Coeficiente de correlación lineal
Un club de barrio mide las horas de entrenamiento semanal de sus atletas y sus tiempos en los 100 metros. La covarianza da negativa: a más entrenamiento, menor tiempo. Pero ¿qué tan fuerte es esa relación? Si medimos el tiempo en segundos o en minutos, la covarianza cambia de valor aunque los datos sean los mismos. Necesitamos un número que no dependa de las unidades. Ese número es el coeficiente de correlación.
El coeficiente de correlación de Pearson
¿Por qué dividimos por los desvíos? Porque la covarianza se mide en "unidades de $X$ por unidades de $Y$"; al dividir por $\sigma_x$ y $\sigma_y$ esas unidades se cancelan.
Una guía para describir la fuerza (aproximada, no es una regla exacta): $|r|$ cercano a $1$ es fuerte, alrededor de $0{,}5$ moderada y cercano a $0$ débil o nula.
En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, se ha calculado que la covarianza entre la radiación solar recibida ($X$) y la energía generada ($Y$) es…
En un estudio sobre el rendimiento de paneles solares, se ha calculado que la covarianza entre la radiación solar recibida ($X$) y la energía generada ($Y$) es $\sigma_{xy} = 15,2$. Sabiendo que las desviaciones típicas son $\sigma_x = 4,0$ y $\sigma_y = 3,9$, calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson e interpreta el resultado.
Clasifica la fuerza (fuerte, moderada o débil/nula) y el sentido (positiva o negativa) de la correlación lineal para cada uno de los siguientes coeficientes obtenidos en…
Clasifica la fuerza (fuerte, moderada o débil/nula) y el sentido (positiva o negativa) de la correlación lineal para cada uno de los siguientes coeficientes obtenidos en distintos estudios estadísticos:
- a) $r = 0,98$
- b) $r = -0,12$
- c) $r = -0,85$
- d) $r = 0,55$
Considerá las siguientes parejas de variables estadísticas. Indicá, de forma razonada, si el coeficiente de correlación lineal entre ellas será positivo, negativo o…
Considerá las siguientes parejas de variables estadísticas. Indicá, de forma razonada, si el coeficiente de correlación lineal entre ellas será positivo, negativo o cercano a cero:
- a) La cantidad de horas de entrenamiento semanal de un atleta y su tiempo en recorrer 100 metros llanos.
- b) La cantidad de lluvia caída en un mes y las ventas de paraguas en ese mismo mes.
- c) El último dígito del DNI de una persona y su altura en centímetros.
Calcular r a partir de los datos
Cuando te dan los datos y no la covarianza, hay que calcular todo en orden: medias, desvíos, covarianza y por último $r$. Con $N$ datos:
$$\bar x=\frac{\sum x_i}{N},\quad \sigma_x^2=\frac{\sum x_i^2}{N}-\bar x^2,\quad \sigma_{xy}=\frac{\sum x_iy_i}{N}-\bar x\,\bar y.$$La calculadora científica en modo estadístico con dos variables también te da $\bar x$, $\bar y$, $\sigma_x$, $\sigma_y$ y a veces directamente $r$. Usá la calculadora para verificar tus cuentas.
También se puede despejar: si conocés $r$ y dos de los tres valores $\sigma_{xy},\sigma_x,\sigma_y$, calculás el que falta con $\sigma_{xy}=r\,\sigma_x\sigma_y$.
El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad ($X$, en miles de pesos) y los ingresos por ventas ($Y$, en miles de pesos) de una empresa es…
El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad ($X$, en miles de pesos) y los ingresos por ventas ($Y$, en miles de pesos) de una empresa es $r = 0,88$. Si las desviaciones estándar marginales son $\sigma_x = 2\,500$ y $\sigma_y = 12\,400$, determiná el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$.
Se ha medido el tiempo de reacción ($X$, en segundos) y el número de errores cometidos ($Y$) en una prueba de coordinación psicomotriz para 3 individuos, obteniendo los…
Se ha medido el tiempo de reacción ($X$, en segundos) y el número de errores cometidos ($Y$) en una prueba de coordinación psicomotriz para 3 individuos, obteniendo los siguientes pares de valores: $(1, 2)$, $(2, 4)$ y $(3, 5)$. Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para este pequeño conjunto de datos.
Una empresa de logística quiere estudiar la relación entre el peso de los envíos ($X$, en kg) y el costo del transporte ($Y$, en pesos). Para ello, selecciona una…
Una empresa de logística quiere estudiar la relación entre el peso de los envíos ($X$, en kg) y el costo del transporte ($Y$, en pesos). Para ello, selecciona una muestra de 5 envíos, obteniendo los siguientes datos:
-
Peso ($X$): 2, 4, 5, 8, 11
-
Costo ($Y$): 12.000, 15.000, 18.000, 25.000, 30.000
Calculá las medias, las desviaciones estándar marginales, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal. Según el resultado, ¿es el peso un buen predictor lineal del costo del transporte?
Los datos de un ensayo clínico sobre la dosis de un medicamento ($X$, en mg) y el tiempo de recuperación ($Y$, en días) para $N=10$ pacientes se resumen en los…
Los datos de un ensayo clínico sobre la dosis de un medicamento ($X$, en mg) y el tiempo de recuperación ($Y$, en días) para $N=10$ pacientes se resumen en los siguientes sumatorios:
$\sum x_i = 120$, $\sum y_i = 80$, $\sum x_i^2 = 1540$, $\sum y_i^2 = 680$, $\sum x_i y_i = 910$.
Calcula el coeficiente de correlación lineal e interpreta el resultado en el contexto del problema médico.
Interpretar gráficos y valores atípicos
El diagrama de dispersión te permite estimar $r$ a ojo: nube muy alargada y ascendente, $r$ cerca de $1$; descendente, cerca de $-1$; redonda o sin forma, cerca de $0$.
Observa los tres diagramas de dispersión etiquetados como A, B y C. Asocia cada uno de ellos con el valor del coeficiente de correlación lineal que mejor lo describa,…
Observa los tres diagramas de dispersión etiquetados como A, B y C. Asocia cada uno de ellos con el valor del coeficiente de correlación lineal que mejor lo describa, eligiendo entre los siguientes valores: $r = -0,92$, $r = 0,05$ y $r = 0,95$.
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para un grupo de…
El siguiente diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$) para un grupo de estudiantes.
Analiza visualmente la nube de puntos y responde de forma justificada:
- a) Si no tuviéramos en cuenta el punto anómalo (outlier) situado en la parte inferior derecha, ¿cómo sería el coeficiente de correlación lineal?
- b) ¿Qué efecto produce la inclusión de este punto anómalo sobre el valor del coeficiente de correlación de Pearson respecto al caso anterior?
$r$ y las rectas de regresión
Si tenés las dos rectas de regresión, las pendientes te dan $r$. Recordá que en $y=m_{yx}x+n$ la pendiente es $m_{yx}$, pero en $x=m_{xy}y+k$ el coeficiente que multiplica a $y$ es $m_{xy}$ (pendiente respecto de $x$ sobre $y$).
Si las rectas están en forma implícita, para saber cuál es cuál recordá que el producto de los coeficientes debe dar un valor entre $0$ y $1$: probá las dos asignaciones y quedate con la que cumple.
En una distribución bidimensional, se sabe que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,25$ y la pendiente de la recta de regresión de $X$…
En una distribución bidimensional, se sabe que la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $m_{yx} = 1,25$ y la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $m_{xy} = 0,65$. Sabiendo que la dependencia entre las variables es directa, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$.
En una investigación de mercado, se han obtenido las dos rectas de regresión lineal que relacionan el precio de un producto ($X$) y su demanda mensual ($Y$). Las…
En una investigación de mercado, se han obtenido las dos rectas de regresión lineal que relacionan el precio de un producto ($X$) y su demanda mensual ($Y$). Las ecuaciones de dichas rectas son:
Recta 1: $y = -1,5x + 120$
Recta 2: $x = -0,6y + 75$
Calcula el coeficiente de correlación lineal e indica el grado de relación entre el precio y la demanda.
Dadas las rectas de regresión $y = 0,8x + 2,5$ y $x = 1,1y - 1,2$, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$. A continuación, determina la media de la variable…
Dadas las rectas de regresión $y = 0,8x + 2,5$ y $x = 1,1y - 1,2$, calcula el coeficiente de correlación lineal $r$. A continuación, determina la media de la variable $Y$.
En un estudio de ingeniería sobre la resistencia de ciertos materiales poliméricos, se han obtenido dos rectas de regresión cuyas ecuaciones implícitas son…
En un estudio de ingeniería sobre la resistencia de ciertos materiales poliméricos, se han obtenido dos rectas de regresión cuyas ecuaciones implícitas son $3x - 2y - 8 = 0$ y $x - 2y + 4 = 0$.
- a) Identifica razonadamente cuál es la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y cuál es la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
- b) Calcula el coeficiente de correlación lineal $r$ entre ambas variables.
Cambios de escala: r no se altera
En general, si $U=aX+b$ y $V=cY+d$, entonces $r_{uv}=\dfrac{ac}{|a||c|}\,r_{xy}$: el valor absoluto se conserva y el signo cambia solo si $a$ y $c$ tienen signos distintos.
En un estudio de agronomía, se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal entre la temperatura media mensual en grados Celsius ($C$) y la producción de un…
En un estudio de agronomía, se ha calculado que el coeficiente de correlación lineal entre la temperatura media mensual en grados Celsius ($C$) y la producción de un cultivo en toneladas ($P$) es $r = 0,82$. Si decidimos expresar la temperatura en grados Fahrenheit utilizando la fórmula $F = 1,8C + 32$ y la producción en kilogramos mediante $K = 1000P$, ¿cuál será el nuevo coeficiente de correlación entre $F$ y $K$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades matemáticas de este coeficiente.
Dadas dos variables estadísticas $X$ e $Y$, se definen sus correspondientes variables tipificadas como $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y…
Dadas dos variables estadísticas $X$ e $Y$, se definen sus correspondientes variables tipificadas como $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ y $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Demuestra paso a paso que la covarianza entre las variables tipificadas, $\sigma_{z_x z_y}$, es exactamente igual al coeficiente de correlación lineal $r_{xy}$ de las variables originales.
Casos límite: r = ±1 y r = 0
Esto sirve para hallar valores desconocidos: si $r=1$ y tenés tres puntos, los tres deben ser colineales (por ejemplo, la pendiente entre el primero y el segundo debe ser igual a la del segundo al tercero).
Se está estudiando la relación entre dos variables $X$ e $Y$ a partir de tres observaciones experimentales: $(0, 2)$, $(3, 8)$ y $(5, k)$. Sabemos de antemano que existe…
Se está estudiando la relación entre dos variables $X$ e $Y$ a partir de tres observaciones experimentales: $(0, 2)$, $(3, 8)$ y $(5, k)$. Sabemos de antemano que existe una dependencia funcional lineal perfecta y positiva entre ambas variables, es decir, el coeficiente de correlación es $r = 1$. Sin necesidad de calcular las desviaciones típicas, determina el valor del parámetro $k$.
Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ donde la variable $Y$ se obtiene a partir de la variable $X$ mediante la transformación afín $Y = -4X + 7$, con $X$ no…
Sea una distribución bidimensional $(X, Y)$ donde la variable $Y$ se obtiene a partir de la variable $X$ mediante la transformación afín $Y = -4X + 7$, con $X$ no constante ($\sigma_x > 0$). Demostrá analíticamente, utilizando las definiciones algebraicas de la covarianza y la desviación estándar, que el coeficiente de correlación lineal entre $X$ e $Y$ es exactamente $-1$.
El siguiente diagrama de dispersión representa la relación entre la temperatura de un reactor químico ($X$, centrada en 0) y el rendimiento de la reacción ($Y$). Los…
El siguiente diagrama de dispersión representa la relación entre la temperatura de un reactor químico ($X$, centrada en 0) y el rendimiento de la reacción ($Y$). Los puntos registrados son $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 4)$.
- a) Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson para estos datos.
- b) A la vista del resultado matemático y del gráfico adjunto, explica detenidamente por qué el coeficiente de correlación toma ese valor a pesar de que existe una dependencia funcional exacta ($y = x^2$) entre las variables.
Combinaciones lineales de dos variables
A veces se arma una variable nueva sumando las otras dos: $W=X+kY$, con $k$ constante. ¿Cómo se relaciona $W$ con $X$? Hay que calcular su covarianza y su varianza.
¿Por qué aparece ese $2k\,\sigma_{xy}$? Es como $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: el término del medio mide cómo se influyen $X$ e $Y$ al sumarse.
Las variables aleatorias $X$ e $Y$ tienen varianzas $\sigma_x^2 = 16$ y $\sigma_y^2 = 25$, y su coeficiente de correlación lineal es $r_{xy} = 0,4$. Se define una nueva…
Las variables aleatorias $X$ e $Y$ tienen varianzas $\sigma_x^2 = 16$ y $\sigma_y^2 = 25$, y su coeficiente de correlación lineal es $r_{xy} = 0,4$. Se define una nueva variable sintética $W = X + kY$, donde $k$ es una constante real. Determina el valor exacto de $k$ para que las variables $X$ y $W$ estén incorrelacionadas (es decir, $r_{xw} = 0$).
Nota: Puedes utilizar la propiedad de linealidad de la covarianza: $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.
Linealizar un modelo antes de calcular $r$
$r$ mide solo relaciones lineales. Si la teoría dice que la relación no es una recta, podemos cambiar una de las variables para que sí lo sea y recién ahí calcular $r$.
En un experimento de termodinámica, se mide la presión ($P$) de un gas a diferentes volúmenes ($V$) manteniendo la temperatura constante. La teoría física predice una…
En un experimento de termodinámica, se mide la presión ($P$) de un gas a diferentes volúmenes ($V$) manteniendo la temperatura constante. La teoría física predice una relación del tipo $P = \frac{k}{V}$. Para linealizar el modelo y aplicar regresión lineal, se define una nueva variable auxiliar $X = \frac{1}{V}$. Se han obtenido los siguientes pares experimentales $(V, P)$: $(2; 12,1)$, $(4; 5,9)$, $(5; 4,8)$, $(8; 3,0)$.
Calcula el coeficiente de correlación lineal entre $X$ y $P$. ¿Confirma el resultado obtenido la teoría física subyacente?
Coeficiente de determinación
Para recuperar $r$ desde $r^2$ hay que elegir el signo según el contexto (por ejemplo, "a mayor edad, menor valor" implica $r<0$).
El coeficiente de determinación de un modelo matemático que relaciona la edad de un vehículo comercial ($X$, en años) con su valor de mercado ($Y$, en pesos) es…
El coeficiente de determinación de un modelo matemático que relaciona la edad de un vehículo comercial ($X$, en años) con su valor de mercado ($Y$, en pesos) es $R^2 = 0,7225$. Sabiendo que a mayor edad el valor del vehículo disminuye, ¿cuál es el valor exacto del coeficiente de correlación lineal $r$?
Un entrenador de básquet analiza los minutos jugados ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por 6 de sus jugadores en un partido, obteniendo los siguientes pares de datos:…
Un entrenador de básquet analiza los minutos jugados ($X$) y los puntos anotados ($Y$) por 6 de sus jugadores en un partido, obteniendo los siguientes pares de datos: $(10, 4)$, $(15, 8)$, $(20, 12)$, $(25, 14)$, $(30, 20)$, $(35, 22)$. Calculá el coeficiente de determinación $R^2$ y explicá qué porcentaje de la variabilidad de los puntos anotados queda explicada linealmente por los minutos jugados.
La varianza residual (o error cuadrático medio) de la regresión de $Y$ sobre $X$ proporciona una medida de la dispersión de los puntos en torno a la recta de ajuste, y…
La varianza residual (o error cuadrático medio) de la regresión de $Y$ sobre $X$ proporciona una medida de la dispersión de los puntos en torno a la recta de ajuste, y se puede calcular mediante la expresión $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. En un estudio socioeconómico, se sabe que la varianza de la variable dependiente $Y$ es $36$ y que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ deja una varianza residual de $6,25$. Si se conoce que la pendiente de dicha recta de regresión es negativa, halla el coeficiente de correlación lineal $r$ e interpreta estadísticamente su significado.
Resumen
Volvé al principio: para saber qué tan fuerte es la relación entre horas de entrenamiento y tiempo en los 100 metros, usamos $r$, que no depende de las unidades.