutos de $f$ en $[-2, 3]$ y razona por qué no basta con mirar los puntos singulares.

Determina los intervalos de monotonía de la función $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 3$.

En una feria, un cohete lanzacohetes de agua alcanza una altura $h(t) = -4t^2 + 24t + 1$ metros a los $t$ segundos del lanzamiento. Utilizando la derivada, calcula en qué instante alcanza la altura máxima y cuánto vale esa altura.

Un pequeño taller fabrica $x$ bicicletas al mes y el costo medio por bicicleta, en pesos, está dado por $C(x) = x + \frac{1600}{x}$, con $x > 0$. Hallá el número de bicicletas que hace mínimo el costo medio y el valor de dicho costo mínimo, comprobando con el signo de la derivada que se trata efectivamente de un mínimo.

Tras administrar un medicamento, su concentración en sangre, en $\text{mg/l}$, sigue el modelo $C(t) = 10t \cdot e^{-0,5t}$, con $t \geq 0$ medido en horas, representado en la figura.

1. a) Calcula $C'(t)$.

1. b) Determina en qué instante la concentración es máxima.

1. c) Estudia en qué intervalos la concentración aumenta y en cuáles disminuye.

Halla el valor del parámetro $b$ para que la función $f(x) = x^2 + bx + 3$ tenga un mínimo relativo en el punto $x = 2$. Con ese valor de $b$, calcula el valor mínimo de la función.

Un alumno estudia la monotonía de $f(x) = x^3 - 3x^2$ y escribe: «$f'(x) = 3x^2 - 6x$, que se anula en $x = 0$ y en $x = 2$; por tanto, $f$ es creciente en $(0, 2)$ y decreciente en el resto». Detecta el error que ha cometido en la conclusión, corrígelo estudiando bien el signo de $f'$ y escribe los intervalos de monotonía correctos.

Los organizadores de un festival estiman que, si venden la entrada a $x$ pesos, asistirán $400 - 8x$ personas, de modo que el ingreso es $I(x) = x \cdot (400 - 8x)$ pesos, con $0 \leq x \leq 50$.

1. a) Determiná los intervalos en los que el ingreso aumenta y aquellos en los que disminuye al subir el precio.

1. b) Hallá el precio que maximiza el ingreso y el valor de dicho ingreso máximo.

Estudia la monotonía completa de la función $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$: intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos con sus valores, y comportamiento cuando $x \to \pm \infty$.

La función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ tiene un extremo relativo en el punto $(1, -2)$.

1. a) Plantea las dos condiciones que deben cumplir $a$ y $b$ y calcula sus valores.

1. b) Con esos valores, localiza el otro extremo relativo de la función y clasifica ambos.

Considera la función $f(x) = x^3 + x - 1$.

1. a) Demuestra, estudiando el signo de $f'(x)$, que $f$ es estrictamente creciente en todo $\mathbb{R}$.

1. b) Razona, a partir del apartado anterior y de los valores $f(0)$ y $f(1)$, cuántas soluciones reales tiene la ecuación $x^3 + x - 1 = 0$.

El índice de calidad del aire de una ciudad durante un día de episodio de contaminación se modela, en el periodo $0 \leq t \leq 24$ horas, por $I(t) = t^3 - 27t^2 + 216t + 50$.

1. a) Halla los instantes en los que la tendencia del índice cambia.

1. b) Determina los tramos horarios en los que el índice empeora (aumenta) y aquellos en los que mejora (disminuye).

1. c) Determina el valor máximo del índice entre las $0$ y las $14$ horas y a qué hora se alcanza.

1. d) Razona si el modelo seguiría siendo válido para predecir el índice varios días después.

Estudia la monotonía y los extremos de la función $f(x) = x \cdot e^{-x}$ en todo $\mathbb{R}$, indicando el valor del extremo relativo y el límite de la función cuando $x \to +\infty$.

Se quiere demostrar que $e^x \geq 1 + x$ para todo $x \geq 0$ usando la monotonía.

1. a) Define $f(x) = e^x - 1 - x$ y estudia el signo de $f'(x)$ para $x \geq 0$.

1. b) Calcula $f(0)$ y deduce, de la monotonía de $f$, que $f(x) \geq 0$ para todo $x \geq 0$.

1. c) Concluye la desigualdad pedida y razona si también es válida para $x < 0$.