Binomio de Newton
En el laboratorio de la escuela, Valentina tiene que desarrollar $(2x-y)^4$ para una fórmula. Multiplicar cuatro paréntesis a mano es largo y se arruina fácil con los signos. El binomio de Newton da todos los coeficientes sin multiplicar nada: solo hace falta contar combinaciones. Es la misma idea que cuenta los caminos de una bolita en un tablero de Galton o los genotipos de una población: aparece siempre que algo se repite $n$ veces con dos posibilidades.
Factorial y números combinatorios
El factorial de un número natural, $n!$, es el producto de todos los naturales desde $1$ hasta $n$ (por convención, $0!=1$). El número combinatorio $\binom{n}{k}$ cuenta de cuántas formas se pueden elegir $k$ elementos de un total de $n$, sin importar el orden.
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
El triángulo de Pascal
Los números $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}$ de la fila $n$ son los coeficientes del desarrollo de $(a+b)^n$. Colocados en un triángulo, cada número es la suma de los dos que tiene arriba: es el triángulo de Pascal (o de Tartaglia).
Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.
Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.
La fórmula del binomio de Newton
El binomio de Newton desarrolla $(a+b)^n$ sin multiplicar paréntesis: cada término combina una potencia de $a$ que baja, una de $b$ que sube y el coeficiente correspondiente del triángulo de Pascal.
Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.
Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.
Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.
Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.
Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.
Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.
La intensidad de luz que atraviesa una serie de $4$ filtros fotográficos con un factor de atenuación variable $x$ se puede aproximar por el binomio $(1 - 0,2x)^4$.…
La intensidad de luz que atraviesa una serie de $4$ filtros fotográficos con un factor de atenuación variable $x$ se puede aproximar por el binomio $(1 - 0,2x)^4$. Desarrolla esta expresión ordenando los términos de menor a mayor grado.
El término general
Si solo piden «el cuarto término» o «el término en $x^3$», no hace falta desarrollar todo: el término general lo da directamente.
Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.
Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.
Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.
Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.
En el desarrollo del binomio $(x + k)^4$, se sabe que el coeficiente del término en $x^2$ es igual a $54$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$.
En el desarrollo del binomio $(x + k)^4$, se sabe que el coeficiente del término en $x^2$ es igual a $54$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$.
Radicales, fracciones y término buscado
El término general sirve igual cuando $a$ o $b$ son fracciones, raíces o llevan signo. Para buscar un término con cierta potencia de $x$ (por ejemplo el término independiente), se escribe el exponente de $x$ en función de $k$, se lo iguala al valor pedido y se despeja $k$. Las raíces conviene pasarlas a exponente fraccionario: $\sqrt{x}=x^{1/2}$.
Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.
Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.
Encuentra el quinto término en el desarrollo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultado combinando las potencias de $x$.
Encuentra el quinto término en el desarrollo del binomio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifica el resultado combinando las potencias de $x$.
Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin…
Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin exponentes negativos.
Encuentra el valor del parámetro real $k$ para que el coeficiente del término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sea exactamente…
Encuentra el valor del parámetro real $k$ para que el coeficiente del término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sea exactamente igual a $-160$.
Halla el término independiente de $x$ en el desarrollo de la expresión $\left(\frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x}\right)^9$. Muestra el planteamiento general del término…
Halla el término independiente de $x$ en el desarrollo de la expresión $\left(\frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x}\right)^9$. Muestra el planteamiento general del término $k$-ésimo antes de resolverlo.
Propiedades y aplicaciones
Tres ideas muy útiles: la suma de los coeficientes de una fila es $2^n$ (se obtiene reemplazando $a=b=1$), cuando un término es muy pequeño alcanzan los primeros términos del desarrollo para aproximar, y el término general modela situaciones de probabilidad con dos resultados posibles.
El término general como probabilidad
Si algo se repite $n$ veces y cada vez hay solo dos resultados (por ejemplo, «defectuoso» con probabilidad $p$ y «no defectuoso» con probabilidad $1-p$), el desarrollo de $\big(p+(1-p)\big)^n$ reparte todas las posibilidades. Su término $T_{k+1}$ es la probabilidad de obtener exactamente $k$ «defectuosos»:
$$\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}$$¿Por qué? Hay $\binom{n}{k}$ maneras de elegir cuáles son los $k$ defectuosos, y cada una tiene probabilidad $p^k(1-p)^{n-k}$. Además, como $\big(p+(1-p)\big)^n=1^n=1$, todas las probabilidades suman $1$.
Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el…
Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el desarrollo del binomio de Newton para $(1+1)^n$. Aplica este resultado para determinar cuántos grupos distintos (de cualquier tamaño, incluyendo el grupo vacío) se pueden formar con los $8$ empleados de una oficina.
Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables…
Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables $x$ e $y$ para que la expresión evaluada coincida exactamente con la suma de sus coeficientes.
En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton…
En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton para desarrollar $(1 + r)^5$. Si la tasa de interés es $r = 0,03$, calcula una aproximación del capital final para un capital inicial de $1\,000\,000$ pesos utilizando únicamente los tres primeros términos del desarrollo.
El volumen de un cubo metálico de arista $L$ a cierta temperatura es $V = L^3$. Al calentarse, su arista se dilata linealmente pasando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$.…
El volumen de un cubo metálico de arista $L$ a cierta temperatura es $V = L^3$. Al calentarse, su arista se dilata linealmente pasando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$. Desarrolla la expresión del nuevo volumen utilizando el binomio de Newton y, sabiendo que el producto $\alpha \Delta T$ es un valor muy pequeño (del orden de $10^{-5}$), justifica matemáticamente por qué el incremento de volumen $\Delta V$ se puede aproximar por la expresión $3 L^3 \alpha \Delta T$.
En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por…
En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por el término general $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, donde $p$ es la probabilidad de que un componente individual sea defectuoso. Si en un lote de $10$ componentes, la probabilidad de encontrar exactamente $4$ defectuosos es el doble que la de encontrar $3$ defectuosos, plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $p$.
En ingeniería, la tolerancia de volumen de un contenedor cúbico de lado $L$ con un error de fabricación $\Delta L$ viene dada por la expresión $(L \pm \Delta L)^3$.…
En ingeniería, la tolerancia de volumen de un contenedor cúbico de lado $L$ con un error de fabricación $\Delta L$ viene dada por la expresión $(L \pm \Delta L)^3$. Desarrolla este binomio. Si $L = 10\ \text{cm}$ y el error máximo es $\Delta L = 0,1\ \text{cm}$, calcula el término de error lineal, el cuadrático y el cúbico. ¿Qué porcentaje del error total representa el término lineal $3L^2\Delta L$?
Ecuaciones con números combinatorios
Muchos ejercicios piden hallar $x$ en una ecuación con combinatorios o factoriales. El método: escribir cada combinatorio con la definición, simplificar los factoriales y resolver la ecuación que queda (casi siempre cuadrática). Al final, descartá las soluciones que no sean naturales o que no cumplan la condición $0\le k\le n$.
Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.
Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.
Resuelve la siguiente ecuación algebraica en la que intervienen números combinatorios y factoriales, determinando el valor del número natural $x$:…
Resuelve la siguiente ecuación algebraica en la que intervienen números combinatorios y factoriales, determinando el valor del número natural $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 2\binom{x}{2} = 14 + \binom{x-1}{1}$.
Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales.…
Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales. Posteriormente, utiliza las propiedades de los números combinatorios para resolver el siguiente sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ naturales:
$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$
$4x - 5y = 19$
Volvé al principio: con la fórmula, $(2x-y)^4 = (2x)^4 - 4(2x)^3y + 6(2x)^2y^2 - 4(2x)y^3 + y^4 = 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4$, sin multiplicar paréntesis a mano.