Posición relativa de dos rectas

Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ y $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando directamente sus coeficientes.

Dadas las rectas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ y $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica su posición relativa justificando tu respuesta a partir del valor de sus pendientes.

Averigua el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: kx + 4y - 2 = 0$ y $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sean estrictamente paralelas.

Determina la posición relativa de las rectas dadas en forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Estudia la posición relativa de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 5)$, y la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

En un sistema de seguridad, dos haces láser se modelan en un plano coordenado. El primer haz sigue la recta $r: x + y - 6 = 0$ y el segundo pasa por los emisores ubicados en $P(2, 1)$ y $Q(-2, -1)$. Determina si los haces láser son paralelos, coincidentes o si se cruzan. Si se cruzan, halla el punto exacto de intersección.

Un arquitecto diseña dos pasarelas rectas en un parque. La pasarela A sigue la dirección del vector $\vec{u} = (4, -2)$ y pasa por la fuente ubicada en $F(0, 5)$. La pasarela B viene dada por la ecuación $x + 2y - 10 = 0$. Demuestra analíticamente que ambas pasarelas se superponen, siendo en realidad la misma recta.

Dadas las rectas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: 3x - 2y + k = 0$, averigua si existe algún valor del parámetro $k$ para el cual las rectas sean coincidentes. Razona tu respuesta de forma analítica.

Calcula las coordenadas exactas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x - y - 5 = 0$.

Dos drones de exploración siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: x - y + 2 = 0$ y $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula las coordenadas del punto del plano donde sus trayectorias se cruzan.

Las trayectorias de dos aviones en la pantalla de un radar bidimensional vienen dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Comprueba si las rutas se cruzan y, en caso afirmativo, calcula el punto de intersección de las trayectorias en el plano.

Un rayo de luz en un experimento de óptica sigue la trayectoria descrita por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. Un espejo plano está colocado exactamente sobre el eje de abscisas ($y = 0$). Determina las coordenadas del punto de incidencia del rayo sobre el espejo.

Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ y $t: 3x + ky - 2 = 0$ se corten exactamente en el mismo punto del plano.

Halla las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la intersección de las tres rectas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ y $t: x + 4y - 12 = 0$.

Tres carreteras rectas se modelan en un plano topográfico mediante las ecuaciones $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: ax + y - 2 = 0$. Determina los valores del parámetro $a$ para los cuales las tres carreteras se cortan en un único punto o son paralelas entre sí, impidiendo que se forme un triángulo delimitado por ellas.

Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: x - 2y - 6 = 0$. Otro de sus lados se encuentra sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices del paralelogramo es el punto $P(4, 4)$, calcula la ecuación de la recta que contiene al cuarto lado y determina las coordenadas exactas de los cuatro vértices.

Halla el valor de $m$ para que las rectas $r: mx - 6y + 1 = 0$ y $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sean secantes y no paralelas.

Discute la posición relativa de las rectas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ y $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.

Determina el valor o valores de $k$ para que el punto de intersección de las rectas secantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ y $s: x - y + 2 = 0$ pertenezca a la bisectriz del primer y tercer cuadrante ($y = x$).

Las órbitas proyectadas de dos cometas en un plano espacial siguen las trayectorias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ y $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existe algún momento (valor de $m$) en el que las trayectorias sean estrictamente paralelas. ¿Para qué valores de $m$ las órbitas se cruzan en un único punto?

Discute la posición relativa de las rectas $r: ax + y - b = 0$ y $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando un análisis exhaustivo en función de los parámetros simultáneos $a$ y $b$.

Se considera la familia o haz de rectas definido por la expresión matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demuestra que todas las rectas que componen este haz se cortan en un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. A continuación, halla la ecuación general de la recta de este haz que es paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Una bola de billar sigue la trayectoria dada por la recta $r: x - y + 2 = 0$ y rebota en la banda representada por la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcula las coordenadas del punto exacto donde la bola impacta con la banda y averigua la ecuación de la recta que describe la trayectoria tras el rebote.

Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ y $s: ax + by - 5 = 0$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que ambas rectas sean idénticas. Posteriormente, halla la ecuación general de una recta perpendicular a ambas que pase por el origen de coordenadas.