Tasa de variación media de una función

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = 3x - 5$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Coincide este valor con la pendiente de la recta que representa a la función?

Halla la tasa de variación media de la función cuadrática $g(x) = x^2 - 4x + 1$ en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 4]$.

Dada la función $h(t) = t^3 + 2t$, determina su tasa de variación media en el intervalo $[-1, 2]$.

Calcula la tasa de variación media de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ en el intervalo $[2, 5]$.

Encuentra la tasa de variación media de la función radical $p(x) = \sqrt{x + 3}$ en el intervalo $[1, 6]$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ representada en la figura. Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[-2, 2]$. ¿Qué interpretación geométrica tiene este valor con respecto a la recta secante trazada?

Dada la función $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, halla la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos de la gráfica con abscisas $x = 1$ y $x = 4$. ¿Qué relación tiene la pendiente de esta recta con la tasa de variación media en dicho intervalo?

El siguiente gráfico muestra el volumen de agua $V(t)$, en litros, que contiene un depósito a lo largo de $8$ horas. A partir de los puntos destacados en la gráfica, calcula la tasa de variación media del volumen en los intervalos $[0, 4]$ y $[4, 8]$. ¿En qué periodo el vaciado ha sido más rápido en promedio?

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en el intervalo genérico $[a, a+h]$, simplificando la expresión resultante lo máximo posible.

Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = \sqrt{x+2}$ en el intervalo $[2, 2+h]$. A continuación, determina a qué valor se aproxima esta tasa de variación cuando $h$ tiende a $0$.

La distancia en metros recorrida por un ciclista en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $d(t) = 2t^2 + 5t$. ¿Cuál ha sido su velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 5$?

La temperatura en grados Celsius de un horno industrial evoluciona según la función $T(t) = 20 + 5t - t^2$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Calcula la tasa de variación media de la temperatura en los primeros $3$ minutos.

Los beneficios mensuales de una empresa, en miles de pesos, están dados por la función $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, donde $x$ es la cantidad invertida en publicidad en miles de pesos. Calculá la tasa de variación media del beneficio si la inversión en publicidad pasa de $3$ a $6$ miles de pesos, e interpretá el resultado.

Desde lo alto de un acantilado se lanza verticalmente hacia arriba una bengala de salvamento. Su altura en metros respecto al nivel del mar tras $t$ segundos viene dada por $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Determina la velocidad media de la bengala en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. ¿Qué indica el signo de los resultados obtenidos?

Compara la tasa de variación media de las funciones $f(x) = 2^x$ y $g(x) = x^3$ en el intervalo $[2, 4]$. ¿Cuál de las dos funciones experimenta un mayor crecimiento medio en dicho intervalo?

El número de bacterias en un cultivo de laboratorio tras $t$ horas se modeliza mediante la función $N(t) = 500 \cdot e^{0,2t}$. Calcula la tasa de variación media de la población en el intervalo de tiempo comprendido entre $t = 0$ y $t = 5$ horas. Expresa el resultado en función del número $e$.

Demostrá analíticamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo arbitrario $[a, b]$ es siempre constante e igual a $m$.

La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura de un objeto se acerca a la temperatura ambiente de forma exponencial. Un ingeniero modeliza la temperatura de una pieza metálica en grados Celsius tras $t$ minutos mediante $T(t) = 25 + 150 \cdot (0,8)^t$. Calcula la tasa de variación media en los intervalos $[0, 5]$ y $[5, 10]$. ¿Qué conclusión extraes sobre el ritmo de enfriamiento a medida que pasa el tiempo?

Determina el valor del parámetro $k$ para que la tasa de variación media de la función $f(x) = kx^2 - 3x + 2$ en el intervalo $[1, 3]$ sea igual a $5$.

La tasa de variación media de la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$ en el intervalo $[1, b]$ es igual a $6$. Sabiendo que $b > 1$, determina el valor de $b$. ¿Depende el resultado del valor de la constante $c$?

Se sabe que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + 5$ tiene una tasa de variación media de $1$ en el intervalo $[0, 2]$ y de $9$ en el intervalo $[2, 4]$. Plantea un sistema de ecuaciones y halla los valores de los parámetros $a$ y $b$.

Considera la función $f(x) = \frac{4}{x}$. La recta secante a la gráfica de $f(x)$ que pasa por los puntos de abscisas $x = 1$ y $x = 4$ forma un triángulo rectángulo con los semiejes positivos de coordenadas. Calcula el área de dicho triángulo.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{si } x \le 2 \\ \frac{4}{x} - 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Calcula la tasa de variación media en el intervalo $[0, 4]$. Comprueba si la función es continua en $x=2$ y razona si esto afecta al cálculo de la tasa de variación media.

La fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y un satélite varía en función de la distancia $r$ (en miles de km) desde el centro de la Tierra según la expresión $F(r) = \frac{4 \cdot 10^5}{r^2}$. Calcula la tasa de variación media de la fuerza cuando la distancia pasa de $10$ a $20$ miles de km. Interpreta el significado del signo del resultado obtenido.