Teorema del coseno
Valentina y Thiago están en la costa del Nahuel Huapi y quieren saber qué distancia hay entre dos puntos de la orilla opuesta, sin cruzar. Desde donde están miden la distancia a cada punto y el ángulo que forman las dos visuales. No tienen ningún lado con su ángulo opuesto, así que el teorema del seno no alcanza. ¿Cómo calculan la distancia? Con el teorema del coseno, una versión de Pitágoras que funciona en cualquier triángulo.
Una generalización de Pitágoras
En un triángulo cualquiera, el cuadrado de un lado depende de los otros dos y del ángulo que forman entre sí. Si ese ángulo es recto, el coseno vale $0$ y queda Pitágoras. Si no lo es, aparece un término de corrección.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.
Hallar un lado: dos lados y el ángulo comprendido
Si conocés dos lados y el ángulo que forman, el tercer lado sale reemplazando en la fórmula y sacando la raíz cuadrada.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado…
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.
En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el…
En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.
Hallar un ángulo: los tres lados
Si conocés los tres lados, despejá el coseno del ángulo que te interesa. El signo del resultado te dice si el ángulo es agudo (coseno positivo) u obtuso (coseno negativo).
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm.
Determina el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 cm, 5 cm y 6 cm.
Una cercha de techo triangular tiene lados de 5 m, 7 m y 9 m. Calcula el ángulo opuesto al lado más largo.
Una cercha de techo triangular tiene lados de 5 m, 7 m y 9 m. Calcula el ángulo opuesto al lado más largo.
Distancias inaccesibles, rumbos y fuerzas
El teorema del coseno sirve cuando podés medir dos distancias y el ángulo entre ellas, pero no la distancia que buscás. Eso pasa en topografía, navegación y composición de fuerzas. Así resuelven Valentina y Thiago el problema del lago.
Rumbos: cómo hallar el ángulo entre dos trayectorias
En navegación y aviación, el rumbo es el ángulo que forma la dirección de avance con el norte, medido desde el norte en el sentido de las agujas del reloj y escrito con tres cifras. Por ejemplo, el rumbo $040^\circ$ apunta $40^\circ$ al este del norte, el $090^\circ$ apunta al este y el $180^\circ$, al sur.
Si dos móviles salen del mismo punto, el ángulo entre sus trayectorias es la diferencia entre sus rumbos (si da más de $180^\circ$, el ángulo del triángulo es $360^\circ$ menos esa diferencia). Cada móvil recorre una distancia $d=v\cdot t$, y esas dos distancias son los lados que encierran ese ángulo.
Fuerzas
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el…
Calcula la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ m y $CB = 20$ m, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de…
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1,5 horas de vuelo?
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcula la magnitud de la fuerza resultante.
Cuadriláteros inscriptos: dos triángulos, una diagonal
Un cuadrilátero está inscripto en una circunferencia (es cíclico) si sus cuatro vértices están sobre ella. Para estos cuadriláteros vale una propiedad: los ángulos opuestos son suplementarios, es decir, suman $180^\circ$.
Esto sirve porque una diagonal lo parte en dos triángulos que comparten ese lado. Si $ABCD$ es inscripto, el ángulo $B$ y el ángulo $D$ son opuestos y $D=180^\circ-B$. Como $\cos(180^\circ-B)=-\cos B$, el coseno de uno es el opuesto del coseno del otro.
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos…
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.
La mediana: ángulos suplementarios otra vez
La mediana $m_a$ es el segmento que une el vértice $A$ con el punto medio $M$ del lado $a$. Parte al triángulo en dos triángulos que comparten el segmento $AM$, y en $M$ los dos ángulos suman $180^\circ$. Es la misma idea del cuadrilátero inscripto: los cosenos son opuestos y se cancelan al sumar.
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.
Cuando el planteo es una ecuación
A veces los lados no son números sino expresiones con una incógnita, o la condición está escrita como una relación entre los lados. En ambos casos comparás con la fórmula y despejás.
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor…
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.
Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.
Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.
Volvé al principio: Valentina y Thiago midieron dos distancias y el ángulo entre las visuales; con $AB^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ sacan la distancia al otro lado del lago sin cruzarlo.