Reglas de derivación
Valentina se sirve un mate y lo deja enfriar. La temperatura de la bebida (en °C) a los $t$ minutos es $T(t) = 20 + 60\,e^{-0{,}1t}$. ¿Con qué rapidez se está enfriando a los 10 minutos? Esa rapidez es $T'(10)$, pero la función tiene una exponencial con algo adentro. Para derivar este tipo de funciones usamos tres reglas: producto, cociente y cadena. Al final de la página vamos a responder la pregunta.
Derivadas básicas
Antes de combinar funciones necesitás saber derivar las piezas. Esta es la tabla que vas a usar todo el tiempo:
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sen x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sen x$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
Además, la derivada es lineal: $(k\cdot f + m\cdot g)' = k\,f' + m\,g'$. Se deriva término a término y las constantes que multiplican quedan afuera.
Calcula la función derivada de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, aplicando las reglas básicas de derivación de potencias y la linealidad.
Calcula la función derivada de $f(x) = 5x^4 - \frac{3}{x^2} + 2\sqrt{x} - 7$, aplicando las reglas básicas de derivación de potencias y la linealidad.
Calcula la derivada de la función $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, recordando la regla de derivación para exponenciales de base distinta a $e$ y para funciones…
Calcula la derivada de la función $f(x) = 3^{2x} + \arctan(x)$, recordando la regla de derivación para exponenciales de base distinta a $e$ y para funciones trigonométricas inversas.
Regla del producto
Determina la derivada de la función $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ haciendo uso de la regla del producto.
Determina la derivada de la función $g(t) = (3t^2 - 5t) \cdot e^t$ haciendo uso de la regla del producto.
Regla del cociente
Aplica la regla del cociente para hallar la derivada de la función racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
Aplica la regla del cociente para hallar la derivada de la función racional $h(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 3}$.
El costo medio de producción de un componente electrónico de alta precisión está dado por $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, donde $x$ es el número de lotes fabricados (…
El costo medio de producción de un componente electrónico de alta precisión está dado por $C(x) = \frac{\ln(x + 1)}{x}$, donde $x$ es el número de lotes fabricados ($x > 0$). Determiná la función que describe el ritmo de cambio del costo medio, $C'(x)$.
Regla de la cadena
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando correctamente la regla de la cadena.
Calcula la derivada de la función compuesta $f(x) = \sin(4x^3 - x)$ aplicando correctamente la regla de la cadena.
Halla la primera derivada de la función logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
Halla la primera derivada de la función logarítmica $y = \ln(x^2 + 5x + 6)$.
Un brazo robótico articulado se mueve de tal forma que el ángulo de su articulación principal (en radianes), en función de un parámetro de control $x$, es…
Un brazo robótico articulado se mueve de tal forma que el ángulo de su articulación principal (en radianes), en función de un parámetro de control $x$, es $\theta(x) = \arcsin\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ para $x > 1$. Obtén e indica la forma completamente simplificada de $\theta'(x)$.
Combinando las reglas
Casi siempre las funciones mezclan reglas. La estrategia es siempre la misma: mirá cuál es la operación más exterior (¿producto?, ¿cociente?, ¿función compuesta?), aplicá esa regla, y en cada derivada que aparezca revisá si hace falta la cadena.
El número de reproducciones diarias de una canción que se ha hecho viral evoluciona según la función $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, donde $t$ se mide en días desde su…
El número de reproducciones diarias de una canción que se ha hecho viral evoluciona según la función $R(t) = 50 t^2 e^{-0,2t}$, donde $t$ se mide en días desde su lanzamiento y $R(t)$ en miles de reproducciones. Calcula la tasa de variación instantánea $R'(t)$ aplicando las reglas de derivación e indica su expresión factorizada al máximo.
La temperatura de un horno industrial tras ser apagado desciende según la ley de enfriamiento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, con $T$ en grados…
La temperatura de un horno industrial tras ser apagado desciende según la ley de enfriamiento $T(t) = 20 + 80 \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right)$, con $T$ en grados Celsius y $t$ en horas. Halla la expresión de la velocidad de enfriamiento $T'(t)$ usando la regla de la cadena.
El nivel de presión sonora en una cámara anecoica, tras aplicar un filtro de frecuencias, viene dado por la función: $$ L(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(2x)}{1 -…
El nivel de presión sonora en una cámara anecoica, tras aplicar un filtro de frecuencias, viene dado por la función:
$$ L(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin(2x)}{1 - \sin(2x)}} \right) $$Demuestra, utilizando las propiedades de los logaritmos antes de derivar y aplicando identidades trigonométricas en el resultado final, que $L'(x) = \frac{2}{\cos(2x)}$.
Derivadas sucesivas
Si $f'$ es una función, también se puede derivar. Se obtiene la derivada segunda $f''$, después la tercera $f'''$, y en general la derivada de orden $n$, $f^{(n)}$. Por ejemplo, si $s(t)$ es la posición, $s'$ es la velocidad y $s''$ la aceleración.
Determina la segunda derivada, $f''(t)$, de la función $f(t) = \cos(5t) - t^3$.
Determina la segunda derivada, $f''(t)$, de la función $f(t) = \cos(5t) - t^3$.
La posición de un pistón neumático dentro de un cilindro está descrita por la ecuación de movimiento $s(t) = \ln(1 + t^2)$, donde $s$ está en decímetros y $t$ en…
La posición de un pistón neumático dentro de un cilindro está descrita por la ecuación de movimiento $s(t) = \ln(1 + t^2)$, donde $s$ está en decímetros y $t$ en segundos. Calcula la expresión de la aceleración del pistón, que corresponde a la segunda derivada $s''(t)$, y determina en qué instante $t > 0$ dicha aceleración se hace cero.
La intensidad de una señal electromagnética atenuada al atravesar un medio denso sigue la función $I(x) = x e^{-x}$. Calcula las tres primeras derivadas $I'(x)$,…
La intensidad de una señal electromagnética atenuada al atravesar un medio denso sigue la función $I(x) = x e^{-x}$. Calcula las tres primeras derivadas $I'(x)$, $I''(x)$ e $I'''(x)$, y a partir de los resultados obtenidos, deduce y escribe la fórmula general para la derivada enésima $I^{(n)}(x)$.
Recta tangente y datos de gráficos
La derivada $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $a$. Con esa pendiente y el punto $(a;\,f(a))$ se arma la recta.
A veces el enunciado no da la fórmula, sino valores de $f$, $g$ y sus derivadas en ciertos puntos (por ejemplo, leídos de una gráfica). Entonces las reglas se usan con números: $(f\circ g)'(a) = f'(g(a))\cdot g'(a)$ y $(f\cdot g)'(a) = f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$. Para $f'$ y $g'$ derivá las fórmulas conocidas o calculá la pendiente de la recta.
El perfil de la cubierta de un estadio olímpico sigue la curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metros. Calcula la ecuación general de la recta tangente…
El perfil de la cubierta de un estadio olímpico sigue la curva plana dada por $f(x) = \frac{100}{x^2 + 25}$, en metros. Calcula la ecuación general de la recta tangente en el punto de abscisa $x = 5$ para diseñar un soporte estructural rectilíneo que se apoye tangencialmente en dicho punto.
Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. La gráfica de $f$ es la parábola $f(x)=-x^2+6x-3$, que pasa por los puntos $(2,\,5)$ y…
Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones cuyas gráficas se muestran en la figura. La gráfica de $f$ es la parábola $f(x)=-x^2+6x-3$, que pasa por los puntos $(2,\,5)$ y $(4,\,5)$. La gráfica de $g$ es la recta que pasa por los puntos $(2,\,4)$ y $(4,\,2)$. Se definen la función compuesta $h(x)=f(g(x))$ y la función producto $p(x)=f(x)\cdot g(x)$.
Calcula los valores exactos de:
- a) $h'(2)$
- b) $p'(4)$
Derivación implícita
Hay curvas que no tienen $y$ despejada, como una circunferencia. Para hallar la pendiente se derivan ambos miembros respecto de $x$, tratando a $y$ como una función de $x$. Entonces cada vez que aparece $y$ hay que usar la cadena: $(y^2)' = 2y\cdot y'$.
La trayectoria de un satélite durante una compleja maniobra orbital se describe en un plano de referencia mediante la curva definida de forma implícita por la ecuación…
La trayectoria de un satélite durante una compleja maniobra orbital se describe en un plano de referencia mediante la curva definida de forma implícita por la ecuación $x^2 y - 3y^3 x = 10$. Calcula el valor de la pendiente de la trayectoria, $y'$, en el punto de coordenadas $(-2, 1)$.
Volvé al principio: para el mate, $T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$. Por la cadena, $T'(t) = 60\cdot e^{-0{,}1t}\cdot(-0{,}1) = -6e^{-0{,}1t}$. A los 10 minutos, $T'(10) = -6e^{-1} \approx -2{,}2$: se enfría unos $2{,}2$ °C por minuto.