Problemas de sistemas
En el kiosco de la escuela, Valentina pagó $\$9.500$ por $3$ alfajores y $2$ gaseosas. Thiago pagó $\$10.500$ por $2$ alfajores y $3$ gaseosas. Ninguno sabe cuánto cuesta cada cosa por separado, pero con esos dos tickets alcanza para averiguarlo. Plantear el sistema es, muchas veces, más difícil que resolverlo. En esta página aprendés a traducir frases a ecuaciones, a resolver el sistema que sale (aunque no sea lineal) y a interpretar el resultado.
Plantear: tantas ecuaciones como incógnitas
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas,…
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas, ¿cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un…
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un alumno ha obtenido $94$ puntos en total. ¿Cuántas preguntas ha respondido correctamente?
Precios, mezclas y porcentajes
Vamos a cerrar el gancho del kiosco.
Vuelta al principio: con los dos tickets alcanzaba. Eran dos incógnitas y dos relaciones independientes.
Mezclas
En una mezcla siempre hay dos conservaciones: la cantidad total (kg, litros) y el valor total (pesos, o cantidad de soluto en una solución).
Porcentajes
«Sube un $10\,\%$» se escribe $1{,}10\cdot x$ y «baja un $20\,\%$» se escribe $0{,}80\cdot x$. No se resta ni se suma el porcentaje directamente a $x$.
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $2\,100$ pesos. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $1\,750$ pesos.…
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $2\,100$ pesos. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $1\,750$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el precio de cada artículo.
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $4\,000$ pesos/litro y otro de $5\,500$ pesos/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a…
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $4\,000$ pesos/litro y otro de $5\,500$ pesos/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a $4\,600$ pesos/litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de vino se han utilizado para hacer la mezcla?
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $1\,200\,000$…
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $1\,200\,000$ pesos. Este mes, la cuota de la hipoteca ha subido un $5\%$ y el gasto en alimentación ha bajado un $10\%$, siendo el gasto total en estos dos conceptos de $1\,170\,000$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular cuánto gastaron en cada concepto el mes pasado.
Edades y figuras con perímetro
En los problemas de edades hay que distinguir el ahora del hace/dentro de unos años. Conviene armar una tabla.
Para figuras, lo primero es un dibujo con las incógnitas rotuladas. Con el perímetro de un rectángulo la relación es lineal.
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de…
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de cada clase hay en la granja?
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que…
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que tienen actualmente ambos.
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y…
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las dimensiones de la parcela.
Cuando el sistema no es lineal
Si el enunciado habla de área, diagonal, hipotenusa o volumen, aparecen productos y cuadrados. El sistema se plantea igual, pero hay que resolverlo con otro truco, casi siempre sustitución.
El discriminante responde cuántas soluciones tiene el problema: $\Delta>0$ da dos, $\Delta=0$ da una única y $\Delta<0$ no da ninguna.
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no…
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular el largo y el ancho del campo.
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$…
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$ metros de valla. Sabiendo que el área cercada debe ser de $20000$ m², plantea un sistema de ecuaciones para encontrar las dimensiones del campo y discute justificadamente si existe una única solución para el problema.
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea…
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal de tres incógnitas (catetos e hipotenusa) para resolverlo.
Movimiento y trabajo
En movimiento uniforme, $d=v\cdot t$. En cada problema escribí esa relación para cada móvil y buscá qué se conserva: la distancia total si se acercan, o la distancia de ida igual a la de vuelta.
Problemas de trabajo
Si una canilla llena un tanque en $x$ horas, en una hora llena $\dfrac1x$ del tanque. Cuando trabajan juntas, se suman las fracciones del tanque por hora.
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de…
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de $30$ km/h. A la vuelta, con el viento en contra, circula a $20$ km/h. Si el tiempo total empleado en el trayecto completo de ida y vuelta es de $2,5$ horas, plantea un sistema de ecuaciones y halla la distancia entre los dos pueblos y el tiempo empleado en cada trayecto.
Dos canillas llenan un tanque en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera canilla tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por separado, planteá un…
Dos canillas llenan un tanque en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera canilla tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por separado, planteá un sistema de ecuaciones (que incluirá fracciones algebraicas) para determinar cuánto tardaría cada canilla en llenarlo de forma individual.
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas.…
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el tren que sale de A hubiera salido $1$ hora antes que el tren de B, se habrían cruzado a $306$ km de la estación A. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular las velocidades constantes de ambos trenes.
Tres incógnitas
Con tres cantidades desconocidas necesitás tres ecuaciones. Dos estrategias:
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $4\,000\,000$ pesos más que el…
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $4\,000\,000$ pesos más que el socio B. Si el beneficio total a repartir es de $52\,000\,000$ pesos, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula la cantidad que recibe cada socio.
En una tienda de deportes se venden pelotas de fútbol, básquet y vóley. El precio de una pelota de fútbol es de $25\,000$ pesos, el de básquet $30\,000$ pesos y el de…
En una tienda de deportes se venden pelotas de fútbol, básquet y vóley. El precio de una pelota de fútbol es de $25\,000$ pesos, el de básquet $30\,000$ pesos y el de vóley $20\,000$ pesos. Un club compró $40$ pelotas por un total de $1\,030\,000$ pesos. Sabiendo que la cantidad de pelotas de fútbol compradas es igual a la suma de las de básquet y vóley, planteá un sistema de tres ecuaciones y determiná cuántas pelotas de cada deporte se compraron.
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$…
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$ puntos. Sabiendo que el número de medallas de plata supera en $1$ al número de medallas de oro, plantea un sistema de ecuaciones y averigua cuántas medallas de cada tipo ha ganado el equipo.
Cifras, soluciones y aleaciones
Tres situaciones típicas que terminan en sistemas de $3\times3$.
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número…
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones y averigua de qué número se trata.
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva…
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva disolución al $25\%$. Si se utiliza la misma cantidad de volumen de la disolución al $10\%$ que de la del $20\%$, ¿qué volumen de cada disolución se debe mezclar?
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $300\,000$…
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $300\,000$ pesos para el básico, $500\,000$ pesos para el medio y $800\,000$ pesos para el avanzado, con un costo total diario de $195\,000\,000$ pesos. Si la empresa decide aumentar la producción del modelo básico en un $20\%$ y reducir la del modelo avanzado en un $10\%$, la producción total aumentaría en $15$ unidades. Planteá un sistema de ecuaciones de tres incógnitas y determiná la producción inicial de cada modelo.
Discutir un problema con parámetro
A veces el enunciado trae una constante que no conocés, un parámetro $k$. Discutir el sistema es averiguar para qué valores de $k$ hay una única solución (compatible determinado), infinitas (compatible indeterminado) o ninguna (incompatible).
Con tres ecuaciones la idea es la misma:
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Eliminá incógnitas por reducción hasta llegar a una ecuación del tipo $(\text{expresión en }k)\cdot z=\text{número}$.
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Los valores de $k$ que anulan la expresión son los casos especiales.
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Para cada caso especial reemplazá y mirá si queda $0=0$ (infinitas soluciones) o $0=\text{número distinto de }0$ (incompatible).
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Para el resto de los valores de $k$ hay solución única.
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:…
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:
$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $
Determina para qué valores del parámetro $k$ el modelo tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, e interpreta qué significa físicamente que el sistema resulte incompatible.