Interpretación física de la derivada
Viajás por la Ruta 40 y el velocímetro del auto marca 90 km/h. No te dice cuánto promediaste desde que saliste: te dice qué velocidad llevás justo ahora. Esa idea de «velocidad en un instante» es la que llevó a Newton a inventar la derivada. En esta página vas a ver cómo se calcula y qué más se puede medir con ella.
Velocidad instantánea: la derivada de la posición
Si un objeto se mueve en línea recta, su posición depende del tiempo: $s(t)$. La velocidad media en un intervalo es un promedio. Si achicás el intervalo cada vez más, ese promedio se acerca a la velocidad en un instante.
Casi nunca se calcula con el límite: se usan las reglas de derivación. Para las funciones de esta página alcanza con estas:
La posición de un objeto en caída libre viene dada por la función $s(t) = 100 - 4,9t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Determina la función que describe…
La posición de un objeto en caída libre viene dada por la función $s(t) = 100 - 4,9t^2$, donde $s$ se mide en metros y $t$ en segundos. Determina la función que describe su velocidad $v(t)$ y su aceleración $a(t)$.
Un tren se desplaza por una vía recta con una ecuación de movimiento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, con $e$ en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad del tren en el…
Un tren se desplaza por una vía recta con una ecuación de movimiento $e(t) = 2t^3 - 5t^2 + 8t$, con $e$ en metros y $t$ en segundos. Calcula la velocidad del tren en el instante $t = 2$ s.
Aceleración: la derivada de la velocidad
La posición de una partícula en función del tiempo es $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina la aceleración de la partícula en el instante $t = 1$.
La posición de una partícula en función del tiempo es $x(t) = t^4 - 3t^2 + 5$. Determina la aceleración de la partícula en el instante $t = 1$.
Un auto de pruebas tiene una velocidad dada por la función $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calculá su aceleración en el instante $t = 3$ s.
Un auto de pruebas tiene una velocidad dada por la función $v(t) = 3t^2 - 12t + 4$ en m/s. Calculá su aceleración en el instante $t = 3$ s.
El signo de $v(t)$ y $a(t)$: sentido del movimiento
Para saber cuándo avanza o retrocede, resolvés $v(t) = 0$ y estudiás el signo de $v$ en cada intervalo que queda. Y si el movimiento cambia de sentido, la distancia recorrida no es $s(\text{final}) - s(\text{inicial})$: hay que sumar por separado cada tramo en un mismo sentido, tomando cada recorrido en valor absoluto.
Un globo aerostático asciende de modo que su altura en metros viene dada por $h(t) = 15t - t^2$. ¿En qué instante $t$ se hace nula su velocidad?
Un globo aerostático asciende de modo que su altura en metros viene dada por $h(t) = 15t - t^2$. ¿En qué instante $t$ se hace nula su velocidad?
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su…
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. Su altura en metros tras $t$ segundos es $h(t) = 30t - 4,9t^2$. Determina el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima y calcula el valor exacto de dicha altura.
Un vehículo frena bruscamente y la distancia recorrida en metros desde que se pisan los frenos es $d(t) = 24t - 3t^2$. ¿Cuánto tiempo tarda el vehículo en detenerse por…
Un vehículo frena bruscamente y la distancia recorrida en metros desde que se pisan los frenos es $d(t) = 24t - 3t^2$. ¿Cuánto tiempo tarda el vehículo en detenerse por completo? ¿Qué distancia total recorrió durante la frenada?
Para practicar el estudio del signo de la velocidad y el recorrido real:
La posición de una partícula viene dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina los intervalos de tiempo en los que la partícula avanza hacia la derecha (…
La posición de una partícula viene dada por $s(t) = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t$. Determina los intervalos de tiempo en los que la partícula avanza hacia la derecha ($v(t) > 0$) y en los que retrocede hacia la izquierda ($v(t) < 0$).
Un robot de exploración se mueve a lo largo de un riel recto. Su posición en metros durante los primeros $5$ segundos viene dada por $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$.…
Un robot de exploración se mueve a lo largo de un riel recto. Su posición en metros durante los primeros $5$ segundos viene dada por $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2$. Calcula la distancia total real que ha recorrido el robot en el intervalo $t \in [0, 5]$. Ten en cuenta que la distancia total no es simplemente $x(5) - x(0)$, sino que debes analizar los cambios de sentido del movimiento utilizando la velocidad.
Otras tasas de variación instantánea
La derivada no es solo velocidad: describe el ritmo instantáneo de cambio de cualquier magnitud respecto de otra. Cambian las magnitudes y las unidades, pero el cálculo es el mismo.
El volumen de agua en un depósito cambia según la función $V(t) = 50 + 4t - t^3$, donde $V$ está en litros y $t$ en minutos. Halla la tasa de variación instantánea del…
El volumen de agua en un depósito cambia según la función $V(t) = 50 + 4t - t^3$, donde $V$ está en litros y $t$ en minutos. Halla la tasa de variación instantánea del volumen en el instante $t = 1$ e indica si el depósito se está llenando o vaciando en ese momento.
La carga eléctrica que atraviesa una sección de un cable en función del tiempo es $q(t) = 2t^2 + 3t$ culombios. Sabiendo que la intensidad de corriente es la derivada de…
La carga eléctrica que atraviesa una sección de un cable en función del tiempo es $q(t) = 2t^2 + 3t$ culombios. Sabiendo que la intensidad de corriente es la derivada de la carga respecto al tiempo, calcula la intensidad en $t = 4$ s.
El costo de producción de $x$ unidades de un componente electrónico es $C(x) = 1\,500\,000 + 10\,000x - 50x^2$ pesos. El costo marginal se define como la derivada del…
El costo de producción de $x$ unidades de un componente electrónico es $C(x) = 1\,500\,000 + 10\,000x - 50x^2$ pesos. El costo marginal se define como la derivada del costo respecto al número de unidades. Calculá el costo marginal para $x = 50$ unidades y explicá qué representa este valor en el contexto de la fábrica.
Velocidad media frente a velocidad instantánea
La altura de un proyectil en metros es $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocidad media en el intervalo $[1, 3]$ y compárala con la velocidad instantánea en $t = 2$.
La altura de un proyectil en metros es $y(t) = 40t - 5t^2$. Calcula la velocidad media en el intervalo $[1, 3]$ y compárala con la velocidad instantánea en $t = 2$.
La temperatura de un horno industrial durante un proceso de enfriamiento viene dada por $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en grados Celsius, con $t$ en minutos. Calcula la…
La temperatura de un horno industrial durante un proceso de enfriamiento viene dada por $T(t) = 200 - 10t + 0,5t^2$ en grados Celsius, con $t$ en minutos. Calcula la velocidad de enfriamiento (tasa de variación instantánea de la temperatura) en $t = 5$ min y en $t = 15$ min. Interpreta el significado físico de los signos obtenidos.
Cuando la función no es un polinomio
En muchos problemas la función es un cociente, una potencia de un binomio, un seno o una exponencial. Se derivan con las reglas del recuadro de la primera sección.
Una mancha de aceite en el mar tiene forma circular y su radio en metros crece según la función $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la…
Una mancha de aceite en el mar tiene forma circular y su radio en metros crece según la función $r(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Encuentra la velocidad a la que crece el radio en el instante $t = 3$ horas. ¿Crece más rápido al principio o al cabo de unas horas? Justifica tu respuesta utilizando el concepto de aceleración o analizando la derivada.
La posición de un oscilador armónico acoplado a un muelle es $x(t) = 5 \sin(2t)$ en centímetros. Calcula su velocidad y su aceleración en función del tiempo. Demuestra…
La posición de un oscilador armónico acoplado a un muelle es $x(t) = 5 \sin(2t)$ en centímetros. Calcula su velocidad y su aceleración en función del tiempo. Demuestra que la aceleración es proporcional a la posición, es decir, $a(t) = k \cdot x(t)$, y encuentra el valor de la constante $k$.
Un depósito cónico se vacía de manera que el volumen de agua en su interior es $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litros, para $0 \leq t \leq 20$ minutos.…
Un depósito cónico se vacía de manera que el volumen de agua en su interior es $V(t) = 1000 \left(1 - \frac{t}{20}\right)^3$ litros, para $0 \leq t \leq 20$ minutos. Calcula el caudal de salida de agua (tasa de variación instantánea del volumen) en el instante $t = 10$ minutos.
Problemas combinados
Para los problemas más largos, ordená el trabajo así: identificá qué magnitud es la posición (o la función base), derivá para obtener la velocidad o la tasa, derivá otra vez si piden aceleración, y planteate la ecuación o inecuación que pide el enunciado.
Dos autos de carreras, A y B, se desplazan por vías rectas y paralelas. Sus posiciones respecto a la línea de largada están dadas por $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ y…
Dos autos de carreras, A y B, se desplazan por vías rectas y paralelas. Sus posiciones respecto a la línea de largada están dadas por $s_A(t) = t^3 - 6t^2 + 15t$ y $s_B(t) = 2t^2 + 3t$. Determiná en qué instantes $t$ ambos autos circulan a la misma velocidad. Para esos instantes, calculá y compará la aceleración de cada auto.
Un proyectil se lanza verticalmente desde una plataforma. Su altura en metros viene dada por $h(t) = at^2 + bt + c$. Sabemos que la plataforma está a $15$ m del suelo,…
Un proyectil se lanza verticalmente desde una plataforma. Su altura en metros viene dada por $h(t) = at^2 + bt + c$. Sabemos que la plataforma está a $15$ m del suelo, que la velocidad inicial de lanzamiento es de $20$ m/s hacia arriba, y que la aceleración debida a la gravedad es constante e igual a $-9,8$ m/s$^2$. Utilizando la relación entre posición, velocidad y aceleración mediante derivadas, halla los valores de $a$, $b$ y $c$. A continuación, calcula la altura máxima alcanzada.
Un globo meteorológico asciende verticalmente. Su altura en metros se modela mediante una función definida a trozos:…
Un globo meteorológico asciende verticalmente. Su altura en metros se modela mediante una función definida a trozos:
$h(t) = \begin{cases} 2t^2 & \text{si } 0 \leq t \leq 10 \\ at + b - \frac{100}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la posición y la velocidad del globo sean continuas en el instante $t = 10$. Una vez hallados, calcula la aceleración del globo para $t > 10$ y discute qué ocurre con la velocidad a largo plazo (cuando $t \to +\infty$).
Para practicar derivadas de cocientes y exponenciales en contextos de ciencias:
La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta es $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calcula la función aceleración $a(t)$. Determina en qué instante de…
La velocidad de una partícula que se mueve en línea recta es $v(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}$ m/s. Calcula la función aceleración $a(t)$. Determina en qué instante de tiempo $t \geq 0$ la aceleración es máxima y calcula dicho valor máximo.
La carga en un condensador de un circuito eléctrico varía con el tiempo según la expresión $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, donde $q_0$, $R$ y $C$ son constantes…
La carga en un condensador de un circuito eléctrico varía con el tiempo según la expresión $q(t) = q_0 \left(1 - e^{-t/RC}\right)$, donde $q_0$, $R$ y $C$ son constantes positivas. La intensidad de corriente es $i(t) = q'(t)$. Demuestra que la intensidad disminuye exponencialmente con el tiempo y calcula el valor límite de la carga y de la intensidad cuando $t \to +\infty$.
La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura $T(t)$ de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del…
La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura $T(t)$ de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente $T_a$, es decir, $T'(t) = -k(T(t) - T_a)$. Verifica que la función $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ cumple esta ecuación diferencial. Si $T_a = 20^\circ$C, $T_0 = 100^\circ$C y la velocidad de enfriamiento en el instante inicial $t=0$ es de $-4^\circ$C/min, calcula el valor de $k$.
La potencia consumida por un dispositivo electrónico depende del voltaje aplicado según la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ milivatios. La tasa de variación de la…
La potencia consumida por un dispositivo electrónico depende del voltaje aplicado según la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 4}$ milivatios. La tasa de variación de la potencia respecto al voltaje se denomina conductancia dinámica $G(v) = P'(v)$. Determina para qué valores de voltaje $v$ la conductancia dinámica es exactamente $1$ milivatio/voltio.
Volvé al principio: el velocímetro marca la velocidad instantánea, que es la derivada de la posición respecto del tiempo. El promedio del viaje sería la tasa de variación media.