Progresiones geométricas
En el laboratorio de la escuela, un cultivo de bacterias se triplica cada tanto tiempo. Una pelota rebota cada vez menos alto. Un plazo fijo suma intereses sobre intereses. En todos los casos, cada término sale de multiplicar el anterior por un número fijo. Y una pregunta curiosa: si sumás infinitos términos cada vez más chicos, ¿el resultado puede ser un número finito? Al final de la página lo resolvemos con Aquiles y la tortuga.
Término general y razón
La razón se obtiene dividiendo un término por el anterior: $r = \dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}$. Si el cociente es siempre el mismo, la sucesión es geométrica. Por ejemplo, $\frac12, \frac16, \frac1{18}, \dots$ tiene $r=\frac{1/6}{1/2}=\frac13$ y $\frac{1/18}{1/6}=\frac13$.
Esta fórmula es la del crecimiento exponencial: el exponente $n-1$ cuenta cuántas veces multiplicaste por $r$ desde $a_1$.
Escribe los cinco primeros términos y halla la expresión del término general de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es $a_1 = 3$ y su razón es…
Escribe los cinco primeros términos y halla la expresión del término general de una progresión geométrica sabiendo que su primer término es $a_1 = 3$ y su razón es $r = 2$.
Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.
Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.
Determina si la siguiente sucesión es una progresión geométrica. En caso afirmativo, halla su razón y su término general:…
Determina si la siguiente sucesión es una progresión geométrica. En caso afirmativo, halla su razón y su término general: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \frac{1}{54}, \dots$
Modelos y problemas con el término general
Cuando algo crece o decrece un porcentaje fijo en cada período, es una progresión geométrica. Si aumenta un $p\,\%$, se multiplica por $1+\frac{p}{100}$; si disminuye un $p\,\%$, por $1-\frac{p}{100}$.
Un equipo industrial cuesta $24\,000\,000$ pesos y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribí el término general de la sucesión que…
Un equipo industrial cuesta $24\,000\,000$ pesos y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribí el término general de la sucesión que modeliza su valor y calculá cuánto valdrá al cabo de $6$ años.
En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá…
En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá transcurridas $24$ horas? Expresa el resultado utilizando potencias.
Se depositan $5\,000\,000$ pesos en una entidad financiera a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribí la expresión general del capital acumulado al final del año…
Se depositan $5\,000\,000$ pesos en una entidad financiera a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribí la expresión general del capital acumulado al final del año $n$. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de $8$ años si no se retira nada?
Halla el valor del número real $x$ para que los términos $x-1$, $2x$, y $5x+4$ formen, en ese orden, una progresión geométrica.
Halla el valor del número real $x$ para que los términos $x-1$, $2x$, y $5x+4$ formen, en ese orden, una progresión geométrica.
Términos desconocidos: razón y sistemas
Para hallar $r$ y $a_1$ a partir de datos, relacioná los términos con $a_n = a_k \cdot r^{n-k}$.
Tres términos consecutivos $a, b, c$ son geométricos si $\dfrac{b}{a} = \dfrac{c}{b}$, o sea $b^2 = a\cdot c$. Esto sirve para ejercicios con una incógnita en los términos.
Cuando los datos son sumas de términos, aparece un sistema. Por ejemplo, si $a_1 + a_2 = 15$ y $a_3 + a_4 = 60$, escribimos $a_1(1+r) = 15$ y $a_1 r^2 (1+r) = 60$. Dividiendo miembro a miembro se obtiene $r^2 = 4$.
En una progresión geométrica de términos positivos, se sabe que $a_2 = 6$ y $a_4 = 54$. Calcula el valor de la razón $r$ y del primer término $a_1$.
En una progresión geométrica de términos positivos, se sabe que $a_2 = 6$ y $a_4 = 54$. Calcula el valor de la razón $r$ y del primer término $a_1$.
En una progresión geométrica de términos positivos, la suma de los dos primeros términos es $15$ y la suma del tercer y cuarto término es $60$. Plantea el sistema de…
En una progresión geométrica de términos positivos, la suma de los dos primeros términos es $15$ y la suma del tercer y cuarto término es $60$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente para determinar el primer término y la razón de la progresión.
Suma de los $n$ primeros términos
También vale el producto de los $n$ primeros términos: $P_n=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^n}$, porque el primero y el último, el segundo y el anteúltimo, etc. multiplican siempre lo mismo.
Calcula la suma de los $8$ primeros términos de una progresión geométrica en la que el primer término es $a_1 = 4$ y la razón es $r = 3$.
Calcula la suma de los $8$ primeros términos de una progresión geométrica en la que el primer término es $a_1 = 4$ y la razón es $r = 3$.
Calcula el producto de los seis primeros términos de una progresión geométrica que tiene como primer término $a_1 = 2$ y como razón $r = 2$.
Calcula el producto de los seis primeros términos de una progresión geométrica que tiene como primer término $a_1 = 2$ y como razón $r = 2$.
En una progresión geométrica se conoce que $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$. Calcula la razón de la progresión y la suma de los seis primeros términos.
En una progresión geométrica se conoce que $a_2 = 12$ y $a_5 = 324$. Calcula la razón de la progresión y la suma de los seis primeros términos.
Según la leyenda del inventor del ajedrez, el rey le ofreció un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente…
Según la leyenda del inventor del ajedrez, el rey le ofreció un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente duplicando la cantidad en cada casilla hasta llegar a la número $64$. Expresa la cantidad total de granos de trigo en el tablero usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica. Si un gramo de trigo contiene unos $20$ granos y una tonelada son $10^6$ gramos, estima el orden de magnitud de las toneladas totales de trigo.
Demuestra que el producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica de términos positivos viene dado por la fórmula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$.…
Demuestra que el producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica de términos positivos viene dado por la fórmula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Utiliza este resultado para calcular el producto de los primeros $10$ términos de una progresión geométrica en la que $a_3 = 4$ y $a_8 = 128$.
Suma infinita cuando $|r| < 1$
Si $-1 Sale de la fórmula de $S_n$: cuando $|r|<1$, $r^n$ se acerca a $0$ al crecer $n$, y queda $\frac{a_1(0-1)}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$. Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 10$ y cuya razón es $r = \frac{1}{5}$. Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz. La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es $18$ y su primer término es $6$. Determina la razón de la progresión y el valor del cuarto término. Se tiene un cuadrado de lado $10$ cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo cuadrado se forma un tercer cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados formados mediante este proceso.Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1 = 10$ y cuya razón es $r = \frac{1}{5}$.
Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz.
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es $18$ y su primer término es $6$. Determina la razón de la progresión y el valor del cuarto término.
Se tiene un cuadrado de lado $10$ cm. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo…
Problemas con sumas infinitas y otras aplicaciones
Identificá $a_1$ y $r$, y fijate si la pregunta es sobre un término, una suma finita o una suma infinita.
También las progresiones geométricas se relacionan con los logaritmos: si $a_n$ es geométrica de términos positivos, entonces $\log a_n = \log a_1 + (n-1)\log r$ es aritmética de diferencia $\log r$.
Ahora, ángulos en progresión geométrica. Si los ángulos de un polígono son $a, 2a, 4a, \dots$, la suma de ellos tiene que dar la suma de los ángulos interiores del polígono.
Se deja caer una pelota elástica desde una altura inicial de $5$ metros. En cada bote, la pelota rebota alcanzando el $80\%$ de la altura del bote anterior. Plantea la…
Se deja caer una pelota elástica desde una altura inicial de $5$ metros. En cada bote, la pelota rebota alcanzando el $80\%$ de la altura del bote anterior. Plantea la sucesión de las alturas alcanzadas y calcula la distancia total recorrida por la pelota (sumando las bajadas y las subidas) hasta que se detiene teóricamente.
Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ m/s y la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ metros. Cuando Aquiles recorre esos…
Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ m/s y la tortuga a $1$ m/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $100$ metros, la tortuga ha avanzado $10$ metros. Cuando Aquiles recorre esos $10$ metros, la tortuga avanza $1$ metro, y así sucesivamente. Plantea la distancia total que recorre Aquiles como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y demuestra que el resultado es finito.
Los ángulos interiores de un cuadrilátero están en progresión geométrica de razón $2$. Calcula la medida de cada uno de los cuatro ángulos. ¿Sería posible construir un…
Los ángulos interiores de un cuadrilátero están en progresión geométrica de razón $2$. Calcula la medida de cada uno de los cuatro ángulos. ¿Sería posible construir un pentágono convexo cuyos ángulos interiores formen una progresión geométrica de razón $2$? Justifica tu respuesta.
La curva conocida como "Copo de nieve de Koch" se construye a partir de un triángulo equilátero de lado $L$. En cada paso, el tercio central de cada segmento se…
La curva conocida como "Copo de nieve de Koch" se construye a partir de un triángulo equilátero de lado $L$. En cada paso, el tercio central de cada segmento se sustituye por dos segmentos de igual longitud que forman una punta hacia el exterior. Sea $P_n$ el perímetro de la figura en el paso $n$ (donde $P_0 = 3L$). Demuestra que $P_n$ es una progresión geométrica, halla su término general y calcula el límite del perímetro cuando $n \to \infty$.
En un cuadrado de lado $L = 20$ cm se inscribe un círculo. Dentro de este círculo se inscribe un nuevo cuadrado, en el cual se inscribe otro círculo, y el proceso se…
En un cuadrado de lado $L = 20$ cm se inscribe un círculo. Dentro de este círculo se inscribe un nuevo cuadrado, en el cual se inscribe otro círculo, y el proceso se repite indefinidamente. Halla la expresión del área del enésimo círculo y calcula la suma de las áreas de los infinitos círculos formados.
Sea $a_n$ una progresión geométrica de términos estrictamente positivos con primer término $a_1$ y razón $r$. Demuestra que la sucesión definida por $b_n = \log(a_n)$ es…
Sea $a_n$ una progresión geométrica de términos estrictamente positivos con primer término $a_1$ y razón $r$. Demuestra que la sucesión definida por $b_n = \log(a_n)$ es una progresión aritmética. Si $a_1 = 10$ y $r = 100$, calcula la suma de los $20$ primeros términos de la progresión $b_n$.
Volvé al principio: las distancias que recorre Aquiles forman una progresión geométrica de razón $\frac1{10}<1$. Por eso su suma es finita: $\frac{1000}{9}$ m, y Aquiles sí alcanza a la tortuga.